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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 31.03.2005 | | Autor: | HeikoM. |
Hallo,
ich verzweifel an folgender Aufgabe.
[mm] M:=\left\{(x,y,z)^{T}x\in\IR^{3}\ |\ 0\le x=4-x^{2}-y^{2}\right\}
[/mm]
Bestimmen sie das 2 dimensionale Volumen (also Oberfläche) von M. Hierbei handelt es sich um einen Paraboloiden, welcher in der x-y-Ebene einen Kreis mit dem Radius r=2 beschreibt. Habe dazu Polarkoordinaten eingeführt und M mit folgender Funktion parametrisiert.
[mm] g(r,\varphi)=(rcos(\varphi),rsin(\varphi),4-r^{2})^{T}
[/mm]
[mm] \Rightarrow G^{\bruch{1} {2}}=2r\wurzel{r^{2}+\bruch{1} {4}} [/mm] (Wurzel aus der Gram'schen Determinante)
Damit müsste folgendes Integral die Mantelfläche sein.
[mm] A=\int_{0}^{2} {\int_{0}^{2\pi} {2r\wurzel{r^{2}+\bruch{1} {4}} d\varphi}dr}=\bruch{4\pi}{3}\left[\left(\bruch{\wurzel{17}}{2}\right)^{\bruch{3}{2}}-\left(\bruch{1}{2}\right)^{\bruch{3}{2}}\right]
[/mm]
Benutze ich aber die Formel für Rotationskörper, komme ich zu folgendem Ergebnis.
[mm] A=\bruch{44\pi}{3}
[/mm]
Irgendwo hat sich da ein Fehler eingeschlichen und ich finde ihn leider nicht. Das erste Ergebnis ist seltsam, doch diese Methode müsste eigentlich zum richtigen Ergebnis führen und ob das zweite richtig ist, weiß ich leider auch nicht. Hab auch schon gegoogled, aber leider keine Formel für die Flächenberechnung eines rotationssymmetrischen Paraboloiden gefunden. Vielleicht fällt euch auf, wo der Fehler stecken könnte. So weiß ich leider nicht, ob die Methode mit der Gram'schen Determinante richtig ist (müsste sie eigentlich sein, hat bisher immer geklappt) und sowas kommt in der nächsten Prüfung dran.
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Hallo,
> [mm]A=\int_{0}^{2} {\int_{0}^{2\pi} {2r\wurzel{r^{2}+\bruch{1} {4}} d\varphi}dr}=\bruch{4\pi}{3}\left[\left(\bruch{\wurzel{17}}{2}\right)^{\bruch{3}{2}}-\left(\bruch{1}{2}\right)^{\bruch{3}{2}}\right][/mm]
das muss wohl heißen:
[mm]A=\int_{0}^{2} {\int_{0}^{2\pi} {2r\wurzel{r^{2}+\bruch{1} {4}} d\varphi}dr}=\bruch{4\pi}{3}\left[\left(\bruch{17}{4}\right)^{\bruch{3}{2}}-\left(\bruch{1}{4}\right)^{\bruch{3}{2}}\right][/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Fr 01.04.2005 | | Autor: | HeikoM. |
Danke! Da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen. Dennoch hab ich nun zwei unterschiedliche Ergebnisse (das eben korrigierte, sowie das vom Paraboloiden als Rotationskörper) und weiß leider nicht welches richtig ist. Vielleicht kann mar da noch jemand weiterhelfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Sa 02.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hab dein Integral nachgeprüft, es muß richtig sein!
Was ist deine Formel für den Rotationskrper?
Gruß leduart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Sa 02.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich kenn mich mit Gramsche Determinante nicht aus, aber was du damit ausrechnest ist eindeutig ein Volumen keine Fläche! Als Physiker merkst du das an der Dimension , da r,dr Längen sind!!
Vielleicht auch: du benutzt nicht Polar, sondern Zylinderkoordinaten?
Hilft dir das?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:14 So 03.04.2005 | | Autor: | HeikoM. |
Hallo,
die Formel für den Rotationskörper hab ich aus einer Formelsammlung und lautet:
[mm] A=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} {z(x)\wurzel{1+\left(\bruch{dz}{dx}\right)}dx}
[/mm]
Für die Menge M gilt:
[mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \beta=4
[/mm]
[mm] z(x)=\wurzel{x} [/mm]
Hab hier einfach eine Parabel mit der Öffnung nach oben benutzt, der Paraboloid aus M hat seine Öffnung nach unten, was ja aber an der Mantelfläche nichts ändert. Als Ergebnis bekomme ich dann.
[mm] A=\bruch{44}{3}\pi [/mm]
Das stimmt aber nicht mit meinem anderen Ergebnis überein.
Die Wurzel der Gram'schen Determinante ist eine Art "Verzerrungsfaktor", den man beim Wechsel der Koordinaten eines Integrals (hier von kartesischen zu Zylinderkoordinaten) berücksichtigen muss, damit am Ende auch das Richtige rauskommt (Stichwort: Transformationssatz).
Ich bin aber der Meinung, dass das Integral mit der Gram'schen Determinate eine Fläche ausrechnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 So 03.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Formelsammlung und lautet:
>
> [mm]A=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} {z(x)\wurzel{1+\left(\bruch{dz}{dx}[red]^{2}[/red]\right)}dx}[/mm]
Die Formel ist einfach falsch! [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] muß im Quadrat sein, sieh noch mal nach! Dann ist das Rätsel gelöst. Wenn deine Formelsammlung das obige behauptet ists vielleicht ein Druckfehler!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Mo 04.04.2005 | | Autor: | HeikoM. |
Hi,
stimmt die Formel hab ich falsch abgetippt, in der Formelsammlung steht folgende, mit welcher ich dann auch gerechnet hab.
[mm] A=2\pi \int_{\alpha}^{\beta} {z(x)\wurzel{\left(1+\bruch{dz}{dx}\right)^{2}}dx}
[/mm]
Diese unterscheidet sich von deiner eben genannten Formel aber etwas. Werde mal mit deiner Formel rechnen und vergleichen.
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