Massenbestimmung der Erde < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Fr 03.12.2004 | | Autor: | Peida |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgendes Problem:
Die Masse des Erdkerns soll berechnet werden. Der Erdkern hat einen Radius von 3470km. Die Dichte ändert sich mit dem Radius linear. Dichte bei Radius 0 ist 13.4g*cm^-3. Bei Radius 3470 beträgt die Dichte 10.4g*cm^-3.
Masse ist bekanntlich ja Volumen*Dichte.
Mein Problem ist das, dass ich nicht weiß wie ich die Dichte in Abhängigkeit des Radius reinbring. Ich denk mir mal über Integralrechnung.
Aber wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Peida,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
Zuerst würde ich mir die Gleichung für die Dichte in Abhängigkeit des Radius ermitteln.
Wir haben gegeben:
[mm] $\rho(R=0) [/mm] = 13,4 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm] = 0,0134 [mm] \bruch{t}{m^3}$
[/mm]
[mm] $\rho(R=3470 [/mm] km) = 10,4 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm] = 0,0104 [mm] \bruch{t}{m^3}$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\rho(r) [/mm] = 0,0134 - [mm] \bruch{0,0030}{3470*1000} [/mm] * r$
Einheiten:
[mm] $\rho$ [/mm] in [mm] $\bruch{t}{m^3}$
[/mm]
r in m
Das bekannte Kugelvolumen mit $V = [mm] \bruch{4}{3}*\pi*R^3$ [/mm] ergibt sich auch aus der Integration der Kugeloberfläche $O = [mm] 4*\pi R^2$ [/mm] von 0 bis R.
Mit diesem Wissen, kombiniert mit der Formel $m = [mm] \rho [/mm] * V$ ergibt sich für unsere Massenberechnung:
$m = [mm] \integral_{0}^{R}{\rho(r) * O(r) dr}$
[/mm]
$m = [mm] \integral_{0}^{R}{[(0,0134 - \bruch{0,0030}{3470*1000} * r) * 4 * \pi * r^2] dr}$
[/mm]
$m = 4 * [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{R=3470*10^3 m}{(0,0134 * r^2 - \bruch{0,0030}{3470*1000} * r^3) dr}$
[/mm]
Achtung: R in m einsetzen. Dann erhalten wir als Einheit Tonnen (t).
Ich habe als Endwert $m = [mm] 1,9514*10^{18} [/mm] t$ erhalten.
Zum Vergleich:
Eine Kugel mit eine konstanten Dichte von [mm] $\rho [/mm] = 13,4 [mm] \bruch{g}{cm^3}$ [/mm] ergibt eine Masse von $m = [mm] 2,3452*10^{18} [/mm] t $. Das erscheint mir plausibel von der Größenordnung (83%).
Ich hoffe, ich habe jetzt nicht total daneben gehauen ...
Ein schönes Wochenende + Grüße Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Peida |
Danke, hast mir wirklich sehr geholfen!!
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