Martingale beweis < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mi 30.05.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo
Ich wollte fragen, ob mein Beweis stimmt. Folgendes möchte ich zeigen: Für ein Martingal [mm] $(M_t)$, $t\in [/mm] [0,T]$ sind Martingal-Inkremente paarweise orthogonal in [mm] $L^2$, [/mm] d.h.
$$ [mm] E[((M_t [/mm] - [mm] M_s) [/mm] + [mm] (M_l [/mm] - [mm] M_k))^2] [/mm] = [mm] E[(M_t-M_s)^2 [/mm] + [mm] (M_l [/mm] - [mm] M_k)^2]$$
[/mm]
für [mm] $0\le [/mm] s < t < k < l [mm] \le [/mm] T$
Beweis: Ich muss also zeigen, dass der $2ab$ Term in der binomischen Formel verschwindet:
$$ [mm] E[(M_t [/mm] - [mm] M_s) (M_l [/mm] - [mm] M_k)]= E[E[(M_t [/mm] - [mm] M_s) (M_l [/mm] - [mm] M_k)|\mathcal{F}_t]] =E[(M_t [/mm] - [mm] M_s)E[(M_l [/mm] - [mm] M_k)|\mathcal{F}_t]] [/mm] = [mm] E[(M_t [/mm] - [mm] M_s)(M_t-M_t)] [/mm] = 0$$
wobei grundlegende Eigenschaften der bedingten Erwartung verwendet wurden. Stimmt mein Beweis?
Gruss
physicus
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Hiho,
deine Aussage gilt natürlich nur, falls [mm] $M_t \in \mathcal{L}^2$ [/mm] für alle t gilt.
So direkt wurde das nirgends erwähnt (ansonsten könnte der Eindruck entstehen, diese Aussage gilt für alle Martingale, was natürlich falsch wäre).
Ansonsten passt dein Beweis.
MFG,
Gono.
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