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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:30 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Edgehead |
| Aufgabe | Nehmen Sie an, man könnte zum Verständnis zweier aufeinanderfolgender Seiten eines Lehrbuches folgende Wahrscheinlichkeitsaussage treffen:
Nachdem man eine Seite des Buches verstanden hat, wird mit der Wahrscheinlichkeit p auch die nächste Seite verstanden, mit der Wahrscheinlichkeit 1-p hingegen nicht. War eine Seite nicht zu begreifen, dann kann dennoch die darauffolgende Seite auf Verständnis stoßen, dies geschiet mit der Wahrscheinlichkeit r. Mit 1-r ist diese Seite nicht ganz klar.
a) Modellieren sie in einer geeignetet Markov- Kette die Situation. indem Sie die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten angeben.
b)Berechnen Sie den Anteil der Buchseiten die von einem Leser voraussichtlich zu verstehen sind, wenn p=0,9,r=0,5 angenommen werden kann
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Meine Frage ist eigentlich nachdem ich die Übergangsmatrix erstellt habe
[mm] \pmat{ p & 1-p \\ r & 1-r }
[/mm]
und die Werte eingesetzt habe
[mm] \pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,5 & 0,4 }
[/mm]
Wie berechne ich die Grenzwahrscheinlichkeit für Aufgabe b?
Muss ich da ein Gleichungssystem machen? Wenn ja könnte mir das mal kurz einer nochmal zuammenfasse ich steh gerade irgendwie auf dem Schlauch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mo 08.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nehmen Sie an, man könnte zum Verständnis zweier
> aufeinanderfolgender Seiten eines Lehrbuches folgende
> Wahrscheinlichkeitsaussage treffen:
> Nachdem man eine Seite des Buches verstanden hat, wird mit
> der Wahrscheinlichkeit p auch die nächste Seite
> verstanden, mit der Wahrscheinlichkeit 1-p hingegen nicht.
> War eine Seite nicht zu begreifen, dann kann dennoch die
> darauffolgende Seite auf Verständnis stoßen, dies
> geschiet mit der Wahrscheinlichkeit r. Mit 1-r ist diese
> Seite nicht ganz klar.
>
> a) Modellieren sie in einer geeignetet Markov- Kette die
> Situation. indem Sie die Matrix der
> Übergangswahrscheinlichkeiten angeben.
> b)Berechnen Sie den Anteil der Buchseiten die von einem
> Leser voraussichtlich zu verstehen sind, wenn p=0,9,r=0,5
> angenommen werden kann
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Meine Frage ist eigentlich nachdem ich die Übergangsmatrix
> erstellt habe
> [mm]\pmat{ p & 1-p \\ r & 1-r }[/mm]
>
>
> und die Werte eingesetzt habe
>
> [mm]\pmat{ 0,9 & 0,1 \\ 0,5 & 0,4 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nennen wir die Matrix mal $A$.
> Wie berechne ich die Grenzwahrscheinlichkeit für Aufgabe
> b?
> Muss ich da ein Gleichungssystem machen? Wenn ja könnte
> mir das mal kurz einer nochmal zuammenfasse ich steh gerade
> irgendwie auf dem Schlauch
Fuer die Grenzwahrscheinlichkeit musst du ja [mm] $\lim_{n\to\infty} A^n$ [/mm] ausrechnen. Um an [mm] $A^n$ [/mm] zu gelangen, kannst du am besten $A$ diagonalisieren; Potenzen von einer Diagonalmatrix auszurechnen geht einfach. Sagen wir mal $A$ hat die Diagonalmatrix $D = [mm] \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 }$, [/mm] und sei $T$ invertierbar mit $D = [mm] T^{-1} [/mm] A T$; dann ist $A = T D [mm] T^{-1}$ [/mm] und [mm] $A^n [/mm] = T [mm] D^n T^{-1}$. [/mm] Also ist [mm] $\lim_{n\to\infty} A^n [/mm] = T [mm] (\lim_{n\to\infty} D^n) T^{-1} [/mm] = T [mm] \pmat{ \lim_{n\to\infty} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lim_{n\to\infty} \lambda_2^n } T^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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