Mächtigkeit von Produkten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien k,n [mm] \in \IN_{\ge 2}, [/mm] A eine n-elementige Menge und a [mm] \in [/mm] A. Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der Mengen:
a) { x [mm] \in A^{k} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] = a}
b) { x [mm] \in A^{k} [/mm] | [mm] x_{1} \not= [/mm] a}
c) { x [mm] \in A^{k} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] = a [mm] \wedge x_{k} \not= [/mm] a}
Hinweis. Schreiben Sie die Mengen als direktes Produkt geeigneter Mengen (mit Beweis). |
Ich bin der Meinung, dass die Mächtigkeit von:
a) |{ x [mm] \in A^{k} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] = a}| = 1
weil wir nur das Element [mm] x_{1} [/mm] haben und das ist immer a.
b) |{ x [mm] \in A^{k} [/mm] | [mm] x_{1} \not= [/mm] a}| = k-1
weil wir alle Elemente betrachten die nicht a sind.
c) |{ x [mm] \in A^{k} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] = a [mm] \wedge x_{k} \not= [/mm] a}| = k
Weil wir alle Elemente betrachten die nicht a sind und a sind.
Ist das richtig?
Nun steht noch als Hinweis dass wir das direkte Produkt bilden sollen und dieses Beweisen.
Das direkte Produkukt müsste doch dann für a) (a,a) sein?
Und wie geh ich da mit dem Beweisen ran?
Als zusatz ich studiere Informatik demnach fangen unsere Natürlichen Zahlen bei 0 an, also müsste doch in der Aufgabe es [mm] X_{0} [/mm] heißen und nicht [mm] x_{1}?
[/mm]
gruß Micha!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Moin,
habe die selbe Aufgabe zu lösen. :) Beweisen kann ich meine Behauptung aber auch noch nicht und ich stelle nur meine Überlegungen dar.
a) Ich dachte mir, dass es doch so ist, dass jedes x [mm] \in A^{k} [/mm] im Prinzip ein k-stelliges Tupel ist (und [mm] x_{1} [/mm] ist eine Komponente von x). Also, wenn [mm] x_{1} [/mm] = a nicht gelten würde, wäre Mächtigkeit doch [mm] |A|^{k}, [/mm] also [mm] n^k [/mm] ... nun betrachten wir die Anzahl der Paare, in denen a nicht mehr als (erste) Komponente vorkommt, also nur noch mit k-1 Stellen, also [mm] n^{k-1} [/mm] * |{a}| mit der Anzahl von {a} also 1 kombiniert ...(oder? - bin mir da auch noch unsicher - jedenfalls geht das mit einfachen Beispielen)
b) wäre dann ja [mm] n^{k-1} [/mm] * (n-1) bzw. [mm] n^{k-1} [/mm] * |A \ {a}|
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Sa 03.12.2011 | | Autor: | userxyz123 |
a) Das würde Sinn machen.
Wenn man sagt, dass k = 2 ist dann haben wir x [mm] \in [/mm] AxA das heißt x würde [mm] x=(x_{1},x_{2}) [/mm] aussehen.
dann gilt, [mm] x=(a,x_{2}) [/mm] das wäre [mm] |A|^{1} [/mm] => [mm] |A|^{k-1}
[/mm]
wenn man für k = 3 sagt, dann haben wir x [mm] \in [/mm] AxAxA für x also [mm] x=(x_{1},x_{2},x_{3}).
[/mm]
Dann heißt es für [mm] x_{1} [/mm] = a : [mm] x=(a,x_{2},x_{3}). [/mm] das wäre [mm] |A|^{2} [/mm] => [mm] |A|^{k-1}...
[/mm]
Damit könntest du recht haben.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
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> a) Ich dachte mir, dass es doch so ist, dass jedes x [mm]\in A^{k}[/mm]
> im Prinzip ein k-stelliges Tupel ist
Ja.
> (und [mm]x_{1}[/mm] ist eine
> Komponente von x).
Ja. Die erste.
> Also, wenn [mm]x_{1}[/mm] = a nicht gelten
> würde, wäre Mächtigkeit doch [mm]|A|^{k},[/mm] also [mm]n^k[/mm] ...
Ja.
> nun
> betrachten wir die Anzahl der Paare, in denen a nicht mehr
> als (erste) Komponente vorkommt,
Genau.
> also nur noch mit k-1
> Stellen, also [mm]n^{k-1}[/mm] * |{a}| mit der Anzahl von {a} also 1
> kombiniert ...(oder? - bin mir da auch noch unsicher -
> jedenfalls geht das mit einfachen Beispielen)
ja, so ist das richtig.
>
> b) wäre dann ja [mm]n^{k-1}[/mm] * (n-1) bzw. [mm]n^{k-1}[/mm] * |A \ {a}|
Genau.
Du hast eigentlich eher eine Antwort geschrieben als eine Frage gestellt.
Gruß v. Angela
>
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> Seien k,n [mm]\in \IN_{\ge 2},[/mm] A eine n-elementige Menge und a
> [mm]\in[/mm] A. Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der Mengen:
> a)\ { x [mm] \in A^{k}| x_{1}= [/mm] a}
> Hinweis. Schreiben Sie die Mengen als direktes Produkt
> geeigneter Mengen (mit Beweis).
> Ich bin der Meinung, dass die Mächtigkeit von:
Hallo,
ich glaube, Du hast noch nicht ganz verstanden, worum es hier geht.
A enthält n Elemente [mm] a_1,..., a_n.
[/mm]
[mm] A^k [/mm] enthält k-Tupel Die Einträge sind jeweils aus A.
Nun nimmt man irgend ein [mm] a\in [/mm] A und betrachtet all die k-Tupel, deren erster Eintrag a ist.
Wieviele solcher Tupel gibt es?
Mir hilft immer eine Konkretisierung.
Sei [mm] A:=\{1, 2,3\}.
[/mm]
[mm] A^4 [/mm] besteht aus Tupeln [mm] (x_1, x_2, x_3, x_4) [/mm] mit [mm] x_i\in [/mm] A für i=1,2,3,4.
Nun wird gesagt, daß [mm] x_1=3.
[/mm]
Wieviele Tupel (3, [mm] x_2, x_3, x_4) [/mm] gibt es?
Überlege: wieviele Möglichkeiten hast Du für die Wahl von [mm] x_2? [/mm] Wieviele für [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4? [/mm] Insgesamt?
Klarer?
Gruß v. Angela
>
> a) [mm] |\{ x \in A^{k}| x_{1}= a\}| [/mm] = 1
> weil wir nur das Element [mm]x_{1}[/mm] haben und das ist immer a.
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Oh, das hat mir glaube ich jetzt etwas weiter geholfen.
Dann müsste es ja für
a)
bei k=3 [mm] x=(a,x_{2},x_{3}) [/mm]
bei k=2 [mm] x=(a,x_{2})
[/mm]
Für beide müsste die Mächtigkeit [mm] |A|^{k-1} [/mm] sein
b)
bei k=3 [mm] x=(\neg a,x_{2},x_{3}) [/mm]
bei k=2 [mm] x=(\neg a,x_{2})
[/mm]
Für beide müsste die Mächtigkeit [mm] (|A|-1)^{k}+k-1 [/mm] sein
wobei ich die Lösung etwas hässlich finde aber trotzdem sollte sie richtig sein
c)
bei k=3 [mm] x=(a,x_{2},\neg [/mm] a)
bei k=2 [mm] x=(a,\neg [/mm] a)
Für beide müsste die Mächtigkeit [mm] (|A|)^{k-1} [/mm] sein
wobei [mm] x_{2},x_{3} [/mm] in den Gleichungen im [mm] \in [/mm] A sind.
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Hallo,
> Oh, das hat mir glaube ich jetzt etwas weiter geholfen.
> Dann müsste es ja für
> a)
> bei k=3 [mm]x=(a,x_{2},x_{3})[/mm]
> bei k=2 [mm]x=(a,x_{2})[/mm]
> Für beide müsste die Mächtigkeit [mm]|A|^{k-1}[/mm] sein
Du hast es Dir jetzt anhand von k=2 und k=3 überlegt, was sicher geschickt ist.
In der Reinschrift aber solltest Du das nicht so schreiben.
Du sollst ja über Tupel der beliebigen Länge k nachdenken.
Das Ergebnis jedenfalls stimmt. Man hat, da A n Elemente enthält, [mm] n^{k-1}.
[/mm]
>
> b)
> bei k=3 [mm]x=(\neg a,x_{2},x_{3})[/mm]
> bei k=2 [mm]x=(\neg a,x_{2})[/mm]
Ich weiß, was Du damit meinst, aber für die Reinschrift ist dies, mal abgesehen davon, daß Du nur für k=2 und k=3 überlegst, wegen des [mm] \neg [/mm] a im Tupel nichts.
Du kannst schreiben:
[mm] x_1\in A\\{a\}, [/mm] also gibt es n-1 Möglichkeiten,
[mm] x_2, ...,x_k\in [/mm] A, also jeweils n Möglichkeiten.
> Für beide müsste die
> Mächtigkeit [mm](|A|-1)^{k}+k-1[/mm] sein
???
Wieviele Möglichkeiten hast du denn für das amputierte Tupel [mm] (x_2,...,x_k)?
[/mm]
Nun kommt der erste Eintrag mit seinen (n-1) Möglichkeiten hinzu...
> wobei ich die Lösung etwas hässlich finde aber trotzdem
> sollte sie richtig sein
>
> c)
> bei k=3 [mm]x=(a,x_{2},\neg[/mm] a)
Wieviele Möglichkeiten gibt es für den ersten Eintrag?
Wieviele für den zweiten?
Wieviele für den dritten?
> bei k=2 [mm]x=(a,\neg[/mm] a)
s.o.: nichts für die Reinschrift, für Vorüberlegungen hilfreich
> Für beide müsste die Mächtigkeit [mm](|A|)^{k-1}[/mm] sein.
Nein.
Sei [mm] (x_1,...,x_k)\in \{ x \in A^{k} | x_{1} = a \wedge x_{k} \not= a\} [/mm] .
Wieviele Möglichkeiten gibt es für das zweifach amputierte Tupel [mm] (x_2,...,x_{k-1})?
[/mm]
Wieviele für [mm] x_1?
[/mm]
Wieviele für [mm] x_k?
[/mm]
Also?
Gruß v. Angela
>
> wobei [mm]x_{2},x_{3}[/mm] in den Gleichungen im [mm]\in[/mm] A sind.
>
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Also nochmal zusammenfassend...
|A| = n, weil A, n-elemente hat.
[mm] |x_{1}| [/mm] = n-1 ,wenn [mm] x_{1} \not= [/mm] a
[mm] |x_{1}| [/mm] = 1 , wenn [mm] x_{1} [/mm] = a
a) [mm] x=(a,x_{2},...,x_{k}) [/mm] für a x [mm] A^{k-1}
[/mm]
also 1 * [mm] n^{k-1} [/mm] = [mm] n^{k-1}
[/mm]
b) [mm] x=(x_{1}\not=a,x_{2},...,x_{k}) [/mm] für [mm] (x_{1} \in [/mm] A \ a) x [mm] A^{k-1}
[/mm]
also (n-1) * [mm] n^{k-1}
[/mm]
c) [mm] x=(a,x_{2},...,x_{k}\not=a) [/mm] für a x [mm] A^{k} [/mm] x [mm] (x_{k} \in [/mm] A \ a)
also 1 * [mm] n^{k-2} [/mm] * (n-1) = n^(k-2) * (n-1)
zu c) Wenn k = 2, n = 5 haben wir das bild [mm] x=(a,x_{2}\not=a)
[/mm]
also 1 * 4 = 4
für die Formel 1 * [mm] 5^{2-2} [/mm] * 5-1 = 4
1 * 1 * 4 = 4
>> Schreiben Sie die Mengen als direktes Produkt geeigneter Mengen (mit Beweis).
Die Aufgabe sagt mir doch dass ich ein konkretes Beispiel geben soll, oder seh ich das Falsch?
Oder wie soll ich das jetzt aufschreiben :( ?
Gruß Micha
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> Also nochmal zusammenfassend...
>
> |A| = n, weil A, n-elemente hat.
> [mm]|x_{1}|[/mm] = n-1 ,wenn [mm]x_{1} \not=[/mm] a
> [mm]|x_{1}|[/mm] = 1 , wenn [mm]x_{1}[/mm] = a
Hallo,
so kannst du das nicht schrieben, denn [mm] x_1 [/mm] hat keine Mächtigkeit.
Spendiere doch Worte:
Für [mm] x_i [/mm] gibt es n-1 Möglichkeiten, wenn [mm] x_1\not=a,
[/mm]
und
eine Möglichkeit, wenn [mm] x_i=a.
[/mm]
> a)
[mm] M_1:= \{ x \in A^{k} | x_{1} = a\} [/mm]
Es ist [mm] M_1=\{a\}\times A^{k-1},
[/mm]
also enthält [mm] M_1 \qquad |M_1|=|\{a\}\times A^{k-1}|=|\{a\}*|A^{k-1}|=1*n^{k-1} [/mm] Elemente.
So sollte das reichen.
Auch die Ergebnisse in b) und c) sind richtig,
vielleicht schreibst Du das jetzt mal angelehnt an meinen Vorschlag auf.
Ich korrigiere da jetzt nicht jeden Formfehler.
> b) [mm]x=(x_{1}\not=a,x_{2},...,x_{k})[/mm] für [mm](x_{1} \in[/mm] A \ a) x [mm]A^{k-1}[/mm]
Du willst wohl sagen, daß [mm] M_2= [/mm] (A \ [mm] \{a\})\times A^{k-1}.
[/mm]
> also (n-1) * [mm]n^{k-1}[/mm]
>
> c) [mm]x=(a,x_{2},...,x_{k}\not=a)[/mm] für a x [mm]A^{k}[/mm] x [mm](x_{k} \in[/mm] A \ a)
[mm] \{a\}\times A^{\red{k-2}}\times [/mm] (A \ [mm] \{a\}).
[/mm]
> also 1 * [mm]n^{k-2}[/mm] * (n-1) = n^(k-2) * (n-1)
>
>
> zu c) Wenn k = 2, n = 5 haben wir das bild
> [mm]x=(a,x_{2}\not=a)[/mm]
> also 1 * 4 = 4
> für die Formel 1 * [mm]5^{2-2}[/mm] * 5-1 = 4
> 1 * 1 * 4 = 4
Worum geht's?
Was willst Du damit sagen?
Hast Du's an einem Beispiel geprüft?
>
> >> Schreiben Sie die Mengen als direktes Produkt geeigneter
> Mengen (mit Beweis).
>
> Die Aufgabe sagt mir doch dass ich ein konkretes Beispiel
> geben soll, oder seh ich das Falsch?
Achso. Das siehst Du falsch.
Du sollst das machen, wie ich oben: [mm] M_1=\{a\}\times A^{k-1}.
[/mm]
Die Menge [mm] M_1 [/mm] ist das direkte Produkt von [mm] \{a\} [/mm] und [mm] A^{k-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
> Oder wie soll ich das jetzt aufschreiben :( ?
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> Gruß Micha
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