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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:14 Fr 09.12.2011 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo! Ich habe folgende Frage
Gegeben haben wir einen Markov-Prozess [mm] $((X_t)_{t\geq 0}, \mathbb P^{sx})$, [/mm] der beispielsweise die Bewegung eines Teilchen für $t [mm] \geq [/mm] s$ schreibt, dass zur Zeit $s$ in der Position [mm] $X_s [/mm] = x$ startet. Für [mm] $X_s [/mm] < 0$ bewegt sich das Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit nach links; für [mm] $X_s [/mm] > 0$ nach rechts. Ist [mm] $X_s [/mm] = 0$, so bewegt sich das Teilchen mit Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac [/mm] 12$ in eine der beiden Richtungen. Formal können wir das so schreiben:
[mm] $\mathbb P^{sx}(X_t [/mm] = x + (t-s), t [mm] \geq [/mm] s) = 1, [mm] \quad [/mm] x > 0$
[mm] $\mathbb P^{sx}(X_t [/mm] = x - (t-s), t [mm] \geq [/mm] s) = 1, [mm] \quad [/mm] x < 0$
[mm] $\mathbb P^{sx}(X_t [/mm] = t-s, t [mm] \geq [/mm] s) = [mm] \mathbb P^{sx}(X_t [/mm] = -(t-s), t [mm] \geq [/mm] s) = [mm] \frac [/mm] 12 [mm] \quad [/mm] x=0$
Nun ist zu zeigen, dieser Prozess ist Markov, aber nicht Feller. |
Erst zur Definition. Dazu definieren wir für einen MP $X$ einen Übergangsoperator
[mm] $P_{st}u(x) [/mm] = [mm] \mathbb E^{sx}u(X_t) [/mm] = [mm] \int_{\mathbb R} [/mm] u(y) p(s, x; t, [mm] \mathrm [/mm] dy)$
wo $p(s, x; t, [mm] \mathrm [/mm] dy)$ die Übergangsfunktion des MP bezeichnet. Gilt für diese Operatoren-Halbgruppe [mm] $P_{st} [/mm] : [mm] C_b \to C_b$ [/mm] (stetig und beschränkt), dann nennen wir den Prozess Feller-Prozess.
Nun werden wir ja sehen, dass das Ergebnis nicht mehr stetig ist. Intuitiv wird es natürlich in der Form
[mm] $P_{st}u(x) [/mm] = [mm] \int_{\mathbb R} [/mm] u(y) p(x, s; t, [mm] \mathrm [/mm] d y) = [mm] \begin{cases} u(x + (t-s)), & x > 0\\
u(x - (t-s)), & x < 0\\
\frac 12 u(t-s) + \frac 12 u(s-t), & x = 0\end{cases}$
[/mm]
aussehen und damit hat [mm] $P_{st}u(x)$ [/mm] offensichtlich eine Unstetigkeit in $x=0$.
Nun meine Frage: Wie kann man es explizit berechnen?
Der Ansatz wäre einfach ausrechnen:
[mm] $P_{st}u(x) [/mm] = [mm] \mathbb E^{sx}u(X_t) [/mm] = [mm] \int u(X_t) \mathbb P^{sx}_{X_t}$
[/mm]
und gleich die Integrationsgebiete aufzuspalten:
[mm] $\int u(X_t) \mathbb P^{sx}_{X_t} [/mm] = [mm] \left( \int_{X_t < 0} + \int_{X_t > 0} + \int_{X_t = 0}\right) u(X_t) \mathbb P^{sx}_{X_t}$
[/mm]
$= [mm] \int_{x<0} [/mm] u(x + (t-s)) [mm] \mathbb P^{sx}(X_t \in \mathrm [/mm] dx) + [mm] \int_{x>0} [/mm] u(x - (t-s)) [mm] \mathbb P^{sx}(X_t \in \mathrm [/mm] dx) + ?$
Nur stimmt der letzte Term dann offensichtlich nicht...
MfG.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 So 11.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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