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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Mi 07.12.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo zusammen
Ich löse ein paar Aufgaben zu Martingalen und komme nicht mehr weiter:
Sei $ [mm] x_i [/mm] $ eine Folge von Zufallsvariablen in $ [mm] L^2$ [/mm] und eine Filtration, so dass $ [mm] (\mathcal{F}_i) [/mm] $ so dass $ [mm] x_i$ $\mathcal{F}_i [/mm] $ messbar ist.
Dann soll ich zeigen:
1. $ [mm] M_n [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^n (x_i [/mm] - [mm] E(x_i [/mm] | [mm] \mathcal{F}_{i-1}) [/mm] $ ist ein Martingal
2. $ [mm] M_n [/mm] $ ist quadratisch integrierbar.
3. $ [mm] M_n [/mm] $ konvergiert P-f.s. für $ [mm] n\to \infty [/mm] $ wenn $ [mm] M_\infty [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^\infty E((x_i -E(x_i|\mathcal{F}_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{i-1}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ P-f.s
4. Wenn $ [mm] \summe_{i=1}^\infty [/mm] E [mm] x_i^2 [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ dann folgt die Bedingung in 3.
Was ich zeigen konnte: 1 konnte ich zeigen, 2 bin ich sicher, dass ich wohl Doob's Ungleichung verwenden soll.
D.h. ich muss nur zeigen, dass $ [mm] E(M_n^2) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ ist.
Allerdings schaffe ich es nicht das Resultat zu beweisen.
Bei 3 und 4 komme ich aber leider nicht weiter. Wäre also super, wenn jemand mir helfen könnte. Danke
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
zu 2.
Multiplizier mal die Quadrate in $ [mm] E(M_n^2) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ aus und zieh die Summe auseinander. Wenn's einen eleganten Weg gibt, dann seh ich ihn nicht. Du mußt mit den Rechenregeln für die bedingte Erwartung möglichst viele Summanden kürzen und den Rest abschätzen.
> 3. $ [mm] M_n [/mm] $ konvergiert P-f.s. für $ [mm] n\to \infty [/mm] $ wenn $ [mm] M_\infty [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^\infty E((x_i -E(x_i|\mathcal{F}_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{i-1}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $ P-f.s
$ [mm] M_\infty [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^\infty E((x_i -E(x_i|\mathcal{F}_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{i-1}) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^\infty Var(x_i\ [/mm] |\ [mm] \mathcal F_{i-1})< \infty$
[/mm]
d.h. die Bedingung sagt aus, daß die bedingte Varianz von [mm] $x_i$ [/mm] schnell fällt, was wiederum heißt, daß die Summanden von [mm] $M_n$ [/mm] schnell irrelevant werden.
bzw.
$ [mm] M_\infty [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^\infty E((M_{i}-M_{i-1})^2|\mathcal{F}_{i-1}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] $
Für mehr Details bräuchte ich einen Überblick über die zur Verfügung stehenden Hilfsmittel.
zu 4.:
$ E [mm] x_i^2 \geq Var(x_i) \geq Var(x_i\ [/mm] |\ [mm] \mathcal F_{i-1})$
[/mm]
ciao
Stefan
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:42 Mi 07.12.2011 | | Autor: | kalor |
> Hi,
>
> zu 2.
> Multiplizier mal die Quadrate in [mm]E(M_n^2) < \infty[/mm] aus und
> zieh die Summe auseinander. Wenn's einen eleganten Weg
> gibt, dann seh ich ihn nicht. Du mußt mit den Rechenregeln
> für die bedingte Erwartung möglichst viele Summanden
> kürzen und den Rest abschätzen.
>
> > 3. [mm]M_n[/mm] konvergiert P-f.s. für [mm]n\to \infty[/mm] wenn [mm]M_\infty := \summe_{i=1}^\infty E((x_i -E(x_i|\mathcal{F}_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{i-1}) < \infty[/mm]
> P-f.s
>
> [mm]M_\infty := \summe_{i=1}^\infty E((x_i -E(x_i|\mathcal{F}_{i-1}))^2|\mathcal{F}_{i-1}) = \sum_{i=1}^\infty Var(x_i\ |\ \mathcal F_{i-1})< \infty[/mm]
>
> d.h. die Bedingung sagt aus, daß die bedingte Varianz von
> [mm]x_i[/mm] schnell fällt, was wiederum heißt, daß die Summanden
> von [mm]M_n[/mm] schnell irrelevant werden.
>
>
> bzw.
>
> [mm]M_\infty := \summe_{i=1}^\infty E((M_{i}-M_{i-1})^2|\mathcal{F}_{i-1}) < \infty[/mm]
>
> Für mehr Details bräuchte ich einen Überblick über die
> zur Verfügung stehenden Hilfsmittel.
>
Ja die Hilfsmittel sollten nicht das Problem sein. Sag einfach welchen Satz du verwendest. Ich arbeite auch mit "Durrett-Probability Theory"
> zu 4.:
>
> [mm]E x_i^2 \geq Var(x_i) \geq Var(x_i\ |\ \mathcal F_{i-1})[/mm]
>
Ok, das ist mir nun klar
> ciao
> Stefan
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Do 08.12.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ja die Hilfsmittel sollten nicht das Problem sein. Sag einfach welchen Satz du verwendest. Ich arbeite auch mit "Durrett-Probability Theory"
Du verstehst mich falsch. Ich brauch den Überblick nicht, um es Dir erklären zu können, ich brauch den Überblick, weil ich auch nicht voll in der Materie bin. =)
Es läßt sich relativ einfach zeigen, daß
[mm] $\sup |M_n| <\infty\ \Leftarrow\ \sum_i E((M_i-M_{i-1})^2) <\infty$
[/mm]
nur ist das eine stärkere Aussage (vgl. 4) als Deine.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 07.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:16 Sa 24.12.2011 | | Autor: | kalor |
Ciao Stefan
>
> zu 4.:
>
> [mm]E x_i^2 \geq Var(x_i) \geq Var(x_i\ |\ \mathcal F_{i-1})[/mm]
>
Wieso gilt : $ [mm] Var(x_i) \geq Var(x_i\ |\ \mathcal F_{i-1})[/mm] ?
Rückblickend verstehe ich diese Ungleichung doch nicht. Danke und schöne Festtage
KalOR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 24.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Sa 10.12.2011 | | Autor: | kalor |
ich habe die Frage nun auch noch auf einem anderen Forum gestellt. ![[]](/images/popup.gif) Hier
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