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| Aufgabe | | Ist [mm](X_n,\sigma(X_1,...,X_n))[/mm] ein Martingal und gilt [mm]EX_n^2<\infty[/mm], so sind die Martingaldifferenzen [mm]X_1, X_2-X_1,\ldots[/mm] orthogonal. |
Hallo zusammen,
gleich eine kleine Frage vorab:
Wie sieht nach [mm]X_2-X_1[/mm] die nächste Differenz aus, die sich hinter den Pünktchen verbirgt?
Aber die eigentliche Frage gilt einem Schritt im Beweis:
Beweis: Setze [mm]X_0=0[/mm]
Für [mm]j
Der Rest ist dann klar.
Ich vermute, nach dem, was Gono mir verraten hat, kann ich die obige erste Umformung machen, weil [mm](X_j-X_{j-1})(X_k-X_{k-1})[/mm] integrierbar ist.
Stimmt das und wenn ja, warum genau ist das Tier integrierbar?
Wenn nicht, wie ist die Umformung sonst begründet?
Gruß
schachuzipus
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Hiho,
ja, ich habs dir verraten ^^
Aber arbeiten wir deine Dinge mal schrittweise ab:
> Wie sieht nach [mm]X_2-X_1[/mm] die nächste Differenz aus, die sich
> hinter den Pünktchen verbirgt?
[mm] $X_3 [/mm] - [mm] X_2$
[/mm]
Schöner wärs gewesen, wenn das erste Inkrement gleich als [mm] $X_1 [/mm] = [mm] X_1 [/mm] - [mm] X_0$ [/mm] dagestanden hätte, dann wärs vermutlich klar gewesen.
Ganz allgemein sind die Inkremente also von der Form [mm] $X_{i+1} [/mm] - [mm] X_i, i\in\IN_0$
[/mm]
> Für [mm]j
> [mm]E(X_j-X_{j-1})(X_k-X_{k-1})=E\left[E\left((X_j-X_{j-1})(X_k-X_{k-1})\mid\mathcal F_j\right)\right]=...[/mm]
> Ich vermute, nach dem, was Gono mir verraten hat, kann ich
> die obige erste Umformung machen, weil
> [mm](X_j-X_{j-1})(X_k-X_{k-1})[/mm] integrierbar ist.
> Stimmt das und wenn ja, warum genau ist das Tier
> integrierbar?
Weil alle zweiten Momente integrierbar sind. Multiplizieren wir das mal aus, dann erhalten wir:
[mm] $(X_j-X_{j-1})(X_k-X_{k-1}) [/mm] = [mm] X_j*X_k [/mm] - [mm] X_{j-1}X_k [/mm] - [mm] X_jX_{k-1} [/mm] + [mm] X_{j-1}X_{k-1}$
[/mm]
Und dass das Integrierbar ist, sieht man leicht mit Cauchy-Schwarz, zur Erinnerung:
$E[X*Y] [mm] \le E[X^2]E[Y^2]$
[/mm]
Und damit:
[mm] $E\left[\left|(X_j-X_{j-1})(X_k-X_{k-1})\right|\right] \le E[\left|X_j*X_k\right|] [/mm] + [mm] E[\left|X_{j-1}X_k\right|] [/mm] + [mm] E[\left|X_jX_{k-1}\right|] [/mm] + [mm] E[\left|X_{j-1}X_{k-1}\right|] \le E[X_j^2]E[X_k^2] [/mm] + [mm] E[X_{j-1}^2] E[X_k^2] [/mm] + [mm] E[X_j^2]E[X_{k-1}^2] [/mm] + [mm] E[X_{j-1}^2]E[X_{k-1}^2] [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
MFG,
Gono.
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Hey Gono!
Du bist ein Schatz 
Wieder einmal [mm] 10^3 [/mm] Dank für eine tolle Antwort.
Mal sehen, wie lange das dauert, bis ich mit diesem Stoff warm geworden bin.
Doof ist, dass ich nie eine VL dazu hören konnte und nur nach einem bedingt guten Skript lerne ...
Dir einen schönen Abend!
Auf die nächste Runde 
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> Hiho,
>
> immer wieder gern.
> Als unterstützende Literatur kann ich dir sehr den
> ![[]](/images/popup.gif) Klenke
> empfehlen, auch wenn er stückweise etwas ausschweifend
> ist.
Ich habe den Meintrup, der ist auch ganz nett, hilft aber nicht immer weiter ...
> Und dein Kommentar zur verwendeten Eigenschaft der
> bedingten Erwartung klingt so, als würdest du daran noch
> zweifeln.
Nein, die ist nun schon desöfteren (implizit) angewendet worden, dass ich daran glaube
> Würdest dafür noch gern einen Beweis sehen?
Sehr gerne, wenn du dir die Zeit nehmen magst ...
>
> MFG,
> Gono.
Gruß
schachuzipus
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