Majorantenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:49 Di 26.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe des Majoranten bzw Minorantenkriteriums die Aussagen über folgene Reihen:
[mm] \summe_{n=17}^{\infty} \bruch{7n^3+18n+2}{n^5+100}
[/mm]
(Hinweis: diese Reihe ist konvergent!) |
Die Theorie des Majorantenkriteriums ist mir an sich klar, aber ich weiß nicht wirklich wie ich das Abschätzen beginne... Theoretisch könnte ich mir ja immer irgendeine Folge suchen, die das bestätigt, was ich glaube.
Ich versteh nicht wie "weit" man mit der Abschätzung gehen darf...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie mit Hilfe des Majoranten bzw
> Minorantenkriteriums die Aussagen über folgene Reihen:
>
> [mm]\summe_{n=17}^{\infty} \bruch{7n^3+18n+2}{n^5+100}[/mm]
>
> (Hinweis: diese Reihe ist konvergent!)
> Die Theorie des Majorantenkriteriums ist mir an sich klar,
> aber ich weiß nicht wirklich wie ich das Abschätzen
> beginne... Theoretisch könnte ich mir ja immer irgendeine
> Folge suchen, die das bestätigt, was ich glaube.
> Ich versteh nicht wie "weit" man mit der Abschätzung
> gehen darf...
Das ist Übungs- und Erfahrungssache.
Sei [mm] a_n:=\bruch{7n^3+18n+2}{n^5+100} [/mm]
Vorgehensweise:
der Zähler von [mm] a_n [/mm] verhält sich für große n etwa wie [mm] n^3
[/mm]
der Nenner von [mm] a_n [/mm] verhält sich für große n etwa wie [mm] n^5
[/mm]
Damit verhält sich [mm] a_n [/mm] etwa wie [mm] n^3/n^5=1/n^2
[/mm]
Daher Vermutung: [mm] \sum a_n [/mm] ist konvergent
Ziel: Abschätzung: 0 [mm] \le a_n \le c/n^2
[/mm]
Zähler abschätzen: [mm] 7n^3+18n+2 \le 7n^3+18n^3+2n^3= 27n^3
[/mm]
Nenner abschätzen: [mm] n^5+100 \ge n^5
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Di 26.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Ich dachte man muss dann "nur" zeigen, dass
an< 1/n² ist.. ?!
Warum multiplitziere ich Zähler und Nenner mit der jeweils größten Potenz?
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Hallo,
> Ich dachte man muss dann "nur" zeigen, dass
> an< 1/n² ist.. ?!
Ist es aber nicht. Die Reihe konvergiert trotzdem. Fred rechnet doch gerade vor, wie du gegen [mm] c/n^2 [/mm] abschätzen kannst. Mit [mm] c\in\IR [/mm] ist auch diese Reihe konvergent.
> Warum multiplitziere ich Zähler und Nenner mit der jeweils
> größten Potenz?
Hmm, nicht gut formuliert, aber ich denke, ich weiß, was Du meinst - also warum er da nur noch [mm] n^3 [/mm] bzw. nur noch [mm] n^5 [/mm] stehen hat? Na, um die Abschätzung so weit wie möglich zu vereinfachen. Du bekommst eine Ungleichungskette, die mit Deiner zu zeigenden Reihe anfängt und mit [mm] c/n^2 [/mm] aufhört.
Nur: was ist ein geeignetes c?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 26.10.2010 | | Autor: | Zeitlos |
Kann ich irgendein beliebiges c einsetzen ?
Ich würde ein möglichst großes wählen um sicherzugehen, dass [mm] c/n^2 [/mm] wirklich immer größer als an ist..
oder kann ich auch 7n³+18n+2 wählen... dann wär das Ergebnis sofort offensichtlich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 26.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich irgendein beliebiges c einsetzen ?
Hast Du eigentlich durchdacht, was reverend und ich geshrieben haben ? Wohl kaum.
Nochmal:
Zähler abschätzen: $ [mm] 7n^3+18n+2 \le 7n^3+18n^3+2n^3= 27n^3 [/mm] $
Nenner abschätzen: $ [mm] n^5+100 \ge n^5 [/mm] $
Dann haben wir doch: $0 [mm] \le a_n \le [/mm] 27* [mm] \bruch{n^3}{n^5}= [/mm] 27* [mm] \bruch{1}{n^2}$
[/mm]
FRED
> Ich würde ein möglichst großes wählen um
> sicherzugehen, dass [mm]c/n^2[/mm] wirklich immer größer als an
> ist..
> oder kann ich auch 7n³+18n+2 wählen... dann wär das
> Ergebnis sofort offensichtlich
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