Maßfunktionen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge von Maßfunktionen:
T.....Semiring
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN [/mm] T = [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] , [mm] \mu_{n}(A) [/mm] = |A [mm] \cap [/mm] {1,.....,n}|
Zeigen sie dass der Grenzwert [mm] \mu(A) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \mu_{n}(A) [/mm] für alle A in T liegt.
Zeige weiters dass [mm] \mu [/mm] kein Maß ist. |
hallo zusammen
stoße in maß an meine grenzen.
also das mit dem limes hab ich geschafft.
aber wieso sollte das kein maß sein? ist das nicht einfach das zählmaß?
ich arbeite schon stunden daran und komm einfach nicht auf die lösung wieso das kein maß ist. :/
danke schon im voraus für alle die sich bemühen mir zu helfen!
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Hiho,
> Zeigen sie dass der Grenzwert [mm]\mu(A)[/mm] = [mm]\lim_{n\to\infty} \mu_{n}(A)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> für alle A in T liegt.
Wie soll eine relle Zahl in T liegen?
Die Aufgabe kann wohl kaum so gestellt sein 
> also das mit dem limes hab ich geschafft.
Da frag ich mich mal, wie du das gemacht hast ^^
> aber wieso sollte das kein maß sein? ist das nicht einfach das zählmaß?
Könnte man meinen, ist aber nicht so
Dafür müsstest du zwei Grenzwerte vertauschen, was im Allgemeinen aber nicht geht.
Betrachte mal die Folge: $A_k = \{k,k+1,k+2,\ldots\}$ als absteigende Folge von Mengen.
Für ein Maß müsste ja nun gelten $\mu\left(\bigcap_{k=1}^\infty A_k}\right) = \lim_{k\to\infty} \mu(A_k)$
Was ist $\mu\left(\bigcap_{k=1}^\infty A_k}\right)$?
Was ist $\lim_{k\to\infty} \mu(A_k)$ ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
wieso eine reelle zahl? A muss ja aus [mm] \Omega [/mm] sein, was ja die natürlichen zahlen sind.
der limes is einfach die mächtigkeit von A, da ab einem gewissen N der schnitt von A mit der Menge {1,....,n} genau A ist oder?
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Hiho,
> wieso eine reelle zahl? A muss ja aus [mm]\Omega[/mm] sein, was ja die natürlichen zahlen sind.
Auch wenns etwas unhöflich klingt, da fällt mir nur "Blödsinn" zu ein.
A ist ein Teilmenge von [mm] $\Omega$!
[/mm]
D.h. ein Element von T!
> der limes is einfach die mächtigkeit von A, da ab einem
> gewissen N der schnitt von A mit der Menge {1,....,n} genau
> A ist oder?
Nein. Wer sagt dir, dass A endlich ist?
MFG,
Gono.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:38 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
okay jetzt kenn ich mich gar nicht mehr aus :)
also A ist eine Teilmenge der Natürlichen Zahlen und kann auch unendlich sein. weiters ist es ein element aus unserem semiring T.
was ist das für eine bedingung mit schnitten und wieso ist diese folge die du konstruiert hast, in dem semiring drinn? das hab ich nicht ganz durchschaut.
ich hab immer versucht das ich die [mm] \sigma-additivität [/mm] wiederlege, die geht aber mit einem vereinigungszeichen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo fe11x,
genügt dir dies hier als Antwort?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> > Zeigen sie dass der Grenzwert [mm]\mu(A)[/mm] = [mm]\lim_{n\to\infty} \mu_{n}(A)[/mm]
> > für alle A in T liegt.
>
> Wie soll eine relle Zahl in T liegen?
> Die Aufgabe kann wohl kaum so gestellt sein
Dem kann ich mich nur anschließen.
> > also das mit dem limes hab ich geschafft.
>
> Da frag ich mich mal, wie du das gemacht hast ^^
Ich mich auch.
> > aber wieso sollte das kein maß sein? ist das nicht
> einfach das zählmaß?
>
> Könnte man meinen, ist aber nicht so
Oh doch!
Für endliche Mengen ist A ist [mm] $A\cap\{1,\ldots,n\}=A$ [/mm] und somit [mm] \mu_n(A)=|A| [/mm] für n genügend groß, also [mm] \mu(A)=|A|. [/mm] Für unendliche Mengen A, etwa [mm] A=\{a_K|K\in\IN\} [/mm] mit [mm] a_K [/mm] aufsteigend sortiert, ist [mm] $\mu_n(A)\ge [/mm] K$ für alle [mm] $n\ge a_K$ [/mm] für alle [mm] K\in\IN, [/mm] also [mm] $\mu_n(A)$ [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] \infty [/mm] und somit [mm] \mu(A)=\infty.
[/mm]
> Betrachte mal die Folge: [mm]A_k = \{k,k+1,k+2,\ldots\}[/mm] als
> absteigende Folge von Mengen.
>
> Für ein Maß müsste ja nun gelten
> [mm]\mu\left(\bigcap_{k=1}^\infty A_k}\right) = \lim_{k\to\infty} \mu(A_k)[/mm]
Nein. Die Stetigkeit von oben von Maßen ist nur auf Mengenfolgen von Mengen endlichen Maßes anwendbar.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Nein. Die Stetigkeit von oben von Maßen ist nur auf
> Mengenfolgen von Mengen endlichen Maßes anwendbar.
oh da hast du recht. Da hab ich doch die (vermeindlich einfache) Bedingung [mm] $\mu(A_1) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] unterschlagen, was hier nicht gegeben ist.
Danke für die Korrektur!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
ich kann nur wiederholen die frage ist genau so gestellt wie ich es im ersten post geschrieben habe.
also ich verstehe das poblem nicht so recht.
im fall da A endlich ist, handelt es sich genau um das zählmaß oder?
aber wass passiert jetzt wenn A unendlich ist?
mit stetigkeit im bezug auf maßen haben wir noch nichts gemacht. das versteh ich nicht so recht.
kann mich jemand genauer über das problem aufklären ? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ...
> ich kann nur wiederholen die frage ist genau so gestellt
> wie ich es im ersten post geschrieben habe.
1. Möglichkeit: Den Aufgabensteller deswegen kontaktieren.
2. Möglichkeit: Nimm meine Begründung aus https://matheraum.de/read?i=875892, dass [mm] \mu [/mm] das Zählmaß auf [mm] \IN [/mm] und somit ein Maß ist, um die zweite Aussage aus der Aufgabenstellung zu widerlegen. Und schreibe, dass [mm] \mu(A) [/mm] stets eine natürliche Zahl oder [mm] \infty [/mm] ist und somit sicherlich nicht in [mm] T=\mathcal{P}(\IN) [/mm] liegt.
> also ich verstehe das poblem nicht so recht.
> im fall da A endlich ist, handelt es sich genau um das
> zählmaß oder?
Genau, dann stimmt [mm] \mu(A) [/mm] mit dem Wert des Zählmaßes für die Menge A überein.
> aber wass passiert jetzt wenn A unendlich ist?
Auch dann stimmt [mm] \mu(A) [/mm] mit dem Wert [mm] \infty [/mm] des Zählmaßes überein, wie ich in https://matheraum.de/read?i=875892 begründet habe.
Also IST [mm] \mu [/mm] das Zählmaß auf [mm] \IN.
[/mm]
> mit stetigkeit im bezug auf maßen haben wir noch nichts
> gemacht. das versteh ich nicht so recht.
>
> kann mich jemand genauer über das problem aufklären ? :)
Ist in Wahrheit gar kein Problem. Falls es dich trotzdem interessiert: Maße [mm] \mu [/mm] haben die Eigenschaft "stetig von oben" zu sein, d.h. für absteigende Folgen
[mm] $A_0\supset A_1\supset A_2\supset\ldots$
[/mm]
von Mengen aus der zugehörigen Sigma-Algebra gilt
[mm] \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n),
[/mm]
falls [mm] \mu(A_0)<\infty [/mm] gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
> > ...
> > ich kann nur wiederholen die frage ist genau so
> gestellt
> > wie ich es im ersten post geschrieben habe.
> 1. Möglichkeit: Den Aufgabensteller deswegen
> kontaktieren.
>
> 2. Möglichkeit: Nimm meine Begründung aus
> https://matheraum.de/read?i=875892, dass [mm]\mu[/mm] das
> Zählmaß auf [mm]\IN[/mm] und somit ein Maß ist, um die zweite
> Aussage aus der Aufgabenstellung zu widerlegen. Und
> schreibe, dass [mm]\mu(A)[/mm] stets eine natürliche Zahl oder
> [mm]\infty[/mm] ist und somit sicherlich nicht in [mm]T=\mathcal{P}(\IN)[/mm]
> liegt.
>
> > also ich verstehe das poblem nicht so recht.
> > im fall da A endlich ist, handelt es sich genau um das
> > zählmaß oder?
> Genau, dann stimmt [mm]\mu(A)[/mm] mit dem Wert des Zählmaßes
> für die Menge A überein.
> > aber wass passiert jetzt wenn A unendlich ist?
> Auch dann stimmt [mm]\mu(A)[/mm] mit dem Wert [mm]\infty[/mm] des
> Zählmaßes überein, wie ich in
> https://matheraum.de/read?i=875892 begründet habe.
>
> Also IST [mm]\mu[/mm] das Zählmaß auf [mm]\IN.[/mm]
>
> > mit stetigkeit im bezug auf maßen haben wir noch nichts
> > gemacht. das versteh ich nicht so recht.
> >
> > kann mich jemand genauer über das problem aufklären ? :)
> Ist in Wahrheit gar kein Problem. Falls es dich trotzdem
> interessiert: Maße [mm]\mu[/mm] haben die Eigenschaft "stetig von
> oben" zu sein, d.h. für absteigende Folgen
>
> [mm]A_0\supset A_1\supset A_2\supset\ldots[/mm]
>
> von Mengen aus der zugehörigen Sigma-Algebra gilt
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\mu(A_n)=\mu(\bigcap_{n\in\IN}A_n),[/mm]
>
> falls [mm]\mu(A_0)<\infty[/mm] gilt.
ist [mm] \infty [/mm] kein element der potenzmenge der natürlichen zahlen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ist [mm]\infty[/mm] kein element der potenzmenge der natürlichen
> zahlen?
Normalerweise nicht. Es sei denn, ihr habt [mm] \infty:=\IN [/mm] definiert. Ansonsten ist [mm] \infty [/mm] ein nicht näher bestimmtes Symbol, aber keine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Gegeben sei die Folge von Maßfunktionen:
>
> T.....Semiring
>
> [mm]\Omega[/mm] = [mm]\IN[/mm] [mm] \green{T} [/mm] = [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] , [mm]\mu_{n}(A)[/mm] = |A [mm]\cap[/mm]
> {1,.....,n}|
>
> Zeigen sie dass der Grenzwert [mm]\mu(A)[/mm] = [mm]\lim_{n\to\infty} \mu_{n}(A)[/mm]
> für alle A in T liegt.
> Zeige weiters dass [mm]\mu[/mm] kein Maß ist.
Kann es sein, dass das grün markierte T in Wahrheit ein [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] oder ähnliches sein soll?
Falls ja: Welcher Semiring soll T sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
in der angabe steht ganz klar ein T.
also ist T ein semiring über die potenzmenge der natürlichen zahlen. dann wärs aber auch eine sigmaalgebra oder?
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Hiho,
> ...
> in der angabe steht ganz klar ein T.
> also ist T ein semiring über die potenzmenge der
> natürlichen zahlen. dann wärs aber auch eine sigmaalgebra
> oder?
korrekt.
Sofern Tobis Beweis korrekt ist, dass [mm] $\mu$ [/mm] dem Zählmaß auf [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] entspricht, wäre die Aufgabe fehlerhaft.
Vom Gefühl her würde ich aber gerade sagen, dass dort der Haken ist und dem eben nicht so ist, weil man zwei Grenzwerte vertauschen müsste, was im Allgemeinen aber nicht geht.
Vielleicht fällt Tobi ja noch was ein
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
> Hiho,
>
> > ...
> > in der angabe steht ganz klar ein T.
> > also ist T ein semiring über die potenzmenge der
> > natürlichen zahlen. dann wärs aber auch eine sigmaalgebra
> > oder?
>
> korrekt.
>
> Sofern Tobis Beweis korrekt ist, dass [mm]\mu[/mm] dem Zählmaß auf
> [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm] entspricht, wäre die Aufgabe fehlerhaft.
> Vom Gefühl her würde ich aber gerade sagen, dass dort
> der Haken ist und dem eben nicht so ist, weil man zwei
> Grenzwerte vertauschen müsste, was im Allgemeinen aber
> nicht geht.
>
> Vielleicht fällt Tobi ja noch was ein
>
> MFG,
> Gono.
>
welche limiten sollte man da vertauschen können? ich versteh das nicht ganz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Ich denke, diese Frage hat sich inzwischen erübrigt. Daher markiere ich sie hiermit als beantwortet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Sa 17.03.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Kann es sein, dass das grün markierte T in Wahrheit ein
> [mm]\mathcal{A}[/mm] oder ähnliches sein soll?
>
> Falls ja: Welcher Semiring soll T sein?
[mm] $\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] ist doch eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und damit insbesondere ein Semi-Ring.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
> Hiho,
>
> > Kann es sein, dass das grün markierte T in Wahrheit ein
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] oder ähnliches sein soll?
> >
> > Falls ja: Welcher Semiring soll T sein?
>
> [mm]\mathcal{P}(\Omega)[/mm] ist doch eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra und damit
> insbesondere ein Semi-Ring.
>
> MFG,
> Gono.
>
ja, genau das meinte ich auch.
also ist es jetzt ein maß oder nicht?
im endlichen fall von A das zählmaß aber was ist im unendlichen.
in der angabe steht auch das man zeigen soll das der limes existiert. tut er das oder tut er das nicht? ich habt ja beide gsagt ihr versteht nicht wie das funktionieren soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> also ist es jetzt ein maß oder nicht?
Ja, [mm] \mu [/mm] ist das Zählmaß auf [mm] \IN.
[/mm]
> im endlichen fall von A das zählmaß aber was ist im
> unendlichen.
Da liegt ein Missverständnis vor: Es gibt keine verschiedenen [mm] \mu [/mm] für verschiedene [mm] $A\in\mathcal{P}(\IN)$. $\mu$ [/mm] ist eine Abbildung von [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] nach [mm] \IN_0\cup\{\infty\}. [/mm] Diese EINE Abbildung ist das Zählmaß auf [mm] \IN.
[/mm]
> in der angabe steht auch das man zeigen soll das der limes
> existiert. tut er das oder tut er das nicht?
Also hast du offensichtlich doch nicht die gesamte Aufgabenstellung gepostet! Hole das bitte nach.
Die Limiten existieren, können aber [mm] \infty [/mm] sein.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Sa 17.03.2012 | | Autor: | fe11x |
in der angabe seht doch:
Zeigen sie dass der Grenzwert $ [mm] \mu(A) [/mm] $ = $ [mm] \lim_{n\to\infty} \mu_{n}(A) [/mm] $ für alle A in T liegt.
das hab ich doch gepostet.
also wenn A unendlich ist, so liegt der grenzwert ja nicht in T oder?
EDIT: tut mir leid. in der angabes steht das man zeigen soll das für alle A aus T dieser Limes existiert! das hab ich falsch ausgedrückt!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Sa 17.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> EDIT: tut mir leid. in der angabes steht das man zeigen
> soll das für alle A aus T dieser Limes existiert! das hab
> ich falsch ausgedrückt!
Na also. Dann passt der erste Teil der Aufgabenstellung ja doch.
An der Maßeigenschaft von [mm] \mu [/mm] ändert das natürlich nichts.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 18.03.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Gegeben sei die Folge von Maßfunktionen:
T.....Semiring
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \IN [/mm] T = [mm] \mathcal{P}(\Omega) [/mm] , [mm] \mu_{n}(A) [/mm] = |A [mm] \cap [/mm] {n,n+1,n+2,...}|
Zeigen sie dass der Grenzwert [mm] \mu(A) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \mu_{n}(A) [/mm] für alle A aus T existiert.
Zeige weiters dass [mm] \mu [/mm] kein Maß ist. |
hallo nochmal.
unser professor hat heute das bsp korrigiert und die angabe lautet wie oben beschrieben. man schneidet a jetzt nicht mehr mit 1,...n, sondern mit n,n+1,n+2,.....
wenn A endlich ist ,konvergiert die maßfunktion gegen 0.
wenn A unendlich ist ebenso oder?
das heißt die grenzwerte existieren.
warum ist [mm] \mu [/mm] jetzt aber kein maß?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> unser professor hat heute das bsp korrigiert und die
> angabe lautet wie oben beschrieben. man schneidet a jetzt
> nicht mehr mit 1,...n, sondern mit n,n+1,n+2,.....
>
> wenn A endlich ist ,konvergiert die maßfunktion gegen 0.
Genau. Begründung?
> wenn A unendlich ist ebenso oder?
Nein, dann ist [mm] \mu(A)=\infty.
[/mm]
> warum ist [mm]\mu[/mm] jetzt aber kein maß?
(Wäre [mm] \mu(A) [/mm] tatsächlich, wie von dir vermutet, für alle [mm] $A\in\IN$ [/mm] gleich 0, so wäre [mm] \mu [/mm] ein Maß.) Hat sich mit der neuen Info über [mm] \mu [/mm] deine Frage erübrigt?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 18.03.2012 | | Autor: | fe11x |
> > unser professor hat heute das bsp korrigiert und die
> > angabe lautet wie oben beschrieben. man schneidet a jetzt
> > nicht mehr mit 1,...n, sondern mit n,n+1,n+2,.....
> >
> > wenn A endlich ist ,konvergiert die maßfunktion gegen 0.
> Genau. Begründung?#
naja gut das ist klar. denn ab einem gewissen N schneidet man disjunkte mengen oder?
> > wenn A unendlich ist ebenso oder?
> Nein, dann ist [mm]\mu(A)=\infty.[/mm]
okay verstehe, die unendlichkeit verwirrt mich manchmal. also egal wie groß ich N wähle, der schnitt behält immer die mächtigkeit [mm] \infty.
[/mm]
>
> > warum ist [mm]\mu[/mm] jetzt aber kein maß?
> (Wäre [mm]\mu(A)[/mm] tatsächlich, wie von dir vermutet, für
> alle [mm]A\in\IN[/mm] gleich 0, so wäre [mm]\mu[/mm] ein Maß.) Hat sich mit
> der neuen Info über [mm]\mu[/mm] deine Frage erübrigt?
hmm nein noch nicht ganz.
ich muss ja die [mm] \sigma [/mm] additivität wiederlegen können. ich weiß jetzt im fall das A unendlich ist, die maßfunktion immer auf + [mm] \infty [/mm] abbildet. nur hilft mir das weiter?
ahhh, oder ich betrachte den fall das A endlich ist und zeige hier schon das es kein maß ist?
[mm] \mu [/mm] von der Vereinigung der [mm] A_{n} [/mm] ist genau die mächtigkeit von A.
die summe der [mm] \mu(A_{n}) [/mm] ist jedoch genau A fakultät oder?
oder bin ich jetzt völlig daneben?
mich verwirrt das, das ich ja eigentlich keine mengenfolge habe sondern eine folge von maßen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > wenn A endlich ist ,konvergiert die maßfunktion gegen 0.
> > Genau. Begründung?#
> naja gut das ist klar. denn ab einem gewissen N schneidet
> man disjunkte mengen oder?
Genau!
> > > wenn A unendlich ist ebenso oder?
> > Nein, dann ist [mm]\mu(A)=\infty.[/mm]
> okay verstehe, die unendlichkeit verwirrt mich manchmal.
> also egal wie groß ich N wähle, der schnitt behält immer
> die mächtigkeit [mm]\infty.[/mm]
Ebenfalls richtig.
> > > warum ist [mm]\mu[/mm] jetzt aber kein maß?
>
> ich muss ja die [mm]\sigma[/mm] additivität wiederlegen können.
Genau.
> ich weiß jetzt im fall das A unendlich ist, die
> maßfunktion immer auf + [mm]\infty[/mm] abbildet.
Du hast nicht verschiedene Funktionen für verschiedene A, sondern genau EINE Funktion [mm] \mu. [/mm] An manchen Stellen nimmt sie den Wert 0 an, an anderen Stellen den Wert [mm] \infty.
[/mm]
Für alle [mm] A\in\mathcal{P}(\IN) [/mm] gilt
[mm] \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ endlich} \\ \infty, & \mbox{für } A \mbox{ unendlich} \end{cases}
[/mm]
> [mm]\mu[/mm] von der Vereinigung der [mm]A_{n}[/mm] ist genau die
> mächtigkeit von A.
Welche Mengen wählst du hier für [mm] A_n [/mm] und A?
> mich verwirrt das, das ich ja eigentlich keine mengenfolge
> habe sondern eine folge von maßen.
Die du getroßt wieder vergessen kannst. Wir wissen ja jetzt, wie [mm] \mu [/mm] konkret aussieht und brauchen nicht mehr die Definition über die [mm] \mu_n.
[/mm]
Spiele mal ein wenig mit konkreten Wahlen von paarweise disjunkten [mm] A_n [/mm] herum und berechne
[mm] \mu(\bigcup_{n\in\IN}A_n) [/mm] und [mm] \summe_{n\in\IN}\mu(A_n),
[/mm]
bis du ein Gegenbeispiel zur [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] hast.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 So 18.03.2012 | | Autor: | fe11x |
aaah ich habs
wenn ich paarweise disjunkte mengen nehme, so komme ich mit der unendlichen vereinigung auf eine abzählbare aber unendliche menge, hier bildet die maßfunktion auf [mm] \infty [/mm] ab.
wenn ich jedoch die summe über die maße nehme, erhalte ich eine summe über 0,0,0,0,0,...
stimmts?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 18.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> wenn ich paarweise disjunkte mengen nehme, so komme ich mit
> der unendlichen vereinigung auf eine abzählbare aber
> unendliche menge, hier bildet die maßfunktion auf [mm]\infty[/mm]
> ab.
>
> wenn ich jedoch die summe über die maße nehme, erhalte
> ich eine summe über 0,0,0,0,0,...
>
> stimmts?
Wenn du für [mm] A_n [/mm] nichtleere endliche Mengen nimmst, stimmt es!
Am besten konkrete [mm] A_n [/mm] als Beispiel angeben, z.B. [mm] A_n=\{n\}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:57 So 18.03.2012 | | Autor: | fe11x |
okay!
herzlichen dank für deine hilfe!!
grüße
felix
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