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| Aufgabe | Ein Wähler, der bei der Wahl a gewählt hat, wählt bei der nächsten Wahl mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 wieder a, mit wkeit 0,3 Partei b und mit wkeit 0,3 Partei c. Wenn er b gewählt hat, wählt a, b und c mit der wkeit 0,2 bzw. 0,5 bzw. 0,3. Wenn er c gewählt hat, wählt er a, b und c mit der wkeit 0,3 bzw. 0,2 bzw. 0,5.
Gibt es hierzu eine Gleichgewichtsverteilung? Wenn ja, dann bestimmen Sie den hierzu gehörenden Vektor [mm] \pi_1 \pi_2 [/mm] und [mm] \pi_3 [/mm] |
Ich übe gerade Stochastik und bin bei den Markov-Ketten hängen geblieben. Kann mit jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen?
Ich habe mir das in einen Übergangsgraph gemalt, weiß aber jetzt nicht weiter. Ein Tipp wäre super.
LG
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Hallo,
die Aufgabenstellung lässt sich sehr gut in Matrizenform darstellen!
lg
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Also ich habe als Matrix:
[mm] \pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 }
[/mm]
Ich dachte, das wäre schon meine Übergangsmatrix, aber ich habe gelesen, dass sie es nicht sei. Jetzt bi ich verwirrt.
Wie geht es denn jetzt weiter?
LG
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Mit [mm] \pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 } *\vektor{ a \\ b\\ c} [/mm] kommt auch nicht das Richtige raus!
Danach jedenfalls musst du das zugehörige ![[]](/images/popup.gif) Eigenwertproblem lösen. Probiers mal!
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Ich stehe total auf dem Schlauch. Ich habe jetzt für die Matrix den Eigenwert von 1 raus und den Eigenvektor (1,1,1). Aber wie geht es jetzt weiter?
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> Ich stehe total auf dem Schlauch. Ich habe jetzt für die
> Matrix den Eigenwert von 1 raus und den Eigenvektor
> (1,1,1).
Schon mal richtig
> Aber wie geht es jetzt weiter?
Du hattest wohl keine lineare Algebra - das ist das Ergebnis. [mm] \vektor{ a\\ b\\ c}= \vektor{ 1\\ 1\\ 1} [/mm] und wird durch die Abbildung (ausgeführt durch die Matrizenmultiplikation) auf Eigenwert*Eigenvektor abgebildet.
Du musst dir unbedingt die lineare Algebra anschauen!
lg
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Also, die Antwort zu der Frage ist jetzt:
Ja, es gibt eine Gleichgewichtsverteilung, weil
[mm] \summe_{i=1}^{n}\pi_1 [/mm] =1
gilt? Und durch Eigenwert, Eigenvektor etc... habe ich so meine [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] erhalten.
Ist das richtig?
Und vielen Dank für deine Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Di 05.10.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Matrizen sind so ziemlich das Wichtigste in der angewandten Mathematik!
------ EDIT -----
Matrizenmultiplikation bedeutet: Zeilen mal Spalten.
[mm] \pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 } *\vektor{a \\ b\\ c} [/mm] = [mm] \vektor{ 0,4*a+0,2*b+0,3*c \\ 0,3*a+0,5*b+0,2*c \\ 0,3*a+0,3*b+0,5*c}, [/mm] also nur eine neue Schreibweise für das was dein Baum dir sagen müsste.
So du hast jetzt die Eigenwerte der Matrix ausgerechnet - die braucht man, um Vektoren zu finden, die auf Vielfache ihrer selbst abgebildet werden. Du suchst ja einen Vektor, der gleich bleibt, wenn er durch "Neuwahl" verändert wird - wie von der Matrix beschrieben.
Dazu sucht man - so geht es am schnellsten - die Eigenwerte der Matrix. Davon müsste für dein Beispiel nur einer gleich eins sein. Wenn mehrere verschiedene Eigenwerte auftreten, dann hat jeder von ihnen zumindest einen dazugehörigen Eigenvektor, der auf dieses Vielfache abgebildet wird. Treten Eigenwerte (deine eins drei mal), dann können drei verschiedene Eigenvektoren existieren, es können aber auch weniger sein - doch mindestens einer.
(Das wären alles Lösungen deines Problems).
Nun hast du deine drei Eigenwerte eins heraus und kannst das Problem
[mm] \pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 } *\vektor{a \\ b\\ c}=1*\vektor{a \\ b\\ c} [/mm] umstellen:
[mm] \pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 } *\vektor{a \\ b\\ c}-\pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 } *\vektor{a \\ b\\ c}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ 0,4-1 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5-1 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5-1 } *\vektor{a \\ b\\ c}=0
[/mm]
GLS lösen und du erhältst den zugehörigen Eigenvektor zum Eigenwert.
Das ist deine Lösung [mm] \vektor{\pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3} [/mm] (||v||=1 natürlich), mach dir aber auch klar warum!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 05.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also um alles nochmal richtig zu machen: Deine Matrix am Anfang war schon richtig. Wenn du Eigenwerte berechnest, kommst du auf 1, [mm] \bruch{1}{5} [/mm] und nochmal [mm] \bruch{1}{5}. [/mm] Nur 1 ist interessant, weil die Eigenvektoren zu [mm] \bruch{1}{5} [/mm] negative Einträge haben.
Als Eigenvektor zu 1 solltest du (1, [mm] \bruch{21}{19}, \bruch{24}{19}) [/mm] erhalten, oder ein Vielfaches davon. Dies ist allerdings noch nicht deine stationäre Verteilung, weil die Summe der 3 Einträge nicht 1 ist. Daher musst du den Vektor nur noch so kürzen, sodass die Summe der Einträge =1 ist und du bist fertig.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mi 06.10.2010 | | Autor: | superstar |
Vielen Dank. Jetzt ist es mir klar geworden. Ich habe leider keine Lösung dazu, aber ich hoffe, dass das stimmt, wie ihr es gesagt habt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 05.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich würde sagen, dass diese Matrix stimmt. In der obersten Zeile stehen z.B. die Übergangswahrscheinlichkeiten [mm] $A\to [/mm] A$, [mm] $B\to [/mm] A$ und $C [mm] \to [/mm] A$ und so muss das ja auch sein. 2. und 3. Zeile hast du genau so gemacht, sollte also alles stimmen.
Welche wird denn als Lösung angegeben? Deine Matrix transponiert? Diese wäre falsch.
Edit:
Kann es vielleicht sein, dass ihr Vektoren von links an die Matrix multipliziert? Also $(a,b,c)*A$ schreibt? Dann müsstest du deine Matrix transponieren. Wenn ihr aber [mm] $A*\vektor{a \\ b \\ c}$, [/mm] dann stimmt deine Matrix. Die 2. Form bevorzuge ich auch, weil man dann einfach direkt mit Eigenwertberechnungen etc. loslegen kann. Bei der anderen Form muss man A erst nochmal transponieren, weil die übliche Eigenwertberechnung ja einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] und einen Vektor v liefert, sodass [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ ist und nicht [mm] $vA=\lambda [/mm] v$.
Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:35 Di 05.10.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
In der Aufgabe steht:
"Ein Wähler, der bei der Wahl a gewählt hat, wählt bei der nächsten Wahl mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 wieder a, mit wkeit 0,3 Partei b und mit wkeit 0,3 Partei c. Wenn er b gewählt hat, wählt a, b und c mit der wkeit 0,2 bzw. 0,5 bzw. 0,3. Wenn er c gewählt hat, wählt er a, b und c mit der wkeit 0,3 bzw. 0,2 bzw. 0,5."
Das heißt: [mm] 1*a\to [/mm] 0,4a+0,3b+0,3c
[mm] 1*b\to [/mm] 0,2a+0,5b+0.3c
[mm] 1*c\to [/mm] 0.3a+0.2b+0.5c
aber auch [mm] a_{n+1}= [/mm] 0.4a+0.2b+0.3*c
Die Matrix, die oben steht( [mm] \pmat{ 0,4 & 0,2 & 0,3 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 & 0,5 } [/mm] ) ist die eigentlich transponierte, so wie ich das sehe.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Di 05.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, genau, [mm] a_{n+1}=0,4a_n+0,2b_n+0,3c_n. [/mm] Und das kriegt man nur, wenn die 1. Zeile der Matrix 0,4 0,2 0,3 lautet!
Wenn die 1. Zeile 0,4 0,3 0,3 lautet, dann erhält man doch für die 1. Komponente des Ergebnisvektors, also [mm] a_{n+1}, [/mm] 0,4a+0,3b+0,3c, was man nicht will.
Daher ist die zuerst genannte Matrix eigentlich schon ok so.
Oder wenn man sich deine Gleichung nimmt:
[mm] \pmat{ 0,4 & 0,3 & 0,3 \\ 0,2 & 0,5 & 0,3\\ 0,3 & 0,2 & 0,5 } *\vektor{a \\ b\\ c} [/mm] = [mm] \vektor{ 0,4*a+0,3*b+0,3*c \\ 0,2*a+0,5*b+0,3*c \\ 0,3*a+0,2*b+0,5*c}
[/mm]
Dann stimmt doch schon die 1. Zeile nicht mit 0,4a+0,2b+0,3c überein!
Teufel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Di 05.10.2010 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
da bin ich wohl wieder verwirrt gewesen...
Sry und vielen Dank, ich werde mich wieder zurückhalten.
lg
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