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| Aufgabe | Seien A,B Mengen, Zeigen Sie:
Gilt |A| = |B|, so gilt auch |P(A)| = |P(B)|. |
Hallo,
da ich leider mein Passwort (inkl. Emailadresse) nicht mehr habe, hier ein erneutes Hallo!
Zu meiner Aufgabe:
Bisher ist mein Ansatz, dass aus |A| = |B| folgt, dass es eine bijektive Funktion f: A -> B geben muss.
Zu zeigen wäre hier die Existenz einer Funktion F: P(A) -> P(B) ebenfalls bijektiv mit F(x) = f(x).
Leider habe ich keine Ahnung wie ich nun diesen Ansatz beweistechnisch korrekt weiterführen kann, sofern der Ansatz überhaupt gültig und passend ist. Dementsprechend wäre ich über einen Hinweis oder Lösungsansatz sehr dankbar.
Vg
superguest
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mo 16.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien A,B Mengen, Zeigen Sie:
> Gilt |A| = |B|, so gilt auch |P(A)| = |P(B)|.
> Hallo,
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> da ich leider mein Passwort (inkl. Emailadresse) nicht mehr
> habe, hier ein erneutes Hallo!
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> Zu meiner Aufgabe:
> Bisher ist mein Ansatz, dass aus |A| = |B| folgt, dass es
> eine bijektive Funktion f: A -> B geben muss.
> Zu zeigen wäre hier die Existenz einer Funktion F: P(A)
> -> P(B) ebenfalls bijektiv mit F(x) = f(x).
>
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich nun diesen Ansatz
> beweistechnisch korrekt weiterführen kann, sofern der
> Ansatz überhaupt gültig und passend ist. Dementsprechend
> wäre ich über einen Hinweis oder Lösungsansatz sehr
> dankbar.
wenn $f: A [mm] \to [/mm] B$ bijektiv ist, so betrachte mal
$$g: [mm] \text{Pot}(A) \to \text{Pot}(B)$$
[/mm]
definiert durch
[mm] $$g(T):=f(T)=\{f(x): x \in T\}\;\;\text{ für alle }T \in \text{Pot}(A)\,.$$
[/mm]
Damit's vielleicht ein wenig deutlicher wird, ein einfaches Beispiel:
(Beachte: Im Gegensatz zum Beispiel wird obiges [mm] $f\,$ [/mm] i.a. nicht auf endlichen Mengen definiert sein, sondern sogar auf abzählbar oder überabzählbar unendlichen!)
Wir betrachten die Bijektion [mm] $f:\{x,y,z\} \to \{1,2,3\}\,,$ [/mm] welche der Einfachheit wegen definiert werde durch [mm] $f(x):=1\,,$ [/mm] $f(y):=2$ und [mm] $f(z):=3\,.$
[/mm]
Dann wäre
[mm] $$g(\emptyset)=f(\emptyset)=\emptyset\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{x\})=f(\{x\})=\{1\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{y\})=f(\{y\})=\{2\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{z\})=f(\{z\})=\{3\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{x,y\})=f(\{x,y\})=\{1,2\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{x,z\})=f(\{x,z\})==\{1,3\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{y,z\})=f(\{y,z\})=\{2,3\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$g(\{x,y,z\})=f(\{x,y,z\})=\{1,2,3\}\,.$$
[/mm]
Beachte übrigens: [mm] $f\,$ [/mm] hat den Definitionsbereich [mm] $A\,.$ [/mm] Obwohl oben $g(T):=f(T)$ steht, heißt das nicht, dass [mm] $f\,$ [/mm] schon alles tun würde. Das das symbolisch erstmal so aussieht, liegt einfach daran, dass man [mm] $f(T)\,$ [/mm] für $T [mm] \subseteq D_f=A$ [/mm] schon eine Bedeutung gegeben hat:
[mm] $$f(T):=\{f(x): x \in T\}\,.$$
[/mm]
[mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] sind verschiedene Funktionen, und $f(T)$ ist NICHT der Funktionswert von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $T\,,$ [/mm] denn es gilt ja nicht $T [mm] \in A\,,$ [/mm] sondern $T [mm] \subseteq A\,.$ [/mm] Daher muss man wirklich eine neue Funktion benennen, ich habe sie [mm] $g\,$ [/mm] genannt.
Falls das zu verwirrend ist, dann mache folgendes:
Für das bijektive $f: A [mm] \to [/mm] B$ setzen wir für $T [mm] \subseteq [/mm] A$ [mm] ($\gdw [/mm] T [mm] \in \text{Pot}(A)$) [/mm] nun
[mm] $$Bild_f(T):=\{f(x): x \in T\}\,.$$
[/mm]
Die obige Bijektion [mm] $g\,$ [/mm] kann man dann schreiben als
$$g: [mm] \text{Pot}(A) \to \text{Pot}(B)$$
[/mm]
definiert durch
[mm] $$g(T):=Bild_f(T)\;\;\;\text{ für alle }T \in \text{\Pot}(A)\,.$$
[/mm]
Das verwirrt vielleicht ein wenig weniger!
P.S.:
Selbsverständlich hättest Du auch
$$h: [mm] \text{Pot}(B) \to \text{Pot}(A)$$
[/mm]
durch
[mm] $$h(S):=f^{-1}(S)=\{x \in A: f(x) \in S\} \text{ für alle }S \in \text{Pot}(B)$$
[/mm]
definieren können. Auch das ist eine Bijektion, es ist nämlich [mm] $g=h^{-1}\,.$
[/mm]
P.P.S.:
Achja, Deine Aufgabe ist noch: Beweise die von mir schon implizit gestellte Behauptung, dass gilt
$$f [mm] \text{ bijektiv} \Rightarrow [/mm] g [mm] \text{ bijektiv.}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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