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| Aufgabe | Gesucht sind die Risikofaktoren und die Sensitivitäten einer long-Forward-Position auf eine dividendenlose Aktie mit Fälligkeit in T und Strike K. Der in t=0 gültige Barwert dieser Forward-Position lautet:
[mm] PV_{Forward}=Fwd(0,T)=S_0-K\cdot e^{-L_{st}(0,T)\cdot T}
[/mm]
1. Die zu dieser Position gehörenden Risikofaktoren sind die relative Änderung des Aktienkurses und die absolute Änderung des Zinssatzes [mm] z_T=L_{st}(0,T) [/mm] mit den Sensitivitäten
[mm] \triangle_1=S_0, \trinagle_2=K\cdot L_{st}(0,T)e^{-L_{st}(0,T)\cdot T}
[/mm]
2. Im Fall T=1,5 und den Key-Rates [mm] z_L=2%, z_R=2,2% [/mm] errechnen sich der Zinssatz [mm] z_{1,5} [/mm] sowie die Cashflows [mm] W_L,W_R [/mm] und C zu
[mm] z_{1,5}=2,1%, W_L=0,5\cdot [/mm] 1,5 [mm] \cdot e^{-2,1%\cdot 1,5}\cdot e^{2%\cdot 1}\approx0,74
[/mm]
[mm] W_R\approx [/mm] 0,38, [mm] C\approx [/mm] -0,12 |
Hallo zusammen!
Habe mal wieder ein paar Fragen zu diesem Beispiel. Meine Fragen habe ich rot markiert. Als Theorie zuvor wurden folgende Schritte genannt (die Formeln und Berechnungen habe ich unten soweit wie möglich durchgeführt):
a.) Bestimmung der zum künftigen Zeitpunkt t benötigte Zerorate [mm] z_t=L_{st}(0,t) [/mm] des Cashflows mit linearer Interpolation (Anwendung siehe unten)
b.) Zerlegung des Cashflows: Annahme: Cashflow der Höhe 1 zum Zeitpunkt t wird wertäquivalent in die Cashflows [mm] W_L [/mm] zum Zeitpunkt [mm] t_L [/mm] und [mm] W_R [/mm] zum Zeitpunkt [mm] t_R [/mm] , sowie einer Kasseoption zerlegt
c.) Barwert des ursprünglichen Cashflows soll gleich dem Barwert des zerlegten Cashflows sein
d.) Sensitivitäten berechnen und [mm] W_L, W_R, [/mm] C berechnen
[mm] \textcolor{red}{Zu 1.:}Muss [/mm] ich die Risikofaktoren selbst erkennen? Wie komme ich auf dieses [mm] \triangle_1?
[/mm]
Zu 2.: Hier werde ich nun nach den obigen Schritten vorgehen:
a.) Zunächst wird die für einen Cashflow zum küftigen Zeitpunkt t benötigte Zerorate durch lineare Interpolation aus den benachbarten Zerorates gewonnen:
[mm] z_t=\alpha z_L+(1-\alpha)z_R
[/mm]
[mm] \alpha=(t_R-t)/(t_R-t_L)
[/mm]
[mm] z_{1,5}=0,5\cdot 2%+0,5\cdot [/mm] 2,2%=2,1%
b.) Zerlegung des Cashflows. Cashflow der Höhe 1 zum Zeitpunkt t wird wertäquivalent zerlegt in zwei (noch unbekannte) Cashflows der Höhe [mm] W_L [/mm] zum Zeitpunkt [mm] t_L [/mm] und [mm] W_R [/mm] zum Zeitpunkt [mm] t_R, [/mm] sowie der Kasseoption C.
[mm] \textcolor{red}{Frage:} [/mm] Was ist die Kasseoption überhaupt?
c.) Barwert des ursprünglichen Cashflows soll gleich dem Barwert des zerlegten Cashflows sein.
[mm] \textcolor{red}{
Frage:}Muss [/mm] ich meine long-Forward-Position jetzt als Zerobond darstellen? Wäre das dann eine Short-Position in einem Zerobond mit Nominal K=1?
[mm] PV_{Forward}=-1\cdot e^{-L_{st}(0,T)\cdot T} (\textcolor{red}{???})
[/mm]
Zerlegter Cashflow-Barwert:
[mm] PV_{mapping}=W_L\cdot e^{-z_L\cdot t_L}+W_L\cdot e^{-z_L\cdot t_L}+C
[/mm]
d.) Sensitivitäten: Zur bestimmung der GRößen [mm] W_L [/mm] und [mm] W_R, [/mm] C treffen wir die Vereinbarung, dass die Sensitivitäten des Zerobond-Preises bzgl [mm] z_L [/mm] und [mm] z_r [/mm] die gleiche ist, wie die Sensitivität der gemappten Cashflows bzgl. [mm] z_L [/mm] und [mm] z_R. [/mm] ALso
[mm] \frac{\partial PV_{Forward}}{\partial z_L}=\frac{\partial PV_{mapping}}{\partial z_L} \rightarrow [/mm] löse nach [mm] W_L [/mm] auf
[mm] \frac{\partial PV_{Forward}}{\partial z_R}=\frac{\partial PV_{mapping}}{\partial z_R}\rightarrow [/mm] löse nach [mm] W_R [/mm] auf
Bestimme C
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte! Vielen Dank schon im Voraus!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 04.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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