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| Aufgabe | Ein Pflanzen-Gen besitze die beiden Allele A und a, so dass die Genotypen aa, Aa und AA vorkommen können. Ein Verfahren um reinrassige Pflanzen (Genotyp aa oder AA) zu züchten, ist die Selbstbefruchtung. Hier ist der Genotyp des Nachkommens xy, wobei x und y unabhängig voneinander zufällig ausgewählt werden (z.B. Elternpflanze Aa: x=a, Y=a also Nachkommenpflanze aa). Sei Xn der Genotyp einer Pflanze einer n-ten Generation bei wiederholter Selbstbefruchtung. Anfangs (0. Generation) haben Sie eine Pflanze vom Genotyp Aa.
a) Beschreiben Sie die Folge von Genotypen als MK
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Pflanze der dritten Generation reinrassig?
c) Wann haben Sie mit 99,9% Wahrscheinlichkeit eine reinrassige Pflanze?
d) Geben Sie die Standarzerlegung für den Zustandsraum an. |
Hallo ihr Lieben, ich habe mal versucht aeiniges zu beantworten und würde mich freuen, wenn da Jemand drüber schaut :)
zu a) M=(Aa, AA, aa)
Das ergibt die Matrix:
p= [mm] \pmat{ 0,5& 0,25 & 0,25 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
b) da berechne ich [mm] p^3 [/mm] und das ergibt:
[mm] p^3= \pmat{ 1/8 & 7/16 & 7/16 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
also ist p für eine reinrassige Pflanze gleich= 0,875 da AA und aa addiert werden
c) da habe ich von [mm] p^3 [/mm] bis p^10 berechnet und so heraus gefunden dass bei p^10 die 99,9 % erreicht wurden
[mm] \pmat{ 0,000977& 0,499513 & 0,499513 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
somit ist eine Pflanze der zehnten Generation die erste Pflanze bei der die 99,9 %zutreffen
d) hier habe ich leider keine Ahnung wie ich hier ansetzen kann, vielleicht kann mir da Jemand helfen,
danke schön :)
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Hallo,
> Ein Pflanzen-Gen besitze die beiden Allele A und a, so dass
> die Genotypen aa, Aa und AA vorkommen können. Ein
> Verfahren um reinrassige Pflanzen (Genotyp aa oder AA) zu
> züchten, ist die Selbstbefruchtung. Hier ist der Genotyp
> des Nachkommens xy, wobei x und y unabhängig voneinander
> zufällig ausgewählt werden (z.B. Elternpflanze Aa: x=a,
> Y=a also Nachkommenpflanze aa). Sei Xn der Genotyp einer
> Pflanze einer n-ten Generation bei wiederholter
> Selbstbefruchtung. Anfangs (0. Generation) haben Sie eine
> Pflanze vom Genotyp Aa.
>
> a) Beschreiben Sie die Folge von Genotypen als MK
> b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Pflanze der
> dritten Generation reinrassig?
> c) Wann haben Sie mit 99,9% Wahrscheinlichkeit eine
> reinrassige Pflanze?
> d) Geben Sie die Standarzerlegung für den Zustandsraum
> an.
> zu a) M=(Aa, AA, aa)
Ja ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
> Das ergibt die Matrix:
>
> p= [mm]\pmat{ 0,5& 0,25 & 0,25 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
.
> b) da berechne ich [mm]p^3[/mm] und das ergibt:
>
> [mm]p^3= \pmat{ 1/8 & 7/16 & 7/16 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
Ja .
> also ist p für eine reinrassige Pflanze gleich= 0,875 da
> AA und aa addiert werden
So ist es.
> c) da habe ich von [mm]p^3[/mm] bis p^10 berechnet und so heraus
> gefunden dass bei p^10 die 99,9 % erreicht wurden
>
> [mm]\pmat{ 0,000977& 0,499513 & 0,499513 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> somit ist eine Pflanze der zehnten Generation die erste
> Pflanze bei der die 99,9 %zutreffen
OK.
Natürlich geht es etwas "mathematischer", indem du die allgemeine Matrix [mm] $p^n$ [/mm] mittels Diagonalisierung aufstellst.
> d) hier habe ich leider keine Ahnung wie ich hier ansetzen
> kann, vielleicht kann mir da Jemand helfen,
Gesucht ist eine Aufteilung der Form $T [mm] \cup R_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup R_k$ [/mm] in Klassen von transienten und rekurrenten Zustandsklassen.
Ist $i$ ein transienter Zustand, so kann er höchstens endlich oft erreicht werden.
Ist $i$ ein rekurrenter Zustand, so wird er unendlich oft erreicht mit Wahrscheinlichkeit 1.
Male dir ein Bild der Markov-Kette. Basierend darauf kannst du dir erstmal anschaulich überlegen, was wohl die rekurrenten / transienten Zustände deiner Markovkette sind (hier ist i = Aa, i = aa oder i = AA). Es gibt folgende Charakterisierung:
[mm] $\sum_{n\in \IN}(p^{n})_{ii} [/mm] = [mm] \infty$ $\gdw$ [/mm] Zustand $i$ rekurrent
Damit kannst du deine Vermutungen rechnerisch überprüfen.
Dann musst du überlegen, ob deine rekurrenten Zustände in einer Klasse sind oder ob sie zwei separate Klassen bilden. Zwei rekurrente Zustände sind genau dann in derselben Klasse, wenn man von dem einen Zustand in den anderen gelangen kann.
Viele Grüße,
Stefan
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