Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 So 29.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgendes Majorantenkriterium :
gegeben seinen eine Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN}, [/mm] eine reelle Zahl a, eine Nullfolge [mm] (b_{n})_{n\in \IN} [/mm] und eine Natürliche Zahl [mm] N_{0}. [/mm] Dann gilt:
[mm] |a_{n}-a|\le |b_{n}| [/mm] für alle n [mm] \ge N_{0} [/mm] |
Mir ist schon klar dass eine Folge minus ihren grenzwert einer Nullfolger entspricht aber wie beweise ist das ??
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 So 29.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Beweisen Sie folgendes Majorantenkriterium :
> gegeben seinen eine Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN},[/mm] eine reelle
> Zahl a, eine Nullfolge [mm](b_{n})_{n\in \IN}[/mm] und eine
> Natürliche Zahl [mm]N_{0}.[/mm] Dann gilt:
>
> [mm]|a_{n}-a|\le |b_{n}|[/mm] für alle n [mm]\ge N_{0}[/mm]
Die Art wie das aufgeschrieben ist, ist totaler Schmarn.
Es ist nämlich, so wie es da steht, einfach mal total falsch.
Schreibe die Aufgabe ordentlich hin, dann hilft man dir hier auch!
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 29.11.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Beweisen sie folgendes Majorantenkriterium :
Gegeben seien eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in \IN}, [/mm] eine reelle Zahl a, eine Nullfolge [mm] (b_{n})_{n\in \IN} [/mm] und eine natürliche Zahl [mm] N_{0}. [/mm] Gilt
[mm] |a_{n}-a| \le |b_{n}| [/mm] für alle n [mm] \ge N_{0}
[/mm]
so konvergiert die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegen a
|
Tut mir leid. Die letzte Zeile muss ich versehentlich gelöscht haben.
Wir hatten das Majorantenkriterium schon etwas länger als selbstverständlich angenommen und
jetzt sollen wir es beweisen.Aber wie ?
|
|
|
| |
|
Hallo Ayame,
schreib dir mal auf, was es heisst, dass [mm] a_n [/mm] gegen a konvergiert. Das musst du dann zeigen, unter der gegebenen Voraussetzung.
Wenn du dir die Definition von [mm] $a_n \to [/mm] a$ (was zu zeigen ist) und [mm] $b_n \to [/mm] 0$ (was gilt) mal ausführlich hinschreibst, steht es schon fast da....
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 29.11.2009 | | Autor: | Ayame |
also :
[mm] |a_{n}-a| [/mm] = Nullfolge wenn a der grenzwert der folge [mm] a_{n} [/mm] ist.
[mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} \ge \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}= [/mm] 0
daraus folgt dass a [mm] \ge [/mm] 0 sein muss, oder ?
ich komm da einfach nicht weiter :(
|
|
|
| |
|
Hallo Ayame,
Gonozal_IX meinte wollte glaube ich ein wenig mehr [mm] \varepsilon's [/mm] in deiner Aussage sehen, d.h. die Definition von Konvergenz.
Wenn [mm] b_{n} [/mm] Nullfolge ist, heißt das doch:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{1}\in\IN \forall [/mm] n>N: [mm] |b_{n}-0| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Und dir ist gegeben, dass [mm] $|a_{n}-a| \le |b_{n}|$. [/mm]
Bei deiner Aufgabe musst du zeigen: [mm] $a_{n}\to [/mm] a$, d.h.
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{2}\in\IN \forall [/mm] n>N: [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Nun beginne: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig. Dann ist
[mm] $|a_{n}-a| \le [/mm] ... [mm] \le \varepsilon$ [/mm] für $n > [mm] N_{1}$, [/mm] d.h.
- Hier bitte Definition der Konvergenz für [mm] a_{n}\to [/mm] a hinschreiben - (Schreibe: Wähle [mm] N_{2} [/mm] = [mm] N_{1} [/mm] noch an die richtige Stelle).
q.e.d.
Grüße.
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 29.11.2009 | | Autor: | Ayame |
für [mm] \varepsilon [/mm] beliebig :
[mm] |a_{n}-a| \le |b_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n > [mm] N_{1}
[/mm]
"Hier bitte Definition der Konvergenz für [mm] a_{n} \to [/mm] a hinschreiben"
den Limes ??
Aber wie kann ich denn zeigen dass [mm] N_{1}=N_{2} [/mm] gilt ?
Tut mir leid wenn ich schwer von begriff bin :(
|
|
|
| |
|
Hallo Ayame,
> für [mm]\varepsilon[/mm] beliebig :
>
> [mm]|a_{n}-a| \le |b_{n}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für n > [mm]N_{1}[/mm]
>
>
> "Hier bitte Definition der Konvergenz für [mm]a_{n} \to[/mm] a
> hinschreiben"
> den Limes ??
> Aber wie kann ich denn zeigen dass [mm]N_{1}=N_{2}[/mm] gilt ?
Das musst du nicht zeigen. Wir haben als Voraussetzung, dass die Folge [mm] b_{n} [/mm] gegen 0 konvergiert. D.h. es gibt für jedes beliebig gewählte [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] N_{1} [/mm] sodass für alle n > [mm] N_{1} [/mm] der Term [mm] $|b_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
Nun wählen wir für die Aufgabe zunächst [mm] \varepsilon [/mm] beliebig, und schreiben:
[mm] $|a_{n}-a| \le |b_{n}|$
[/mm]
(Das gilt für alle n > [mm] N_{0} [/mm] nach der Aufgabenstellung). Nun wissen wir, dass es zu dem beliebig gewähltem [mm] \varepsilon [/mm] also ein [mm] N_{1} [/mm] gibt sodass [mm] |b_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon, [/mm] d.h. wir können schreiben, dass
[mm] $|a_{n}-a| \le |b_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon$,
[/mm]
wenn n größer als [mm] N_{1} [/mm] und größer als [mm] N_{0} [/mm] ist. (Nochmal: Dass n größer als [mm] N_{0} [/mm] ist brauchen wir, damit die erste Ungleichung gilt, dass n größer als [mm] N_{1} [/mm] ist, für die zweite).
Und nun steht da:
[mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für $n > [mm] max(N_{0},N_{1})$,
[/mm]
was aber nichts anderes bedeutet, dass wir gezeigt haben dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt (nämlich N:= [mm] max(N_{0},N_{1})), [/mm] sodass für alle n > N gilt:
[mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Das ist gerade die Definition der Konvergenz für [mm] a_{n}\to [/mm] a.
Die Aussage ist damit (schon) bewiesen! 
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
