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| Aufgabe | Es sei $G$ eine Gruppe und A [mm] \subseteq [/mm] G, B [mm] \subseteq [/mm] G zwei Untergruppen von $G$. Setze [mm] $AB=\{ab | a \in A, b \in B\}$.
[/mm]
a) Zeige: Wenn zusätzlich $A$ und $B$ endlich sind und $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \{e\}$ [/mm] dann besteht $AB$ aus $|A| [mm] \cdot [/mm] |B|$ Elementen. |
Hallo Zusammen,
irgendwie komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. Es ist ja schon logisch, dass $AB$ die genannte Anzahl von Elementen haben muss, aber das nachzuweisen finde ich etwas hart. Ich dachte mir, ich nehme mal die Menge $A [mm] \times [/mm] B$ von der darf ich ja (vielleicht) voraussetzen, dass sie $|A| [mm] \cdot [/mm] |B|$ Elemente hat und suche dann ein Bijektion zwischen den beiden Mengen. Allerdings ist die Bijektivität von $f: A [mm] \times [/mm] B [mm] \rightarrow [/mm] AB, (a,b) [mm] \mapsto [/mm] ab$ nicht ganz so einfach nachzuweisen. Beispielsweise bei der Injektivität: Enthält A (unter anderem) die Elemente 2 und 3 und B die Elemente 9 und 6. so lässst sich 18 darstellen als $ab$ wobei [mm] $ab=2\cdot [/mm] 9$ oder [mm] $ab=3\cdot [/mm] 6$ sein kann...Irgendwie denke ich auch, dass ich den falschen Homomorphismus benutze oder generell ein falsches vorgehen habe... Hat jemand ne Idee wie man sowas zeigt?
Vielen Dank schon mal im Voraus
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Moin,
> Es sei [mm]G[/mm] eine Gruppe und A [mm]\subseteq[/mm] G, B [mm]\subseteq[/mm] G zwei
> Untergruppen von [mm]G[/mm]. Setze [mm]AB=\{ab | a \in A, b \in B\}[/mm].
>
> a) Zeige: Wenn zusätzlich [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] endlich sind und [mm]A \cap B = \{e\}[/mm] dann besteht [mm]AB[/mm] aus [mm]|A| \cdot |B|[/mm] Elementen.
Seien $ab, [mm] cd\in [/mm] AB$ mit [mm] $a,c\in [/mm] A$ und [mm] $b,d\in [/mm] B$.
Angenommen ab=cd. Daraus folgt
[mm] c^{-1}a=db^{-1},
[/mm]
wobei [mm] $c^{-1}a\in [/mm] A, [mm] db^{-1}\in [/mm] B$. Wegen [mm] $A\cap B=\{e\}$ [/mm] folgt daher
[mm] c^{-1}a=db^{-1}=e.
[/mm]
Wegen der Eindeutigkeit des inversen Elements folgt a=c, b=d.
Damit folgt die Aussage leicht.
LG
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| Aufgabe | | b) Es gelte zusätzlich: [mm] $a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B [mm] \Rightarrow bab^{-1}\in [/mm] A$. Dieses gilt zum Beispiel, wenn $B$ ein Normalteiler von $G$ ist. Zeige: Dann ist $AB$ eine Untergruppe von $G$ |
Erstmal vielen Dank für die Antwort. Absolut logisch, wenn man es so sieht, aber drauf gekommen wäre ich so nicht. Danke.
Bei Aufgabe b) hätte ich auch ein kleines Problem, und zwar:
Dass $AB$ eine Teilmenge von $G$ ist, ist klar, d.h. ich zeige nur die Untergruppeneigenschaften...
1) $AB [mm] \ne \emptyset$ [/mm] ist auch ok
2) Sind $x,y [mm] \in [/mm] AB$, so gilt
$x [mm] \in [/mm] AB [mm] \Rightarrow \exists a_x \in [/mm] A, [mm] b_x \in [/mm] B$ mit [mm] $x=a_xb_x$ [/mm] und [mm] $b_xa_xb_x^{-1} \in [/mm] A$
$y [mm] \in [/mm] AB [mm] \Rightarrow \exists a_y \in [/mm] A, [mm] b_y \in [/mm] B$ mit [mm] $y=a_yb_y$ [/mm] und [mm] $b_ya_yb_y^{-1} \in [/mm] A$
Dann ist [mm] $xy=a_xb_xa_yb_y$. [/mm] Nun muss ich das ja so zusammenfassen, dass $xy$ das Produkt aus irgendwas a-mäßigen und irgendwas b-mäßigen ist um diese Eigenschaft mit [mm] $b^{-1}$ [/mm] nachzuweisen. Aber ich kann keine Kommutativität ausnutzen, ausserdem weiß ich auch mit dem Hinweis "...zum Beispiel wenn $B$ ein Normalteiler ist" nichts anfangen, weil das ja nicht heißt, dass $B$ zwangsweise ein Normalteiler ist und selbst wenn....ist dann $A$ eine Linksnebenklasse oder so? ein wenig seltsam... Hat da vielleicht jemand ne Idee?
Vielen Dank schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hippias |
> b) Es gelte zusätzlich: [mm]a\in A, b\in B \Rightarrow bab^{-1}\in A[/mm].
> Dieses gilt zum Beispiel, wenn [mm]B[/mm] ein Normalteiler von [mm]G[/mm]
> ist. Zeige: Dann ist [mm]AB[/mm] eine Untergruppe von [mm]G[/mm]
> Erstmal vielen Dank für die Antwort. Absolut logisch,
> wenn man es so sieht, aber drauf gekommen wäre ich so
> nicht. Danke.
>
> Bei Aufgabe b) hätte ich auch ein kleines Problem, und
> zwar:
>
> Dass [mm]AB[/mm] eine Teilmenge von [mm]G[/mm] ist, ist klar, d.h. ich zeige
> nur die Untergruppeneigenschaften...
> 1) [mm]AB \ne \emptyset[/mm] ist auch ok
> 2) Sind [mm]x,y \in AB[/mm], so gilt
> [mm]x \in AB \Rightarrow \exists a_x \in A, b_x \in B[/mm] mit
> [mm]x=a_xb_x[/mm] und [mm]b_xa_xb_x^{-1} \in A[/mm]
> [mm]y \in AB \Rightarrow \exists a_y \in A, b_y \in B[/mm]
> mit [mm]y=a_yb_y[/mm] und [mm]b_ya_yb_y^{-1} \in A[/mm]
>
> Dann ist [mm]xy=a_xb_xa_yb_y[/mm]. Nun muss ich das ja so
> zusammenfassen, dass [mm]xy[/mm] das Produkt aus irgendwas
> a-mäßigen und irgendwas b-mäßigen ist um diese
> Eigenschaft mit [mm]b^{-1}[/mm] nachzuweisen. Aber ich kann keine
> Kommutativität ausnutzen, ausserdem weiß ich auch mit dem
> Hinweis "...zum Beispiel wenn [mm]B[/mm] ein Normalteiler ist"
> nichts anfangen, weil das ja nicht heißt, dass [mm]B[/mm]
> zwangsweise ein Normalteiler ist und selbst wenn....ist
> dann [mm]A[/mm] eine Linksnebenklasse oder so? ein wenig seltsam...
> Hat da vielleicht jemand ne Idee?
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus
Ich finde, Du hast die Aufgaben alle sehr gut durchdacht. Vielleicht genuegt Dir dieser Hinweis: [mm] $xy=a_xb_xa_yb_y= a_xb_xa_yb_{x}^{-1}b_{x}b_y$. [/mm]
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| Aufgabe | | c) Zeige, dass die affine Gruppe $AGL(E)$ eines Vektorraums $E$ ein semidirektes Produkt [mm] $T(E)\cdot [/mm] B$ ist, wobei $T(E)$ die Translationsgruppe von $E$ bezeichnet. Ist der zweite Faktor eindeutig bestimmt. |
Ja, perfekt, danke. Dann ist [mm] $b_xa_yb_x^{-1} \in [/mm] A$ und dann passt alles...bin ich echt nicht drauf gekommen, das so aufzuschreiben.
Als aller letztes noch kurz zu Aufgabe c): Also $AGL$ ist die Menge aller Affinitäten, also bijektiven affinen Abbildungen (von E auf sich). Eine solche Affinität lässt sich darstellen, als Komposition einer bijektiven linearen Abbildung von E auf sich (also Automorphismen) und einer Translation. Da die Translationsgruppe schon als ein "Faktor" gegeben ist, muss dieses $T(E)$ die Menge aller Automorphismen von E sein, also $GL(E)$. Problem: Wie schreibe ich das denn jetzt vernünftig auf? Also wenn [mm] $\varphi_{v,L}$ [/mm] ein Element aus $AGL(E)$ ist ($L$ Automorphismus, $v$ Translationsvektor), dann kann ich [mm] $\varphi_{v,L}$ [/mm] schreiben als [mm] $L\cdot T_v$?? [/mm] Also ist $AGL = GL(E) [mm] \cdot [/mm] T(E)$??
Vielen Dank schon mal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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