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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 So 30.05.2010 | | Autor: | AriR |
Hey Leute,
ist folgende Gleichung
[mm] 2^{|\IN|}=|\IR|
[/mm]
offensichtlich?
Man liest oft, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge größer ist als die Mächtigkeit von [mm] \IN, [/mm] was auch klar ist, aber kann man leicht einsehen, dass diese gleich der Mächtigkeit von [mm] \IR [/mm] ist?
Schönen Sonntag
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Hiho,
was verstehst du unter offensichtlich?
Man kann zeigen, dass [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] überabzählbar ist und daher mindestens die Mächtigkeit von [mm] \IR [/mm] hat. (Warum gibt es keine überabzählbare Menge mit kleinerer Mächtigkeit von [mm] \IR [/mm] ?)
MFG,
Gono.
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> Hiho,
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> was verstehst du unter offensichtlich?
> Man kann zeigen, dass [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm] überabzählbar ist
> und daher mindestens die Mächtigkeit von [mm]\IR[/mm] hat. (Warum
> gibt es keine überabzählbare Menge mit kleinerer
> Mächtigkeit von [mm]\IR[/mm] ?)
>
> MFG,
> Gono.
Hallo Gonozal,
gerade deine letzte Angabe (Vermutung ?) ist problematisch !
Es handelt sich dabei um die sogenannte Kontinuumshypothese:
"Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der
natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt."
Diese Aussage ist in der üblichen (ZFC-) Logik der Mengenlehre
weder beweisbar noch widerlegbar.
Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Kontinuumshypothese
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:07 So 30.05.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu Al,
das weiss ich, allerdings wollte ich einen Anstoß geben sich das mal selbst zu erarbeiten 
Wenn er nicht drauf gekommen wär, hät man es ihm immer noch sagen können.
Schöne Sonntagsgrüße,
Gono.
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> Huhu Al,
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> das weiss ich, allerdings wollte ich einen Anstoß geben
> sich das mal selbst zu erarbeiten
> Wenn er nicht drauf gekommen wär, hät man es ihm immer
> noch sagen können.
>
> Schöne Sonntagsgrüße,
> Gono.
Meinst du, die Kontinuumshypothese und ihre Unabhängigkeit
selbst erarbeiten ? Das wäre aber eine Aufgabe für ein
Semester ... und beantwortet dann eben die gestellte Frage
über die Gleichheit zweier Mächtigkeiten überhaupt nicht.
Ebenfalls schönen Sonntag !
Al
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> Hey Leute,
>
> ist folgende Gleichung
>
> [mm]2^{|\IN|}=|\IR|[/mm]
>
> offensichtlich?
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> Man liest oft, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge
> größer ist als die Mächtigkeit von [mm]\IN,[/mm] was auch klar
> ist, aber kann man leicht einsehen, dass diese gleich der
> Mächtigkeit von [mm]\IR[/mm] ist?
>
> Schönen Sonntag
Hallo AriR,
gerade ganz offensichtlich ist diese Aussage wohl nicht, doch
kann man sie relativ leicht beweisen. Wahrscheinlich weißt du,
wie man die Menge [mm] \IR [/mm] aller reellen Zahlen bijektiv auf das
Intervall ]0....1[ , also auf die Menge der reellen Zahlen x
mit 0<x<1 abbilden kann. [mm] \IR [/mm] ist also gleichmächtig zu ]0....1[ .
Ferner kann man jede reelle Zahl zwischen 0 und 1 durch ihre
Binärdarstellung, also eine (unendliche) Folge [mm] _{i\in\IN} [/mm] von Bits
[mm] b_i\in\{\,0\,,\,1\,\} [/mm] darstellen.
Die Menge aller derartigen Bitfolgen hat offensichtlich
die Mächtigkeit [mm] 2^{|\IN|} [/mm] .
Beim ausführlichen Beweis muss man sich aber insbesondere
noch um folgendes Detail kümmern: Für jede reelle Zahl x
zwischen 0 und 1 mit abbrechender Binärentwicklung
gibt es zwei mögliche Darstellungen, nämlich die eine, die
wirklich "abbricht" bzw. mit einem Nullenschwanz endet und
die andere, welche einen Schwanz von Einsen hat.
Man kann sich aber klar machen, dass es nur abzählbar viele
solche Zahlen gibt und dass dies deshalb auf die Mächtigkeit
der Menge der Bitfolgen ohne Einfluss bleibt.
LG Al-Chw.
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