Magnetische Energie < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 20.09.2009 | | Autor: | Binky |
| Aufgabe | | Ein gradlinig verlaufender kreisförmiger Leiter mit dem Radius a und der Länge l wird von einem Gleichstrom [mm] I_{0} [/mm] durchflossen. Berechnen Sie unter Vernachlässigung der Randeffekte an den Leistungsenden die im Leiter gespeicherte magnetische Energie [mm] W_{m} [/mm] wenn im gesamten Raum die Permeabilität [mm] \mu_{0} [/mm] angenommen wird. |
Hallo,
habe folgende Formel zur Berechnung der magnetischen Energie:
[mm] W_{m}=\integral_{V}^{}{[\integral_{B=0}^{B_{max}}{HdB}]dV}
[/mm]
für die Energiedichte mit konstanter Permeabilität kann das Integral [mm] w=\integral_{B=0}^{B_{max}}{HdB} [/mm]
wie folgt gelöst werden:
[mm] w=\bruch{B^2}{2*\mu}=\bruch{HB}{2}=\bruch{\mu*H^2}{2}
[/mm]
Aber wie leite ich mir dies her?
Für die konstante Permeabilität gilt ja [mm] H=\bruch{B}{\mu}
[/mm]
Wenn ich doch nun für [mm] w=\integral_{B=0}^{B_{max}}{HdB} [/mm] , H vor das Integral ziehe und [mm] H=\bruch{B}{\mu} [/mm] einsetze, so komme ich auf [mm] w=\bruch{B}{\mu}*\integral_{B=0}^{B_{max}}{dB}
[/mm]
Nun löse ich noch das Integral auf und [mm] B_{max} [/mm] sollte doch B sein.
[mm] w=\bruch{B^2}{\mu}
[/mm]
Ich komme aber nicht auf
[mm] w=\bruch{B^2}{2*\mu}
[/mm]
Ich mache also an der Stelle irgend etwas falsch.
Wenn ich aber mit gegebener Formel weiter rechne bekomme ich für
[mm] W_{m}=\integral_{V}^{}{[\integral_{B=0}^{B_{max}}{HdB}]dV}=\integral_{V}^{}{[\bruch{B^2}{2*\mu}]dV}=\bruch{B^2}{2*\mu}*\integral_{V}^{}{dV}=\bruch{B^2}{2*\mu}*a^2*\pi*l=\bruch{\mu*H^2}{2}*a^2*\pi*l=\bruch{\mu*2\pi*a}{2}*a^2*\pi*l=\bruch{\mu 2\pi^2 a^3*l}{2} [/mm] und dort müsste ja als Einheit [mm] [Vsm^3] [/mm] heraus kommen, was für mich richtig aussieht.
Wäre sehr schön, wenn sich das nochmal jemand anschauen könnte, da ich mir mit der Einheit der magnetischen Energie und auch mit der Herleitung noch sehr unsicher bin.
Gruß
Binky
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 So 20.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Binky,
bei Deiner oben angegebenen Rechnung ist ein Denkfehler mit drin, da Du H vor das Integral ziehst, da es angeblich unabhängig von B ist, ein Schritt später setzt Du jedoch [mm] \mu [/mm] als Proportionalitätskonstante zwischen beiden Größen ein.
Wie wäre es denn mit
$$ w = [mm] \int_0^{B_{max}} [/mm] H [mm] \, [/mm] dB = [mm] \int_0^{B_{max}} \bruch{B}{\mu} [/mm] dB = [mm] \bruch{1}{2\mu} B_{max}^2\, [/mm] ? $$
VG,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 20.09.2009 | | Autor: | Binky |
Aber na klar.
Danke dir. Ansonsten alles soweit richtig?
Gruß
Binky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 So 20.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo Binky,
bis zur Auflösung des Volumenintegrals kann ich Dir noch folgen, dann vermisse ich aber den Gleichstrom [mm] I_0 [/mm], der vorgegeben war. Hier bekommst Du doch aus dem Umlaufintegral mit Radius a
$$ H 2 [mm] \pi [/mm] a = [mm] I_0 [/mm] $$ und das kannst Du nach H auflösen und dann in Dein Ergebnis einsetzen.
VG,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 20.09.2009 | | Autor: | Binky |
Stimmt ja,
ich war einfach heute morgen noch nicht wirklich fit.
[mm] W_{m}=\integral_{V}^{}{[\integral_{B=0}^{B_{max}}{HdB}]dV}
[/mm]
[mm] =\integral_{V}^{}{[\bruch{B^2}{2*\mu}]dV}
[/mm]
[mm] =\bruch{B^2}{2*\mu}*\integral_{V}^{}{dV}
[/mm]
[mm] =\bruch{B^2}{2*\mu}*a^2*\pi*l
[/mm]
[mm] =\bruch{\mu*H^2}{2}*a^2*\pi*l
[/mm]
[mm] =\bruch{\mu*(\bruch{I_{0}}{2\pi*a})^2}{2}a^2*\pi*l
[/mm]
[mm] =\bruch{\mu*\bruch{I_{0}^2}{4\pi^2*a^2}}{2}a^2*\pi*l
[/mm]
[mm] =\bruch{\mu*\bruch{I_{0}^2}{4\pi}}{2}*l
[/mm]
[mm] =\bruch{\mu*I_{0}^2*l}{8\pi} [\bruch{Vs}{Am}*A^2m][VsA][J]
[/mm]
Und Joule dürfte auf jeden Fall die richtige Größe sein.
Stimmt es dann soweit.
Gruß
Binky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 20.09.2009 | | Autor: | Infinit |
Ja, da komme ich auch drauf, auf dieses Ergebnis.
VG,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 So 20.09.2009 | | Autor: | Binky |
Danke nochmal für die Hilfe.
Dann gehts direkt zur nächsten Aufgabe und bestimmt später auch zum nächsten Fragenartikel.
Gruß
Binky
|
|
|
|
