Majorantenkriterium < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Di 17.01.2006 | | Autor: | lydl87 |
Hallo!
kann mir bitte jemand das Majoranten und das minorantenkriterium an einem beispiel erklären?Hab das nicht verstanden.
Vielen dank im voraus!
Lydia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Di 17.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Lydia!
Nehmen wir an, wir wissen, dass die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ [/mm] konvergiert.
Nun gilt für alle $x [mm] \in \IR$:
[/mm]
[mm] $\left|\frac{\sin(x)}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2}$.
[/mm]
Daher konvergiert auch die Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(x)}{n^2}$
[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] (sogar absolut und gleichmäßig).
Das war eine Form des Majorantenkriteriums.
Nun zum Minomrantenkriterium:
Wir wissen, dass die harmonische Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ [/mm] divergiert.
Es gilt aber etwa
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}} \ge \frac{1}{n}$
[/mm]
für alle $n [mm] \in \IN$. [/mm] Daher divergiert auch die Reihe [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte es dir durch die Beispiele etwas verständlicher machen. 
Liebe Grüße
Julius
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