www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Integration > Mal wieder Integration
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Integration" - Mal wieder Integration
Mal wieder Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Mal wieder Integration: Integration
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 So 06.07.2008
Autor: NichtExistent

Aufgabe
Integrieren Sie [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]!

[mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos(\pi * z) \cos(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \cos(\pi*z) * \frac{1}{\pi} * \sin(\pi * z) - \int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz} = -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \frac{1}{\pi} * \sin(\pi*z) * \cos(\pi * z)[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz} = 0[/mm]

... ich denke mal das ich da irgendwo einen (schweren) Fehler bei der Integration gemacht habe. Leider sehe ich diesen - wie so oft - nicht. Kann mir einer von euch vielleicht einen kleinen Tipp geben? Aber die partielle Integration zu verwenden ist doch der richtige Ansatz, oder? Vielen Dank im Voraus.

Viele Grüße,
NichtExistent
        
Bezug
Mal wieder Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 So 06.07.2008
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Integrieren Sie [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]!
>  [mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
>  
> [mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]

Genau hier anhalten, auf beiden Seiten der Partiellen-Integrations-Gleichung

[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]

die du berechnet hast, den Term

[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}[/mm]

addieren und die rechte Seite nach diesem Addieren STARK vereinfachen.

> Aber die partielle
> Integration zu verwenden ist doch der richtige Ansatz,
> oder?

Ja!

Stefan.
Bezug
                
Bezug
Mal wieder Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 So 06.07.2008
Autor: NichtExistent

Hey Stefan,
vielen Dank für deinen schnellen Hinweis. Ist das nun so gemachte nun korrekt?

[mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
[mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz} + \int{\sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) + \sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{1 dz}[/mm]
[mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z[/mm]
[mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z}{2*\pi}[/mm]

Viele Grüße,
NichtExistent
Bezug
                        
Bezug
Mal wieder Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:56 So 06.07.2008
Autor: schachuzipus

Hallo NichtExistent,

> Hey Stefan,
>  vielen Dank für deinen schnellen Hinweis. Ist das nun so
> gemachte nun korrekt?
>  
> [mm]= \int{\sin(\pi*z) * \sin(\pi*z) dz}[/mm]
>  [mm]= \sin(\pi*z)*(-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) - \int{\cos(\pi*z)*\pi * (-\frac{1}{\pi}*\cos(\pi*z)) dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\frac{1}{\pi}*\cos^2(\pi * z) * \pi dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) - \int{-\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) dz} + \int{\sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{\cos^2(\pi * z) + \sin^2(\pi * z) dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + \int{1 dz}[/mm]
>  
> [mm]2*\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{1}{\pi}*\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z[/mm] [daumenhoch]

Alles bestens bis hierher

>  
> [mm]\int{\sin^2(\pi*z) dz}= -\frac{\sin(\pi*z)*\cos(\pi * z) + z}{2*\pi}[/mm] [notok]

Hier ist was schiefgelaufen, das Minuszeichen muss in den Zähler zum [mm] $\sin(...)\cos(...)$ [/mm] und das z musst du doch erst erweitern, wenn du's auf den Bruchstrich schreiben willst: [mm] $z=\frac{\pi z}{\pi}$ [/mm]

Dann erst durch 2 teilen


Du hättest im Übrigen anstatt das [mm] $\int{\sin^2(\pi z) \ dz}$ [/mm] auf beiden Seiten zu addieren, das [mm] $\int{\cos^2(\pi z) \ dz}$ [/mm] umschreiben können in [mm] $\int{(1-\sin^2(\pi z)) \ dz}$, [/mm] was aber haargenau auf dasselbe hinausläuft.

Das ist ein nicht selten vorkommender "Trick" bei diesen trigonometrischen Biestern, lohnt also, sich zu merken ;-)

>  
> Viele Grüße,
>  NichtExistent


LG

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
Mal wieder Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:59 So 06.07.2008
Autor: NichtExistent

Hey schachuzipus,
autsch. Natürlich. Das passiert wenn man das nur noch schnell fertig machen und dann abschalten möchte. Hast natürlich recht :) Und danke für den anderen "Trick" :)

Liebe Grüße,
NE
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]