Mal was anderes ;) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:15 Fr 17.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich habe hier eine Aufgabe, die Christian (SirJective) mit mir gerechnet hat, als ich noch in den Startlöchern steckte.
Ist mal was anderes, also gut Glück 
Aufgabe:
Wie viele natürliche Lösungen hat die Gleichung
[mm] $\frac{x\cdot y}{x+y}=2004$
[/mm]
Gruß,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:18 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
wegen der Symetrie können wir x [mm] \le [/mm] y annehmen.
Formen wir erstmal die Ausgangsgleichung um:
[mm]\bruch{x*y}{x+y}=2004 \gdw y=\bruch{2004x}{x-2004} [/mm]
Überprüfen wir erstmald die entstandene Deffinitionslücke x=2004
[mm]2004y=2004^2+2004y \gdw 0=2004 [/mm] Wiederspruch!
schaut man sich nun den Nenner an erkennt man: x > 2004, da dieser sonst negativ ist.
Betrachten wir zuerstmal den Fall x=y. Hieraus folgt [mm]\bruch{2}{x}=\bruch{1}{2004} \gdw x=4008 [/mm]
Für weitere Lösungen muss x < y gelten, da nicht x,y>4008 sein können.
Sonst [mm]\bruch{1}{x};\bruch{1}{y}<\bruch{1}{2}\bruch{1}{2004}[/mm] und die Gleichheit kann nichtmehr erreicht werden.
Somit gilt [mm] x\in[2004;4008] [/mm]
Prüfen wir nun, wann der Bruch einer natürlichen Zahl entspricht:
i) [mm]x-2004|2004[/mm]
Dies gilt für alle [mm] x-2004=x_1 [/mm] die nur aus Primfaktoren von [mm]2004=2*2*3*167[/mm] bestehen bzw [mm] x_1=p_1*...*p_n [/mm] mit n<4 (Lösung mit n=4 haben wir schon)
Hierbei ergeben sich also [mm] { 4 \choose1}+{ 4 \choose2}+{ 4\choose3}=14[/mm] Lösungen
ii) [mm]x-2004|x \Rightarrow x=k*2004 \rightarrow x=2004 \vee 4008[/mm]
alle Fälle in denen x in dem intervall in dem es deffiniert ist ein Vielfaches von 2004 ist wurden bereits gesondert betrachtet.
iii)[mm](x-2004)|2004*x [/mm] ; aber nicht x oder 2004 für sich.
Sagen wir, [mm]2004*x=2*2*3*167*p_1***p_n[/mm]
[mm]x-2004=p_1***p_n-2*2*3*167=(q_1***q_m-r_1***r_i)*s_1***s_k[/mm]
a)es keinen gem. Faktor
[mm]y=\bruch{2004x}{x-2004}[/mm] lässt sich nicht kürzen, und somit muss x=2005 sein, damit der Nenner 1 wir. (neu Lösung!!!)
b)es gibt mehrere gem. Faktoren
[mm]y=\bruch{2004x}{x-2004} \gdw y=\bruch{(2004x_1)t}{(x_1-2004)t} \Rightarrow x_1-2004=1[/mm]
[mm]x_1=\bruch{x}{t} \gdw x=2005*t[/mm] [mm] (t=s_1***s_k)
[/mm]
Es gibt also keine weiteren Lösungen, da für t>1 x>4008 folgt.
Die Anzahl der natührlichen Lösungen ist also 14(aus iii)+1(aus x=y)+1 (aus x=2005) =16 Lösungen bzw 32 wenn lösungen dazunehme bei dennen x und y vertauscht wurde(also lösungen mit y<x)
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
> i) [mm]x-2004|2004[/mm]
> Dies gilt für alle [mm]x-2004=x_1[/mm] die nur aus Primfaktoren von
> [mm]2004=2*2*3*167[/mm] bestehen bzw [mm]x_1=p_1*...*p_n[/mm] mit n<4 (Lösung
> mit n=4 haben wir schon)
> Hierbei ergeben sich also [mm]{ 4 \choose1}+{ 4 \choose2}+{ 4\choose3}=14[/mm]
> Lösungen
Zählst du hier nicht Lösungen doppelt? Schließlich sind es zwei (nicht-unterscheidbare) Zweien.
Ich komme hier auf $3+4+3=10$ Lösungen, plus deine anderen zwei Lösungen.
Macht insgesamt $12$ Lösungen für $x [mm] \le [/mm] y$, insgesamt also auf $23$ Lösungen ($2 [mm] \cdot [/mm] 12 -1$).
Oder täusche ich mich?
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Deine Lösung ist auf jeden Fall doch auch noch an anderer Stelle falsch, da Hannos und Jans Lösungen definitiv richtig sind. Tut mir leid, dass ich beim ersten Mal nur flüchtig draufgeschaut habe. ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
> a)es keinen gem. Faktor
> [mm]y=\bruch{2004x}{x-2004}[/mm] lässt sich nicht kürzen, und somit
> muss x=2005 sein, damit der Nenner 1 wir. (neu Lösung!!!)
Das ist mit Sicherheit falsch. Auch wenn $x$ und $2004$ keinen gemeinsamen Primfaktor haben, kann $x-2004>1$ ein Teiler von $2004x$ sein.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Stefan
Ich hab tatsächlich ein Fehler gemacht, da ich sämtliche Kombinationen aus 2 2 3 167 gesucht habe, ohne zuberücksichtigen, dass ich 2mal eine 2 habe. Somit komme ich dann nur noch auf folgende 6 Variationen der Primfaktoren(2 2)(2 2 3)(2 2 167)(2 3)(2 3 167)(2 167) [(2 2 3 167) hab ich gesondert betrachtet] anstatt der von mir behaupteten 14.
Das würde dann mit[mm] x \le y[/mm] bedeuten, dass es 8 Lösungen gibt!
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Hast du jetzt nicht
(2), (3), (167) und (3 167)
vergessen?
Mal was anderes: Du gehst erst in die 10. Klasse?
Wirst du irgendwie besonders gefördert? Denn dein Abstraktionsvermögen und mathematisches Geschick ist ja für dein Alter echt außergewöhnlich!!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hi Stefan
> Lieber Samuel!
>
> Hast du jetzt nicht
>
> (2), (3), (167) und (3 167)
>
> vergessen?
Ja,ja schnell und schlampig... Deine 12 Lösungen sind natürlich richtig!
> Mal was anderes: Du gehst erst in die 10. Klasse?
>
Naja, genau genommen geh ich seiten einer Woche in die 11.Klasse (muss wohl mal mein Profil mal aktualisieren
> Wirst du irgendwie besonders gefördert? Denn dein
> Abstraktionsvermögen und mathematisches Talent ist ja für
> dein Alter echt außergewöhnlich!!
Vielen Dank!!! Nein, ich werde nicht besonders gefördert. Hab allerdings ein bissichen Erfahrung mit solchen Aufgaben, da ich beim Landeswettbewerb erfolgreich teilgenommen habe und mich auch sonst gerne mit solchen Problemen befasse
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich habe irgendwie etwas anderes raus, daher poste ich einfach mal die meine Lösung :-/
[mm] $\frac{x\cdot y}{x+y}=2004$
[/mm]
[mm] $\gdw x\cdot y=2004\cdot x+2004\cdot [/mm] y$
[mm] $\gdw y=-\frac{2004\cdot x}{2004-x}$
[/mm]
Daher muss $x>2004$ gelten.
Sei nun $x=2004+z$
Dann gilt
[mm] $\frac{(2004+z)\cdot y}{2004+z+y}=2004$
[/mm]
[mm] $\gdw (2004+z)\cdot y=2004^2+2004\cdot z+2004\cdot [/mm] y$
[mm] $\gdw 2004\cdot y+y\cdot z=2004^2+2004\cdot z+2004\cdot [/mm] y$
[mm] $\gdw z(y-2004)=2004^2$
[/mm]
D.h. also, dass $y$ gelten muss. Ersetzen wir mit $y-2004=k$, so erhalten wir
[mm] $\gdw k\cdot z=2004^2$.
[/mm]
Dafür gibt es wegen
[mm] $2004^2=2^4\cdot 3^2\cdot 167^2$ [/mm] genau
[mm] $5\cdot 3^2=45$ [/mm]
Lösungen.
Wo liegt da der Fehler?
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Hmmh, deine Lösung scheint richtig zu sein. Dann liegt bei uns der Fehler. Ich nehme mal an, ich muss mir Samuels Lösung doch noch mal genauer anschauen, ein paar Sachen habe ich mehr oder weniger ungeprüft übernommen.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno.
> Aufgabe:
> Wie viele natürliche Lösungen hat die Gleichung
> [mm]\frac{x\cdot y}{x+y}=2004[/mm]
Die Gleichung kann man wie folgt umformen
[mm]\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{2004}[/mm]
Damit die Linke Seite nicht größer als [mm]\frac{1}{2004}[/mm] wird muss gelten:
[mm]x,y > 2004[/mm]
[mm]x = 2004+a, y = 2004+b[/mm]
[mm]\frac{(2004+a)\cdot{}(2004+b)}{4008+a+b} = 2004[/mm]
[mm]\frac{(2004)^2+2004\cdot{}(a+b)+ab}{4008+a+b} = 2004[/mm]
[mm]\frac{2004+(a+b)+\frac{ab}{2004}}{4008+a+b} = 1[/mm]
[mm]2004+a+b+\frac{ab}{2004} = 4008+a+b[/mm]
[mm]\frac{ab}{2004} = 2004[/mm]
[mm]ab = 2004^2[/mm]
[mm]2004^2[/mm] hat die Primfaktorzerlegung [mm]2^4*3^2*167^2[/mm]
Die Exponenten der Primfaktoren sind also 4,2,2. Es ergeben sich also 5*3*3=45 Teiler der Zahl [mm] 2004^2 [/mm] (Die 0 als Exponent muss mitgezählt werden). Die Lösung wäre somit 45.
Ich hoffe mir ist kein Fehler unterlaufen.
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Jan!
Ja, ich sehe es sein, ihr habt wohl Recht. Jetzt muss ich den Fehler suchen (ist vermutlich in dem Schritt bei den gemeinsamen Faktoren, den hatte ich eh nicht richtig verstanden ).
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Sa 18.09.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
hi Leute
ich hab meinen Fehler gefunden:
ii) [mm]x-2004|x \Rightarrow x=k*2004 [/mm]
ist absolut falsch.
Vielmehr muss x-2004 durch Primfaktoren von x darstellbar sein, darf aber nicht nur aus Primfaktoren von 2004(i)), was ja offentsichtlich nach der falschen Aussage der Fall wäre.
Gruß Samuel
|
|
|
|
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]"){kind=small}
?
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
, ![[flatto-leiderned]](/images/smileys/flatto-leiderned.gif "[flatto-leiderned]"){kind=small}
. Der Fehler steckte an anderer Stelle (hast du ja selber bemerkt).
![[keineahnungfressehalten]](/images/smileys/keineahnungfressehalten.gif "[keineahnungfressehalten]"){kind=small}
![[spam1]](/images/smileys/spam1.gif "[spam1]")
![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]"){kind=small}
![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.landeswettbewerb-mathematik.de