Market Price of Risk bei Zinsen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Lieber Stefan!
Also ökonomisch fällt mir dazu leider gar nichts ein. Ich habe auch im
Brigo/Mercurio nach Interpretationen gesucht, aber nichts gefunden. Wenn
es so was gäbe, hätte ich vermutet, dass es da steht.
Wenn ich Dich richtig verstehe, ist Deine Überlegung, dass die Differenz
zwischen [mm] $\mu^\tau$ [/mm] und [mm] $r_t$ [/mm] kleiner werden müsste und deshalb auch der
Nenner [mm] $\sigma^\tau$ [/mm] kleiner werden muss, damit [mm] $\lambda$ [/mm] konstant bleibt.
Stimmt das? Ist es klar, dass [mm] $\mu^\tau$ [/mm] kleiner wird? Das verstehe ich
nicht ganz.
Technisch habe ich folgendes gedacht:
Zunächst mal ist ja
[mm] $\sigma^\tau [/mm] = [mm] \frac{1}{P^\tau} \sigma \frac{\partial P^\tau}{\partial r}$
[/mm]
Dabei ist [mm] $P^\tau$ [/mm] monoton fallend in [mm] $\tau$, [/mm] denn
[mm] $P^\tau [/mm] = [mm] exp(-R(\tau)*\tau)$, [/mm] wobei [mm] $R(\tau)$ [/mm] die Spot Rate (>0) darstellt.
[mm] $\sigma$ [/mm] hängt nicht von [mm] $\tau$ [/mm] ab. Aber wie sich das mit der Ableitung
von [mm] $P^\tau$ [/mm] nach $r$ verhält, ist mir nicht klar.
Bei den affinen Modellen mit [mm] $P^\tau [/mm] = [mm] A(\tau)*exp(-B(\tau)*r_t)$ [/mm] gilt
konkret
[mm] $\sigma^\tau [/mm] = [mm] -B(\tau) [/mm] * [mm] \sigma$,
[/mm]
d.h. es hängt alles von $B$ ab. Bei den bekanntesten Beispielen (Vas., CIR
und Dothan) ist B monoton wachsend in [mm] $\tau$ [/mm] und damit [mm] $\sigma^\tau$
[/mm]
tatsächlich monoton fallend. Aber inwiefern das System hat, kann ich nicht
beurteilen.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Vielen Dank für deine Antwort. Finde ich natürlich super, dass sich meine intuitive Annahme auch analytisch bestätigt, zumindestens für die bekannten affinen Modelle (und nur die betrachte ich ja). (Hätte ich natürlich mir analytisch auch mal selber anschauen können. Hmmh, sorry, da war ich wohl zu faul bzw. hatte wenig Aussicht auf Erfolg gesehen...  )
> Wenn ich Dich richtig verstehe, ist Deine Überlegung, dass
> die Differenz
> zwischen [mm] $\mu^\tau$ [/mm] und [mm] $r_t$ [/mm] kleiner werden müsste und
> deshalb auch der
> Nenner [mm] $\sigma^\tau$ [/mm] kleiner werden muss, damit [mm] $\lambda$ [/mm]
> konstant bleibt.
> Stimmt das? Ist es klar, dass [mm] $\mu^\tau$ [/mm] kleiner wird? Das
> verstehe ich
> nicht ganz.
Andersherum meinte ich es: Ich finde es "klar" , dass [mm] $\sigma_{\tau}$ [/mm] kleiner wird und daher die Differenz kleiner werden muss.
> Bei den affinen Modellen mit [mm] $P^\tau [/mm] =
> [mm] A(\tau)*exp(-B(\tau)*r_t)$ [/mm] gilt
> konkret
>
> [mm] $\sigma^\tau [/mm] = [mm] -B(\tau) [/mm] * [mm] \sigma$,
[/mm]
>
> d.h. es hängt alles von $B$ ab. Bei den bekanntesten
> Beispielen (Vas., CIR
> und Dothan) ist B monoton wachsend in [mm] $\tau$ [/mm] und damit
> [mm] $\sigma^\tau$
[/mm]
> tatsächlich monoton fallend.
![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Cool!!! Das war es, was ich vermutet hatte. Die Preisvolatilität ist sozusagen kleiner, wenn die Laufzeit zunimmt. Klingt doch irgendwie logisch...
Vielen lieben Dank!! ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:37 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Okay, meine Intuition hat mich wieder im Stich gelassen, Mist.
Für ansteigendes [mm] $\tau$ [/mm] wird ja für festes $t$ der Term [mm] $\sigma_{\tau}(t)$ [/mm] (ist ja negativ) betraglich größer und darauf kommt es ja auch an. Ist intuitiv auch klar, da man sich für $t$ gegen [mm] $\tau$ [/mm] ja dem deterministischen Wert [mm] $P(\tau,\tau)=1$ [/mm] immer mehr annähert, sich die Volatilität also erniedrigt und daher umgekehrt für steigendes [mm] $\tau$ [/mm] die Volatilität erhöht.
Mist... aber zum Glück habe ich meinen Denkfehler noch bemerkt.
Was ich im Sinn hatte, war die Erniedrigung der Volatilität für steigendes [mm] $\tau$ [/mm] der Spot Rate [mm] $R(t,\tau)$, [/mm] die sich bei uns in unseren empirischen Untersuchungen ja auch gezeigt hatte. Das hat aber mit der Volatilität der Preise nicht viel zu tun, da ja ein nicht-linearer Zusammenhang besteht.
Wie kann man denn dann den konstanten Market Price of Risk einigermaßen intuitiv begründen? Je mehr Risiko, umso mehr "Risikoprämie" verlange ich (d.h. umso weniger bin ich als Käufer bereit für den Bond zu zahlen)? [mm] $\mu_{\tau}$ [/mm] ist doch größer als $r(t)$, oder etwa nicht? Es wird doch dann mit einem höheren Wert diskontiert als wenn man das mit $r(t)$ tun würde (und umso höher, je größer [mm] $\tau$ [/mm] ist), oder verstehe ich alles falsch? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke!!! 
Ich fahre jetzt etwas frustriert nach Hause. (Trotz oder gerade wegen der Justin-Bremse... )
Liebe Grüße
Stefan
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Lieber Stefan!
> Für ansteigendes [mm] $\tau$ [/mm] wird ja für festes $t$ der Term
> [mm] $\sigma_{\tau}(t)$ [/mm] (ist ja negativ) betraglich größer und
> darauf kommt es ja auch an. Ist intuitiv auch klar, da man
Mit Intuition bin ich hier noch nie weiter gekommen :-(
Aber stimmt, die Volatilität ist hier negativ (irgendwie merkwürdig), wegen der Brownschen Bewegung verstehe ich aber, warum es nur auf den Betrag ankommt. Richtig.
> sich für $t$ gegen [mm] $\tau$ [/mm] ja dem deterministischen Wert
> [mm] $P(\tau,\tau)=1$ [/mm] immer mehr annähert, sich die Volatilität
> also erniedrigt und daher umgekehrt für steigendes [mm] $\tau$ [/mm]
> die Volatilität erhöht.
Das leuchtet mir ein. Ist eine gute Erklärung, finde ich.
> Mist... aber zum Glück habe ich meinen Denkfehler noch
> bemerkt.
>
> Was ich im Sinn hatte, war die Erniedrigung der Volatilität
> für steigendes [mm] $\tau$ [/mm] der Spot Rate [mm] $R(t,\tau)$, [/mm] die sich
> bei uns in unseren empirischen Untersuchungen ja auch
> gezeigt hatte. Das hat aber mit der Volatilität der Preise
> nicht viel zu tun, da ja ein nicht-linearer Zusammenhang
> besteht.
Ach so, verstehe. Nein, so einfach ist es nicht.
> Wie kann man denn dann den konstanten Market Price of Risk
> einigermaßen intuitiv begründen? Je mehr Risiko, umso mehr
> "Risikoprämie" verlange ich
Ja, so habe ich mir das bei Aktien auch immer vorgestellt. Je höher man die Drift einschätzt, desto höher sollte auch die Volatilität sein. Bei Bonds ist es aber irgendwie nicht ganz so einsichtig.
> (d.h. umso weniger bin ich als
> Käufer bereit für den Bond zu zahlen)?
Geht es denn um den Preis an sich? Ich verstehe das eher als Rendite, also wie sich der Preis verändern wird in der Zeit (das macht doch die Drift aus).
> [mm] $\mu_{\tau}$ [/mm] ist
> doch größer als $r(t)$, oder etwa nicht?
Hm. Klingt vernünftig, aber beweisen könnte ich es nicht. Muss morgen noch mal was dazu lesen. Wir sind doch bestimmt nicht die ersten, die sich darüber Gedanken machen.
> Es wird doch dann
> mit einem höheren Wert diskontiert als wenn man das mit
> $r(t)$ tun würde (und umso höher, je größer [mm] $\tau$ [/mm] ist),
> oder verstehe ich alles falsch?
Du meinst, [mm] $\mu^\tau$ [/mm] hat was mit der Diskontierung zu tun? Wegen [mm] $P^\tau$? [/mm] O Mann, das ist mir gerade zu schwierig für die Uhrzeit. Wann ist der Vortrag morgen? D.h. wieviel Zeit habe ich noch?
> Danke!!!
Wofür? :-(
Liebe Grüße
Brigitte
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Di 15.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> > (d.h. umso weniger bin ich als
> > Käufer bereit für den Bond zu zahlen)?
>
> Geht es denn um den Preis an sich? Ich verstehe das eher
> als Rendite, also wie sich der Preis verändern wird in der
> Zeit (das macht doch die Drift aus).
Ja, sicher ist es bei Aktien die Rendite. Aber da ich bei Bonds den Endwert [mm] $P(t+\tau,0)=1$ [/mm] (ich verwende hier jetzt die Musiela-Parametrisierung, da ich sie im Vortrag auch verwende) im Gegensatz zu Aktien ja kenne, sollte ich hier umgekehrt [mm] $\mu_{\tau}$ [/mm] eher als Diskontierungsfaktor auffassen, oder nicht? Und jetzt gilt doch: Je größer [mm] $\tau$ [/mm] ist, desto (betraglich) größer ist [mm] $\sigma_{\tau}$ [/mm] (das haben wir ja gestern plausibilisiert bzw. an konkreten Modellen sogar verifiziert) und desto größer ist somit [mm] $\mu_{\tau}(t)$. [/mm] Nun gilt doch: Je größer [mm] $\mu_{\tau}(t)$ [/mm] ist, desto kleiner ist der Preis [mm] $P(t,\tau)$, [/mm] denn je größer [mm] $\mu_{\tau}(t)$ [/mm] ist, umso größer die "Rendite" von [mm] $P(t,\tau)$ [/mm] um zum feststehenden Wert [mm] $P(t+\tau,0)=1$ [/mm] zu kommen. Daher gilt: Je höher das Risiko, desto geringer ist der aktuelle Preis im Verhältnis zu einem Markt wo es kein Risiko gäbe und wo man einfach die Bonds mit $r(t)$ verzinsen würde. Weiter: Je länger der Bond noch läuft, desto größer ist die Volatilität des Preises, desto kleiner der Drift, desto mehr wird der Endwert $1$ sozusagen diskontiert, desto weniger möchte ich heute für diesen Bond bezahlen.
Kann ich das so sagen?
> Wann ist der Vortrag morgen?
Nach dem Mittagessen geht das Programm los, ab da bin ich eingespannt. Erst Vorstellung, dann Angelikas Vortrag (über das Berufsbild/die Anforderungen an einen Mathematiker in der Forschung), dann meiner. Und dann gibt es auch wieder eine Führung durch mich. Also, nach dem Essen ist der Tag gelaufen.
> > Danke!!!
>
> Wofür? :-(
Dafür, dass du über meine Probleme nachdenkst und ich durch die Diskussion sehr viel klarer sehe, was los ist. Sollten keine großen Einwände von dir mehr kommen, lasse ich es jetzt dabei, denn ich muss mir den Vortrag (40 pdf-Folien, allerdings über Beamer dieses Mal, ca. 1 Stunde Vortragszeit) jetzt doch noch ein paar Mal anschauen.
Liebe Grüße
Stefan
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Lieber Stefan!
> Ja, sicher ist es bei Aktien die Rendite. Aber da ich bei
> Bonds den Endwert [mm] $P(t+\tau,0)=1$ [/mm] (ich verwende hier jetzt
> die Musiela-Parametrisierung, da ich sie im Vortrag auch
> verwende) im Gegensatz zu Aktien ja kenne, sollte ich hier
> umgekehrt [mm] $\mu_{\tau}$ [/mm] eher als Diskontierungsfaktor
> auffassen, oder nicht? Und jetzt gilt doch: Je größer
> [mm] $\tau$ [/mm] ist, desto (betraglich) größer ist [mm] $\sigma_{\tau}$ [/mm]
> (das haben wir ja gestern plausibilisiert bzw. an konkreten
> Modellen sogar verifiziert) und desto größer ist somit
> [mm] $\mu_{\tau}(t)$. [/mm] Nun gilt doch: Je größer [mm] $\mu_{\tau}(t)$ [/mm]
> ist, desto kleiner ist der Preis [mm] $P(t,\tau)$, [/mm] denn je
> größer [mm] $\mu_{\tau}(t)$ [/mm] ist, umso größer die "Rendite" von
> [mm] $P(t,\tau)$ [/mm] um zum feststehenden Wert [mm] $P(t+\tau,0)=1$ [/mm] zu
> kommen. Daher gilt: Je höher das Risiko, desto geringer ist
> der aktuelle Preis im Verhältnis zu einem Markt wo es kein
> Risiko gäbe und wo man einfach die Bonds mit $r(t)$
> verzinsen würde. Weiter: Je länger der Bond noch läuft,
> desto größer ist die Volatilität des Preises, desto kleiner
> der Drift, desto mehr wird der Endwert $1$ sozusagen
> diskontiert, desto weniger möchte ich heute für diesen Bond
> bezahlen.
OK, ich denke, ich habe jetzt verstanden, was die Drift mit Rendite und ähnlichem zu tun hat. Zu Deiner Argumentation fällt mir keine schlüssige Gegenargumentation ein. Hört sich alles vernünftig an. Ob das natürlich auch alles in der Wirklichkeit so stimmt, weiß ich nicht (also ob dann auch wirklich alle Studenten nicken und sagen: "Klar, ist ja auch so.") Ich wünsche Dir auf jeden Fall viel Glück für den Vortrag.
Liebe Grüße
Brigitte
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