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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Mi 31.05.2006 | | Autor: | kl.mu |
| Aufgabe | Sei X = [mm] (X_{n}: [/mm] ( [mm] \Omega,\mathcal{A},P) \to [/mm] (I, [mm] 2^{I}): [/mm] n [mm] \in \IN_{0}) [/mm] eine homogene Markov-Kette mit Uebergangsmatrix P = [mm] (p_{ij}: [/mm] i,j [mm] \in [/mm] I). Sei [mm] P(X_{0} [/mm] = k) = 1 und [mm] p_{k,k} [/mm] > 0.
[mm] W_{1}(k) [/mm] = inf{n [mm] \in \IN_{+}: X_{n} \not= [/mm] k} sei die Zeit bis zum ersten Betreten eines anderen Zustandes als k (einschliesslich). Bestimmen Sie die Verteilung von [mm] W_{1}(k) [/mm] ueber ihre Zaehldichte. |
Hallo!
Ich habe folgenden Ansatz zur Loesung dieser Aufgabe:
(Bemerkung: ich bin der Meinung, die Aufgabenstellung schreit nach der [mm] Geo^{+} [/mm] -Verteilung)
1. Da [mm] P(X_{0} [/mm] = k) = 1 gegeben ist, startet man im Zustand k.
2. Der Uebergang in den gleichen Zustand, also k nach k, soll als Misserfolg angesehen werden.
3. Der Uebergang in einen anderen Zustand als k, soll als Erfolg angesehen werden.
4. Die Z-Dichte der Vetreilung [mm] Geo^{+} [/mm] ist gegeben durch [mm] geo^{+}(p:n) [/mm] := p * [mm] q^{n-1}, [/mm] n = 1, 2, 3, ... (wobei gilt: 0 < p < 1 und q = 1 - p)
5. In Bezug auf die Aufgabenstellung ist somit 0 < q = [mm] p_{k,k} [/mm] < 1 und p = 1 - [mm] p_{k,k}
[/mm]
6. Somit muesste die Verteilung von [mm] W_{1}(k) [/mm] gegeben sein durch [mm] geo^{+}(1 [/mm] - [mm] p_{k,k}; p_{k,k}) [/mm] = p * [mm] q^{n-1} [/mm] = (1 - [mm] p_{k,k}) [/mm] * [mm] p_{k,k}^{n-1}, [/mm] n = 1, 2, 3, ...
KORREKTUR: Habe mich verschrieben - bei Punkt 6 muss es [mm] geo^{+}(1 [/mm] - [mm] p_{k,k}; [/mm] n) = ... heissen und nicht [mm] geo^{+}(1 [/mm] - [mm] p_{k,k}; p_{k,k}) [/mm] = ...
Nun bin ich mir nicht ganz sicher, ob mein Gedankengang korrekt ist (zumal ich auch nicht weiss, was der Ausdruck inf{} bedeutet). Ich waere daher sehr dankbar, fuer Korrekturvorschlaege oder sonstige Ideen.
km
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Do 01.06.2006 | | Autor: | djmatey |
> Hallo!
Hi! 
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> Ich habe folgenden Ansatz zur Loesung dieser Aufgabe:
>
> (Bemerkung: ich bin der Meinung, die Aufgabenstellung
> schreit nach der [mm]Geo^{+}[/mm] -Verteilung)
ja! ganz laut!
>
> 1. Da [mm]P(X_{0}[/mm] = k) = 1 gegeben ist, startet man im Zustand
> k.
yep!
>
> 2. Der Uebergang in den gleichen Zustand, also k nach k,
> soll als Misserfolg angesehen werden.
>
> 3. Der Uebergang in einen anderen Zustand als k, soll als
> Erfolg angesehen werden.
Geometrische Verteilung modelliert ja das Warten auf den ersten Erfolg, genau!
>
> 4. Die Z-Dichte der Vetreilung [mm]Geo^{+}[/mm] ist gegeben durch
> [mm]geo^{+}(p:n)[/mm] := p * [mm]q^{n-1},[/mm] n = 1, 2, 3, ... (wobei gilt:
> 0 < p < 1 und q = 1 - p)
>
> 5. In Bezug auf die Aufgabenstellung ist somit 0 < q =
> [mm]p_{k,k}[/mm] < 1 und p = 1 - [mm]p_{k,k}[/mm]
>
> 6. Somit muesste die Verteilung von [mm]W_{1}(k)[/mm] gegeben sein
> durch [mm]geo^{+}(1[/mm] - [mm]p_{k,k}; p_{k,k})[/mm] = p * [mm]q^{n-1}[/mm] = (1 -
> [mm]p_{k,k})[/mm] * [mm]p_{k,k}^{n-1},[/mm] n = 1, 2, 3, ...
>
Sieht alles gut aus
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> Nun bin ich mir nicht ganz sicher, ob mein Gedankengang
> korrekt ist (zumal ich auch nicht weiss, was der Ausdruck
> inf{} bedeutet). Ich waere daher sehr dankbar, fuer
> Korrekturvorschlaege oder sonstige Ideen.
Der Ausdruck inf{} bezeichnet das Infimum, die größte untere Schranke einer Menge - hier also den ersten Zeitpunkt, zu dem [mm] X_n \not= [/mm] k ist.
LG Matthias.
>
> km
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Do 01.06.2006 | | Autor: | kl.mu |
Hallo Matthias,
vielen Dank fuer die Hilfestellung!
Gruss,
Eugen (km)
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