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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:10 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
...von der IMO-Aufgabe und zur Entspannung mal diese kleine Aufgabe lösen, die ich auf das Niveau Mathe-Olympiade (2. oder 3. Runde) setzen würde (ich weiß nicht, woher sie stammt):
Hat die Gleichung
[mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] = [mm] z^4$
[/mm]
mindestens ein Primzahltripel $(x,y,z)$ als Lösung?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich bin mir nicht sicher, was ich von meiner Idee halten soll, aber mir beißt ja keiner den Kopf ab, wenn sie nicht stimmt ;)
1.: Da die Summe zweier ungerader Zahlen eihne gerade Zahl ergibt, und jede Primzahl neben der Zwei ungerade sind, muss eine der drei Veränderlichen [mm]x,y[/mm] oder [mm]z[/mm] die Zwei sein.
a.) [mm]z=2[/mm]
[mm]x^2+y^3=16[/mm]
Durch Prüfen der Fälle für [mm]x[/mm] lässt sich feststellen, dass keine Lösung existiert.
b.) [mm]y=2[/mm]
[mm]x^2+8=z^4[/mm]
Für [mm]z_2=z^2[/mm] gilt
[mm]\gdw x^2+8=z_{2}^2[/mm]
Die einzige solche Differenz ist [mm]3^2-1^2=9-1=8[/mm]. Da [mm]1[/mm] jedoch keine Primzahl ist, fällt diese Möglichkeit weg.
c.) [mm]x=2[/mm]
[mm]4+y^3=z^4[/mm]
[mm]\gdw y^3=(z^2-2)(z^2+2)[/mm]
Der einzige gemeinsame Teiler beider Faktoren wäre die Zwei. Da jedoch [mm]z^2\pm 2[/mm] ungerade ist, fällt dieser Weg. Somit sind die beiden Faktoren teilerfremd und können daher auch keine dritte Potenz sein.
Ich fühle mich nicht wohl bei dem "Beweis", bitte kommentier den mal Stefan ;)
Gruß,
Hanno
PS @ Stefan:
Ich les dieses Wochenende wohl auch wieder am LA-Buch weiter.
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Hallo Hanno.
> [mm]\gdw y^3=(z^2-2)(z^2+2)[/mm]
Dazu hätte ich folgende Idee:
[mm]y^3[/mm] kennt doch nur eine Primfaktorzerlegung (y soll ja prim sein) nämlich 3 mal den Faktor y. Rechts stehen 2 Faktoren
[mm](z^2-2)[/mm] und [mm](z^2+2)[/mm]. Der Primfaktor y lässt sich nicht weiter zerlegen. Also funktioniert das Ganze eigentlich nur wenn gilt:
[mm](z^2-2) = y[/mm]
und
[mm](z^2+2) = y^2[/mm]
Demzufolge würde gelten:
[mm]z^2+2 = (z^2-2)^2 = z^4-4z^2+4[/mm]
[mm]z^4-5z^2+2=0[/mm]
[mm]z^2 = \bruch{5}{2} \pm \wurzel{\bruch{17}{4}}[/mm]
Für [mm]z^2[/mm] gäbe es demzufolge keine ganzzahlige Lösung.
Ich hoffe mal, dass ich keinen Blödsinn geredet habe 
MfG
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:30 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
> Ich bin mir nicht sicher, was ich von meiner Idee halten
> soll, aber mir beißt ja keiner den Kopf ab, wenn sie nicht
> stimmt ;)
Mit Sicherheit nicht. Hier wird Engagement honoriert, und Fehler darf jeder machen, solange er sich bemüht...
> 1.: Da die Summe zweier ungerader Zahlen eihne gerade Zahl
> ergibt, und jede Primzahl neben der Zwei ungerade sind,
> muss eine der drei Veränderlichen [mm]x,y[/mm] oder [mm]z[/mm] die Zwei
> sein.
Auf die Idee bin ich noch gar nicht gekommen. Ich habe die Aufgabe ganz anders gelöst. Aber so gefällt es mir sehr gut.
> a.) [mm]z=2[/mm]
> [mm]x^2+y^3=16[/mm]
> Durch Prüfen der Fälle für [mm]x[/mm] lässt sich feststellen, dass
> keine Lösung existiert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b.) [mm]y=2[/mm]
> [mm]x^2+8=z^4[/mm]
> Für [mm]z_2=z^2[/mm] gilt
> [mm]\gdw x^2+8=z_{2}^2[/mm]
>
> Die einzige solche Differenz ist [mm]3^2-1^2=9-1=8[/mm]. Da [mm]1[/mm] jedoch
> keine Primzahl ist, fällt diese Möglichkeit weg.
, auch wenn das nicht so schön ist, weil wenig begründet (würde bei der Mathe-Olympiade so nicht voll anerkannt werden). Aber ich drücke mal ein Auge zu. 
> c.) [mm]x=2[/mm]
> [mm]4+y^3=z^4[/mm]
> [mm]\gdw y^3=(z^2-2)(z^2+2)[/mm]
>
> Der einzige gemeinsame Teiler beider Faktoren wäre die
> Zwei. Da jedoch [mm]z^2\pm 2[/mm] ungerade ist, fällt dieser Weg.
> Somit sind die beiden Faktoren teilerfremd und können daher
> auch keine dritte Potenz sein.
Vom Prinzip her okay. Aber Jan hat es sauberer begründet. Wenn man eure beiden Lösungen zusammen nimmt, ist es super! Ich bin stolz auf euch, Jungs!
> PS @ Stefan:
> Ich les dieses Wochenende wohl auch wieder am LA-Buch
> weiter.
Super!! Dann lese ich auch weiter, und wir können zusammen die Aufgaben machen.
@Jan: Hast du auch Lust an meinem LA-Tutorial mitzumachen? Dann macht es vielleicht Hanno auch mehr Spaß, wenn noch ein anderer Mathe-Interessierter im etwa seinem Alter mitmacht (und nicht nur so ein alter Sack wie ich). Wir lesen zusammen das relativ elementare Buch "Lineare Algebra" von Beutelspacher, ein einführendes Buch (vom Niveau her irgendwo zwischen Schule und Uni) und machen zusammen die Aufgaben. Da wir erst in Kapitel 2 sind, kannst du gerne noch mitmachen. (Wenn Hanno nichts dagegen hat. Aber er wird schon nicht "eifersüchtig" sein. Oder, Hanno? Was hältst du davon?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho ;)
Ja klar, ich koche über vor Eifersucht *scherz*
Nein, im Ernst, fänd ich gut - dann könnt ich mich auch mal nebenbei mit ihm austauschen.
Also Jan, wann kaufst du's dir ;) ?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho nochmals.
Naja, wieso ist meine Begründung nicht gut? Es ist doch eigenltich ganz logisch ergründet durch die Teilerfremdheit, oder?
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Sa 28.08.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo Hanno.
> Naja, wieso ist meine Begründung nicht gut? Es ist doch
> eigenltich ganz logisch ergründet durch die
> Teilerfremdheit, oder?
Ich denke da hast du völlig Recht. Mein Beitrag war auch nicht als Kritik gedacht. Mir ist an dem Punkt lediglich eine andere Lösung eingefallen und da wollte ich eben auch noch meinen Senf dazu geben
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Jan ;)
Ich habs auch nicht als Kritik aufgefasst, und wollte auch nicht meckern - ich wollte nur für spätere aufgaben und die Olympiaden wissen, was mir da vorgeworfen werden könnte.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Deine Begründung ist ja richtig, aber man muss als Leser noch zu viel selber darüber nachdenken. Du musst die Sachen so ausführlich und exakt hinschreiben, dass sie einem sofort einleuchten. Das ist hier (mit Einschränkungen) nicht gegeben. Erst einmal sollte man noch einmal sagen, dass $y$ ja eine Primzahl sein soll. Salopp gesagt (das müsste man exakter hinschreiben) müssen sich also die drei $y$'s auf die beiden Faktoren aufteilen. Jetzt musst du ganz genau begründen, warum das nicht geht. (Theoretisch könnte ja trotz der Teilefreiheit der eine Faktor gleich $1$ sein und der andere gleich [mm] $y^3$. [/mm] Klar geht das nicht, das sehe ich, aber man sollte es begründen.)
Verstehst du, was ich meine? Du musst dem Leser das Denken abnehmen (das war jetzt wiederum sehr salopp), sonst wird ein Beweis nicht als Beweis anerkannt. Es ist eine hohe Kunst Beweise didaktisch gut, unmittelbar nachvollziehbar und trotzdem mathematisch-formal korrekt aufzuschreiben. Je früher du das übst, umso besser. Du bist aber durchaus auf einem guten Weg.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Sa 28.08.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo Stefan
> @Jan: Hast du auch Lust an meinem LA-Tutorial mitzumachen?
> Wir lesen zusammen das relativ elementare Buch "Lineare
> Algebra" von Beutelspacher, ein einführendes Buch (vom
> Niveau her irgendwo zwischen Schule und Uni) und machen
> zusammen die Aufgaben.
Das hört sich interessant an. Wie soll das denn genau ablaufen? Löst ihr die Aufgaben hier im Forum? Nutzt ihr dafür den IRC? Oder wie macht ihr das? Habt ihr da einen festen Zeitplan? In 2 Tagen sind nämlich meine Ferien vorbei und mein Abitur-Jahr beginnt. Da werde ich (leider) sicher nicht mehr allzu viel Zeit haben.
Welche Kenntnisse werden denn vorausgesetzt wenn man das Buch verstehen will?
So, ich denke, ich werde dann mal aufhören dich mit Fragen zu überschwemmen
MfG
Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Jan.
Wir lesen ein Kapitel und arbeiten dann die Aufgaben durch. Zeitdruck gibt es keinen, wir stimmen uns grob ab und lösen die (schwierigen) Aufgaben dann in dem Forum.
Die Voraussetzungen sinhd praktisch null. Du wirst sanft von der Schul- in die Universitätsmathematik überführt.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Jan!
Ich denke mal, Hanno hat alles dazu gesagt. Ihr könnt einfach in Ruhe das Buch lesen, ich lese es parallel. Der Sinn ist der, dass ihr bei Fragen jederzeit einen Fachmann *hüstel* fragen könnt. Zumindestens war ich jeweils zweimal Tutor für Lineare Algebra I und II, so dass ich da ganz gut weiß, wo die Probleme liegen. Ihr solltet diese Chance nutzen, denn so bequem wie jetzt könnt ihr die Lineare Algebra nie mehr wieder erlernen. Im Studium geht das alles nur unter enormem Zeitdruck, so dass sich die Inhalte gar nicht richtig setzen können. Erst wenn man dann für die Prüfungen lernt, versteht man die Details erst so richtig. Ihr habt hier die Chance jetzt bereits die Grundlagen zu erlernen und dann im Studium in den Vorlesungen mehr zu verstehen als man es sonst tun würde. (Ich gehe mal fest davon aus, dass ihr beide Mathe studieren wollt. ) Außerdem bringt es euch ja auch etwas die theoretischen Hintergründe der "Linearen Algebra" aus der Schule (die ja eher eine Geometrie-Veranstaltung ist) besser zu verstehen. Herr Prof. Beutelspacher ist ein exzellenter Professor und, wie ich von einigen seiner Studenten weiß, ein sehr netter Mensch. Es gelingt ihm Mathematik didaktisch perfekt, anschaulich und mit der richtigen Prise Humor darzustellen. Sein Buch ist genau das richtige, um in die Uni-Mathematik einzusteigen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Ich möchte noch einen anderen Beweis anbringen - um wieder auf mein Lieblingsgebiet, der Kongruenzrechnung zurückzukommen ;)
Nehmen wir an, [mm]x,y,z\in P \wedge x,y,z>3[/mm].
Wir betrachten den Dreierrest bei einer Potenzierung einer Zahl [mm]z[/mm] mit dem Exponenten [mm]k[/mm]:
a.) [mm]k=2[/mm]
[mm]z\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
[mm]z\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
b.) [mm]k=3[/mm]
[mm]z\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
[mm]z\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 2\pmod {3}[/mm]
c.) [mm]k=4[/mm]
[mm]z\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
[mm]z\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
Sei [mm]A:=\{1,1\}, B:=\{1,2\}, C:=\{1,1\}[/mm]
Durch Prüfen sehen wir, dass es keine Elemente [mm]a\in A, b\in B, c\in C[/mm] gibt, für die gilt:
[mm]a+b\equiv c\pmod{3}[/mm]
D.h. also, dass entweder [mm]x[/mm] oder [mm]z[/mm] gleich Dreisein muss.
-> [mm]z=3[/mm]
[mm]x^2+y^3=z^4=81[/mm]
$x$ oder $y$ müssen Gerade, also die Zwei sein.
--> $x=2$
[mm] $y^3=77 \Rightarrow$ [/mm] keine ganzzahlige Lösung
--> $y=2$
[mm] $x^2=73 \Rightarrow$ [/mm] keine ganzzahlige Lösung
-> $x=3$
[mm] $9+y^3=z^4$
[/mm]
Siehe oben: $y$ oder $z$ müssen die Zwei sein
--> $y=2$
[mm] $9+8=17=z^4\Rightarrow$ [/mm] keine ganzzahlige Lösung
--> $z=2$
[mm] $y^3=7\Rightarrow$ [/mm] keine ganzzahlige Lösung.
$y=3$ brauchen wir nicht zu prüfen - siehe Modulo-Tabelle.
Damit ist meiner Ansicht nach bewiesen, dass es keinen Primzahltripel $(x,y,z)$ gibt, welcher die Gleichung [mm] $x^2+y^3=z^4$ [/mm] erfüllt.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:55 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ja, so scheint es grundsätzlich auch zu gehen. Wieder sehr kreativ von dir!
Noch ein paar Anmerkungen und Fragen:
> a.) [mm]k=2[/mm]
> [mm]z\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
>
> [mm]z\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
> b.)
> [mm]k=3[/mm]
> [mm]z\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
>
> [mm]z\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 2\pmod {3}[/mm]
> c.)
> [mm]k=4[/mm]
> [mm]z\equiv 1\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
>
> [mm]z\equiv 2\pmod{3}\Rightarrow z^2\equiv 1\pmod {3}[/mm]
Hier hast du bei b) und c) die Potenzen nach dem Copy and Paste nicht geändert.
> Sei [mm]A:=\{1,1\}, B:=\{1,2\}, C:=\{1,1\}[/mm]
>
> Durch Prüfen sehen wir, dass es keine Elemente [mm]a\in A, b\in B, c\in C[/mm]
> gibt, für die gilt:
> [mm]a+b\equiv c\pmod{3}[/mm]
> D.h. also, dass entweder [mm]x[/mm] oder [mm]z[/mm] gleich Dreisein muss.
> -> [mm]z=3[/mm]
> [mm]x^2+y^3=z^4=81[/mm]
> [mm]x[/mm] oder [mm]y[/mm] müssen Gerade, also die Zwei sein.
> --> [mm]x=2[/mm]
> [mm]y^3=77 \Rightarrow[/mm] keine ganzzahlige Lösung
> --> [mm]y=2[/mm]
> [mm]x^2=73 \Rightarrow[/mm] keine ganzzahlige Lösung
> -> [mm]x=3[/mm]
> [mm]9+y^3=z^4[/mm]
> Siehe oben: [mm]y[/mm] oder [mm]z[/mm] müssen die Zwei sein
> --> [mm]y=2[/mm]
> [mm]9+8=17=z^4\Rightarrow[/mm] keine ganzzahlige Lösung
> --> [mm]z=2[/mm]
> [mm]y^3=7\Rightarrow[/mm] keine ganzzahlige Lösung.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]y=3[/mm] brauchen wir nicht zu prüfen - siehe Modulo-Tabelle.
Warum? Dann steht doch auf beiden Seiten der Gleichung $1$ modulo $3$, oder bin ich gerade blind? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 So 29.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Oh, tut mir leid, einmal mehr eine Unachtsamkeit von mir.
Das hole ich nach
[mm] $x^2+27=z^4$.
[/mm]
-> x gerade
[mm] $31=z^4$ [/mm] keine ganzzahlige Lösung
-> z gerade
[mm] $x^2+27=16$ [/mm] keine ganzzahlige Lösung
Gruß,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 So 29.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Jetzt stimmt alles. Super!
Liebe Grüße
Stefan
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