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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Sa 28.06.2014 | | Autor: | jusates |
| Aufgabe | Sei [mm] X_n [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge unabh., identisch verteilter ZV mit gegeben Verteilung P = 1/2 * [mm] \delta_{-1} [/mm] + 1/2 * [mm] \delta_1.
[/mm]
Betrachte für ein beliebiges n [mm] \in \IN_0 [/mm] die ZV:
[mm] S_n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}{X_n}, [/mm] wobei [mm] X_0 [/mm] = 0
a) Zeige: [mm] S_n [/mm] ist eine zeithomogene Markovkette
b) Bestimme die (Tipp: Unendlich-Dim.!) Übergangsmatrix von [mm] S_n
[/mm]
c) Bestimme [mm] P(S_{2n} [/mm] = 0) für ein bel. n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo!
Ich wollte fragen, ob meine bisherigen Ansätze zu der Aufgabe etwa in die richtige Richtung gehen:
Zur a)
zu zeigen wäre hier, dass [mm] p_{ij}(t) [/mm] = [mm] p_{ij} [/mm] für alle t, d.h
[mm] p_{ij}(t) [/mm] = [mm] P(S_{t+1} [/mm] = [mm] s_j [/mm] | [mm] S_t [/mm] = [mm] s_i)
[/mm]
[mm] p_{ij} [/mm] = [mm] P(S_1 [/mm] = [mm] s_j [/mm] | [mm] S_0 [/mm] = [mm] s_i)
[/mm]
Wobei mir hier unklar ist, was mein [mm] s_i [/mm] ist in diesem Fall (Im Allgemeinen wird dies ja als "Zustandsmenge" bezeichnet). Sonst wüsste ich etwa, was zu tun ist.
zur b) Ich kann ja die Übergangsmatrix für [mm] p_{ij}(t) [/mm] erstellen und über a) dann ein wenig akurater schreiben, richtig (da ja zeithomgene Markovkette dann gegeben ist).
zur c) Hierfür habe ich noch keine Idee, da ich erstmal an a) und b) arbeiten würde.
Danke vorweg für eure Hilfe!
#Nachtrag: Kleinere Korrekturen vorgenommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mo 30.06.2014 | | Autor: | jusates |
Ich wäre immernoch an einer Antwort interessiert! Danke!
Gruß
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Hallo,
was meinst du denn mit [mm]\delta_{-1}[/mm] und [mm]\delta_1[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Do 03.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo schachuzipus,
damit meint er ziemlich sicher das Diracmaß auf -1 und 1
Gruß,
Gono.
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Hiho,
deine Vorüberlegungen sind soweit richtig, mach dir aber mal klar, was das eigentlich für ein Prozess ist.
Du hast also Zufallsvariablen, die mit W-Keit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] um einen Schritt eine 1 liefern oder eine -1, d.h. in jedem Schritt entscheidet du anfangend bei 0, ob du einen Schritt nach oben gehst oder einen Schritt nach unten.
Das Ergebnis kannst du dir mal in einem x-y-Diagramm aufmalen, ein paar Beispielpfade hast du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Mach dir mal klar, dass folgendes gilt:
[mm] $S_0 [/mm] = [mm] X_0 [/mm] = 0$
[mm] $S_1 [/mm] = [mm] X_0 [/mm] + [mm] X_1 [/mm] = [mm] X_1$
[/mm]
[mm] $S_2 [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2$
[/mm]
usw.
D.h. erstmal: [mm] $p_{ij} [/mm] = [mm] P(S_1 [/mm] = [mm] s_j [/mm] | [mm] S_0 [/mm] = [mm] s_i)$ [/mm] macht nur für welche Werte von [mm] s_j [/mm] und [mm] s_i [/mm] überhaupt Sinn?
Dann machen wir weiter....
Gruß,
Gono.
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Random_Walk_example.svg){kind=small}
hier