Mächtigkeit von Sigma-Algebren < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mi 23.05.2012 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $ [mm] \Omega [/mm] $ eine beliebige Menge und $ [mm] \mathcal [/mm] A $ eine $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] über $ [mm] \Omega [/mm] $. Wir wollen zeigen, dass $ [mm] \mathcal [/mm] A $ entweder endlich oder überabzählbar unendlich ist.
Sei dazu $ [mm] \mathcal [/mm] A $ eine abzählbare $ [mm] \sigma-$Algebra. [/mm] Wir definieren für $ x [mm] \in \Omega$ [/mm] die Menge
$ [mm] M_x [/mm] := [mm] \bigcap_{B \in \mathcal A : x \in B } [/mm] B $
Folgern Sie, dass $ [mm] M_x \in \mathcal [/mm] A $ gilt für jedes $ x [mm] \in \Omega$. [/mm] Diskutieren Sie weiter, dass $ [mm] \sigma(\{M_x, x \in \Omega \})$ [/mm] entweder endlich oder überabzählbar unendlich viele Elemente enthält. Also kann es keine abzählbar unendlichen $ [mm] \sigma-$Algebren [/mm] geben. |
Hallo,
bei obiger Aufgabe bräuchte ich Hilfe.
Folgendes hab ich bisher aufgeschrieben:
Nach Definition von $ [mm] M_x [/mm] $ gilt $ B [mm] \in \mathcal [/mm] A $ und da $ [mm] \mathcal [/mm] A $ nach Voraussetzung eine (abzählbare) $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] ist, gilt
$ [mm] A_1,A_2,... \in \mathcal [/mm] A [mm] \Rightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in [/mm] A $ und somit $ [mm] M_x \in \mathcal [/mm] A $ für alle $ x [mm] \in \Omega [/mm] $.
Ist der erste Teil damit bereits gezeigt? Bin noch etwas skeptisch. Aber vor allem beim letzten Teil brauche ich einen Tipp.
$ [mm] \sigma(\{M_x, x \in \Omega \})$ [/mm] ist ja der Erzeuger bzw die von $ [mm] M_x [/mm] $ erzeugte $ [mm] \sigma-$Algebra. [/mm] Also die kleinste $ [mm] M_x [/mm] $ enthaltende $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] und nach Definition
$ [mm] \sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] = [mm] \bigcap_{M_x \in \mathcal A} \mathcal [/mm] A $
Eine wesentliche Rolle spielt sicher die Tatsache, dass $ [mm] \mathcal [/mm] A$ eine abzählbare $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] ist. Wir haben den Hinweis gekriegt, dass nach dem Satz von Cantor die (Potenz)Menge $ [mm] \mathcal P(\IN)$ [/mm] überabzählbar ist.
Ich denke ich muss bloß (per Widerspruch evtl) zeigen, dass $ [mm] \sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $ nicht abzählbar unendlich sein kann. Daraus würde dann folgen, dass die $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] entweder endlich oder überabzählbar unendlich ist. Bin aber wirklich unsicher und weiß noch nicht, wie ich das machen kann.
Jemand einen Tipp für mich?
Vielen Dank!
Viele Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 23.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Folgendes hab ich bisher aufgeschrieben:
>
> Nach Definition von [mm]M_x[/mm] gilt [mm]B \in \mathcal A[/mm] und da
> [mm]\mathcal A[/mm] nach Voraussetzung eine (abzählbare)
> [mm]\sigma-[/mm]Algebra ist, gilt
>
> [mm]A_1,A_2,... \in \mathcal A \Rightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in A[/mm]
> und somit [mm]M_x \in \mathcal A[/mm] für alle [mm]x \in \Omega [/mm].
>
> Ist der erste Teil damit bereits gezeigt? Bin noch etwas
> skeptisch.
Kann keinen Fehler entdecken.
> Aber vor allem beim letzten Teil brauche ich
> einen Tipp.
>
>
> [mm]\sigma(\{M_x, x \in \Omega \})[/mm] ist ja der Erzeuger bzw die
> von [mm]M_x[/mm] erzeugte [mm]\sigma-[/mm]Algebra. Also die kleinste [mm]M_x[/mm]
> enthaltende [mm]\sigma-[/mm]Algebra und nach Definition
>
> [mm]\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) = \bigcap_{M_x \in \mathcal A} \mathcal A[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]\sigma(\{M_x, x \in \Omega \})[/mm] ist der Erzeuger bzw die
von [mm]\red{\{M_x, x \in \Omega \}}[/mm] erzeugte [mm]\sigma-[/mm]Algebra.
>
> Eine wesentliche Rolle spielt sicher die Tatsache, dass
> [mm]\mathcal A[/mm] eine abzählbare [mm]\sigma-[/mm]Algebra ist. Wir haben
> den Hinweis gekriegt, dass nach dem Satz von Cantor die
> (Potenz)Menge [mm]\mathcal P(\IN)[/mm] überabzählbar ist.
Es gibt zwei Faelle:
1) [mm] $\Omega$ [/mm] ist endlich: Dann ist offensichlich $ [mm] \mathcal [/mm] A $ endlich und somit auch $ [mm] \sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $
2) [mm] $\Omega$ [/mm] ist unendlich: Sei [mm] $x_1,x_2,x_3,\ldots\in\Omega$ [/mm] eine Folge unterschiedlicher Elemente aus [mm] $\Omega$. [/mm] Dann ist die Menge $ [mm] \{M_{x_i}, i\in\IN \} [/mm] $ abzaehlbar, und es gilt [mm] $M_{x_i}\ne M_{x_j}$ [/mm] fuer [mm] $i\ne [/mm] j$.
Ich behaupte: Es existiert eine bijektive Abbildung zwischen einer Teilmenge von $ [mm] \sigma\{M_{x_i}, i\in\IN \}\subset \sigma(\{M_x, x \in \Omega \})$ [/mm] und [mm] $\mathcal P(\IN)$. [/mm] Dann folgt die Behauptung. Das muesstest du aber noch etwas sauberer ausformulieren.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:13 Fr 25.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Luis,
> 2) [mm]\Omega[/mm] ist unendlich: Sei [mm]x_1,x_2,x_3,\ldots\in\Omega[/mm]
> eine Folge unterschiedlicher Elemente aus [mm]\Omega[/mm]. Dann ist
> die Menge [mm]\{M_{x_i}, i\in\IN \}[/mm] abzaehlbar, und es gilt
> [mm]M_{x_i}\ne M_{x_j}[/mm] fuer [mm]i\ne j[/mm].
Das stimmt im Allgemeinen nicht. Betrachte etwa [mm] $\mathcal{A}=\{\emptyset,\Omega\}$. [/mm] Dann gilt [mm] $M_{x_i}=M_{x_j}$ [/mm] für alle $i,j$.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Fr 25.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Tobias
> Das stimmt im
> Allgemeinen nicht. Betrachte etwa
> [mm]\mathcal{A}=\{\emptyset,\Omega\}[/mm]. Dann gilt [mm]M_{x_i}=M_{x_j}[/mm]
> für alle [mm]i,j[/mm].
Erwischt! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Das ist die Strafe, wenn man sich auf einem Gebiet tummelt, wo man etwas eingerostet ist.
Danke.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 25.05.2012 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo ihr beiden!
vielen Dank schonmal, für Eure ausführlichen Hilfen. Ich bin leider nicht zuhause und im Moment bei meinen Eltern. Ich nehme erneut Stellung zu den Antworten, wenn ich daheim bin und meine Unterlagen zusammen habe.
Schön Dich wieder zu Lesen, Tobi!
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Fr 25.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ChopSuey,
> Nach Definition von [mm]M_x[/mm] gilt [mm]B \in \mathcal A[/mm] und da
> [mm]\mathcal A[/mm] nach Voraussetzung eine (abzählbare)
> [mm]\sigma-[/mm]Algebra ist, gilt
>
> [mm]A_1,A_2,... \in \mathcal A \Rightarrow \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \in A[/mm]
> und somit [mm]M_x \in \mathcal A[/mm] für alle [mm]x \in \Omega [/mm].
Für meinen Geschmack solltest du noch erwähnen: Da [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] abzählbar ist, ist auch die Menge aller [mm] $B\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$ abzählbar.
> [mm]\sigma(\{M_x, x \in \Omega \})[/mm] ist ja der Erzeuger bzw die
> von [mm]M_x[/mm] erzeugte [mm]\sigma-[/mm]Algebra. Also die kleinste [mm]M_x[/mm]
> enthaltende [mm]\sigma-[/mm]Algebra und nach Definition
>
> [mm]\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) = \bigcap_{M_x \in \mathcal A} \mathcal A[/mm]
Hier solltest du [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] statt [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] schreiben, denn der Buchstabe [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist ja schon vergeben... 
Zum Beweis, dass [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $ endlich oder überabzählbar ist:
(Übrigens muss [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $ somit endlich sein, da [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \})\subseteq\mathcal{A}$ [/mm] abzählbar.)
Zeige zunächst für alle [mm] $x,y\in\Omega$ [/mm] mit [mm] $x\not=y$: $M_x=M_y$ [/mm] oder [mm] $M_x\cap M_y=\emptyset$.
[/mm]
Sei [mm] $\mathcal{M}:=\{M_x, x \in \Omega \}$. [/mm] Zeige, dass die Abbildung
[mm] $\Phi\colon\mathcal{P(M)}\to\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}),\quad \Phi(\mathcal{M'})=\bigcup_{M\in\mathcal{M'}}M$
[/mm]
eine wohldefinierte Bijektion ist.
Unterscheide nun die beiden Fälle:
1. [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] endlich. Dann ist auch [mm] $\mathcal{P(M)}$ [/mm] und somit [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \})$ [/mm] endlich.
2. [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] unendlich. Dann ist [mm] $\mathcal{P(M)}$ [/mm] und somit [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $ überabzählbar. Also auch [mm] $\mathcal{A}\supseteq\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $ überabzählbar, Widerspruch. Der Fall 2. kann also gar nicht eintreten.
Wir wissen dann also, dass [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \})$ [/mm] endlich ist. Zeigen müssen wir aber, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] endlich ist.
Zeige dafür [mm] $\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) =\mathcal{A}$, [/mm] indem du für [mm] $A\in\mathcal{A}$ [/mm] zeigst: [mm] $A=\bigcup_{x\in A}M_x\in\sigma(\{M_x, x \in \Omega \}) [/mm] $.
Viel Erfolg!
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
