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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Fr 29.05.2020 | | Autor: | sina10 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Seien $H_{2} \subseteq H_{1}$ Untergruppen einer Gruppe $G$.
Dann gilt $\vert G / H_{2} \vert = \vert G / H_{1} \vert \cdot \vert H_{1} / H_{2} \vert$. |
Mittag,
ich habe mich heute morgen mit den Beweis des obigen Satzes beschäftigt.
Mir ist ein kleiner Absatz nicht klar und würde mich freuen, wenn jemand mir da kurz helfen könnte 
Ich poste nur den relevanten Teil des Beweises und nicht den ganzen.
Beweis :
Wähle einen Vertreter $x_{i}$ für jede Äquivalenzklasse $[x_{i}] = x_{1} H_{1} $ in $G /H_{1}$ und einen Vertreter $y_{j}$ für jede Äquivalenzklasse $[y_{j}] = y_{j} H_{2} $ in $H_{1} /H_{2}$ .
Behauptung 1:
Es gilt $[x_{i} y_{j} ] \neq [x_{k} y_{l} ] $ in $G /H_{2}\quad \forall (i, j) \neq (k, l)$.
Beweis:
Angenommen, es gilt $[x_{i} y_{j}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l}]$.
Dann ist $x_{i} y_{j} \in x_{k} y_{l} H_{2}$, d.h. \exists h_{2} \in H_{2}: x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j}$.
Durch Umformen sieht man schnell
$x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j} \Leftrightarrow y_{l} h_{2} = x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j}$.
Da $y_{l} \in H_{1}$ und $h_{2} \in H_{2}$, ist $y_{l} h_{2} \in H_{1}$.
Also ist auch $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}$.
Da $H_{1}$ eine Gruppe ist, ist $y_{l}^{- 1} \in H_{1}$.
Da $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}$ und $y_{l}^{- 1} \in H_{1}$, ist auch $x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} y_{l}^{- 1} = x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}$, da $H_{1}$ abgeschlossen ist.
Und weil $x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}$ gilt, ist $x_{k} \in x_{i} H_{1} = \{ g \in G\; \vert \; g \sim x_{i} : \Leftrightarrow g^{- 1} x_{i} \in H_{1} \}$
Insgesamt gilt also $[x_{i}] = x_{i} H_{1} = x_{k} H_{1} = [x_{k}]$.
Daraus folgt, dass $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl der $x_{m}$.
Aus $[x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ]$ folgt dann durch Kürzen $y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}$ und nach Wahl der $y_{n}$ damit $y_{j} = y_{l}$
Der Großteil des Beweises ist mir klar, außer folgendes:
"Daraus folgt, dass $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl der $x_{m}$.
Aus $[x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ]$ folgt dann durch Kürzen $y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}$ und nach Wahl der $y_{n}$ damit $y_{j} = y_{l}$"
Warum gilt $x_{i} = x_{k}$ nach Wahl von $x_{m}$ ? Wie soll ich mir das vorstellen ?
Genau das gleiche frage ich mich auch bei $y_{j} = y_{l}$.
Und wo ist dann gezeigt, dass Behauptung 1 stimmt ?
Ich bedanke mich im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Mo 01.06.2020 | | Autor: | statler |
> Seien [mm]H_{2} \subseteq H_{1}[/mm] Untergruppen einer Gruppe [mm]G[/mm].
>
> Dann gilt [mm]\vert G / H_{2} \vert = \vert G / H_{1} \vert \cdot \vert H_{1} / H_{2} \vert[/mm].
>
Guten Morgen!
> ich habe mich heute morgen mit den Beweis des obigen Satzes
> beschäftigt.
>
> Mir ist ein kleiner Absatz nicht klar und würde mich
> freuen, wenn jemand mir da kurz helfen könnte
>
> Ich poste nur den relevanten Teil des Beweises und nicht
> den ganzen.
>
> Beweis :
>
> Wähle einen Vertreter [mm]x_{i}[/mm] für jede Äquivalenzklasse
> [mm][x_{i}] = x_{1} H_{1}[/mm] in [mm]G /H_{1}[/mm] und einen Vertreter [mm]y_{j}[/mm]
> für jede Äquivalenzklasse [mm][y_{j}] = y_{j} H_{2}[/mm] in [mm]H_{1} /H_{2}[/mm]
> .
>
>
> Behauptung 1:
>
> Es gilt [mm][x_{i} y_{j} ] \neq [x_{k} y_{l} ][/mm] in [mm]G /H_{2}\quad \forall (i, j) \neq (k, l)[/mm].
>
>
> Beweis:
>
> Angenommen, es gilt [mm][x_{i} y_{j}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l}][/mm].
>
> Dann ist [mm]$x_{i} y_{j} \in x_{k} y_{l} H_{2}$,[/mm] d.h. [mm]\exists h_{2} \in H_{2}: x_{k} y_{l} h_{2}[/mm]
> = [mm]x_{i} y_{j}$.[/mm]
>
>
> Durch Umformen sieht man schnell
>
> [mm]x_{k} y_{l} h_{2} = x_{i} y_{j} \Leftrightarrow y_{l} h_{2} = x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j}[/mm].
>
> Da [mm]y_{l} \in H_{1}[/mm] und [mm]h_{2} \in H_{2}[/mm], ist [mm]y_{l} h_{2} \in H_{1}[/mm].
>
>
>
> Also ist auch [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}[/mm].
>
>
> Da [mm]H_{1}[/mm] eine Gruppe ist, ist [mm]y_{l}^{- 1} \in H_{1}[/mm].
>
> Da [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} \in H_{1}[/mm] und [mm]y_{l}^{- 1} \in H_{1}[/mm],
> ist auch [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} y_{j} y_{l}^{- 1} = x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}[/mm],
> da [mm]H_{1}[/mm] abgeschlossen ist.
>
>
> Und weil [mm]x_{k}^{- 1} x_{i} \in H_{1}[/mm] gilt, ist [mm]x_{k} \in x_{i} H_{1} = \{ g \in G\; \vert \; g \sim x_{i} : \Leftrightarrow g^{- 1} x_{i} \in H_{1} \}[/mm]
>
>
> Insgesamt gilt also [mm][x_{i}] = x_{i} H_{1} = x_{k} H_{1} = [x_{k}][/mm].
>
>
>
> Daraus folgt, dass [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl der [mm]x_{m}[/mm].
>
>
> Aus [mm][x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ][/mm]
> folgt dann durch Kürzen [mm]y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}[/mm] und nach
> Wahl der [mm]y_{n}[/mm] damit [mm]y_{j} = y_{l}[/mm]
>
>
>
>
> Der Großteil des Beweises ist mir klar, außer folgendes:
>
>
>
> "Daraus folgt, dass [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl der [mm]x_{m}[/mm].
>
> Aus [mm][x_{i} y_{j}}] = x_{i} y_{j} H_{2} = x_{k} y_{l} H_{2} = [x_{k} y_{l} ][/mm]
> folgt dann durch Kürzen [mm]y_{j} H_{2} = y_{l} H_{2}[/mm] und nach
> Wahl der [mm]y_{n}[/mm] damit [mm]y_{j} = y_{l}[/mm]"
>
>
> Warum gilt [mm]x_{i} = x_{k}[/mm] nach Wahl von [mm]x_{m}[/mm] ? Wie soll ich
> mir das vorstellen ?
Die [mm] x_{i} [/mm] sind ein Repräsentantensystem, für gleiche Klassen habe ich auch die gleichen Repräsentanten.
>
> Genau das gleiche frage ich mich auch bei [mm]y_{j} = y_{l}[/mm].
>
ditto
>
>
> Und wo ist dann gezeigt, dass Behauptung 1 stimmt ?
Die Behauptung 1 ist
$(i, j) [mm] \neq [/mm] (k, l) [mm] \Rightarrow [x_{i} y_{j} [/mm] ] [mm] \neq [x_{k} y_{l} [/mm] ]$
und gezeigt ist jetzt
[mm] $[x_{i} y_{j} [/mm] ] = [mm] [x_{k} y_{l} [/mm] ] [mm] \Rightarrow [/mm] (i, j) = (k, l)$
Das ist logisch äquivalent, wie du hoffentlich weißt (Kontraposition).
Gruß Dieter
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