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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:54 Sa 11.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A},\mu) [/mm] ein Maßraum. Für jede Folge [mm] (A_j)_{j\in \IN} [/mm] von Teilmengen von X setze
lim [mm] infA_j:=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{j=k}^{\infty}A_j,
[/mm]
lim [mm] supA_j:=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j.
[/mm]
Zeigen Sie
(i)
Es ist
lim [mm] supA_j=\{x\in X:x\in A_j für unendlich viele j\in \IN\},
[/mm]
lim [mm] infA_j=\{x\in X:x\in A_j für fast alle j\in \IN\}
[/mm]
( fast alle bedeutet hier:alle, bis auf endlich viele Ausnahmen).
(ii) Für jede Folge [mm] (A_j)_{j\in \IN} [/mm] von meßbaren Mengen gilt
[mm] \mu(liminfA_j)\le [/mm] lim [mm] inf\mu(A_j).
[/mm]
(iii)
Für jede Folge [mm] (A_j)_{j\in \IN} [/mm] von meßbaren Mengen mit [mm] \summe_{j=0}^{\infty}\mu(A_j)<\infty [/mm] gilt
[mm] \mu(lim supA_j)=0 [/mm]. |
Ich habe (ii) bereits gelöst (unter Verwendung der Stetigkeit von unten und der Monotonie des Maßes).
Fehlen noch (i) und (iii).
Bei (iii) habe ich mir überlegt, dass man in Analogie zu (i) zeigen kann:
[mm] \mu(lim supA_j)=\limes_{j\rightarrow\infty}\mu(\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{j=k}^{\infty}\mu((A_j).
[/mm]
Und dann weiß ich nicht so recht weiter.
(Zu (i) habe ich noch gar keinen Ansatz.)
Wer hilft mir ein bisschen auf die Sprünge?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:42 Sa 11.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Wer kann mir helfen, indem er mal drüberschaut?
Dies sind meine bisherigen Lösungen zu (ii) und (iii). |
Zu (ii) :
[mm] \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}inf A_j)=\mu(\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{j=k}^{\infty}A_j)=\limes_{j\rightarrow\infty}\mu(\bigcap_{j=k}^{\infty}A_j) [/mm] [wegen der Stetigkeit von unten]
Weiter gilt:
[mm] \mu(\bigcap_{j=k}^{\infty}A_j)\le \mu(A_j) [/mm] für alle [mm] j\ge [/mm] k [Monotonie des Maßes] und damit insbesondere natürlich
[mm] \mu(\bigcap_{j=k}^{\infty}A_j)\le inf_{j\ge k}\mu(A_j)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}inf A_j)=\limes_{j\rightarrow\infty}\mu(\bigcap_{j=k}^{\infty}A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}inf\mu(A_j) \Box
[/mm]
Zu (iii) :
[mm] (ii)\Rightarrow \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}inf A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}\underbrace{inf\mu(A_j)}_{=0}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}inf A_j)=0 [/mm] [Positivität des Maßes]
Außerdem:
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty}inf\mu(A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}inf\mu(\bigcup_{j\ge k}A_j) [/mm] [Monotonie: [mm] A_j\subseteq \bigcup_{j\ge k}A_j]
[/mm]
[mm] \le \limes_{j\rightarrow\infty}inf\summe_{j\ge k}\mu(A_j)
[/mm]
[mm] \le \limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{j\ge k}\mu(A_j)
[/mm]
Zudem:
[mm] \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}sup A_j)=\mu(\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j),
[/mm]
[mm] \mu(\bigcup_{j=k}A_j)\le \summe_{j=k}^{\infty}\mu(A_j)<\infty [/mm] (*)
[mm] \bigcup_{j\ge 1}A_j\supseteq \bigcup_{j\ge 2}\supseteq A_j\supdeteq ...\supseteq \bigcup_{j\ge n}A_j\supseteq \bigcup_{j\ge n+1}A_j\supseteq [/mm] ...
Somit folgt dann mit der Stetigkeit von oben und (*):
[mm] \mu(\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j)=\limes_{j\rightarrow\infty}\mu(\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j).
[/mm]
[Hier könnte man jetzt weiter argumentieren und zeigen, dass [mm] \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}sup A_j)\ge \limes_{j\rightarrow\infty}sup\mu(A_j). [/mm] Ich glaube aber, dass man das für den Beweis von (iii) hier nicht benötigt.]
Also weiter, wo ich eben aufgehört hatte:
[mm] \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}sup A_j)=\limes_{j\rightarrow\infty}\mu(\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}\summe_{j=k}^{\infty}\mu(A_j)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}sup A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}\underbrace{\summe_{j=k}^{\infty}\mu(A_j)}_{<\infty}=:x
[/mm]
[mm] \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}inf A_j)\le \limes_{j\rightarrow\infty}\underbrace{\summe_{j=k}^{\infty}\mu(A_j)}_{<\infty}=x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}sup A_j)=\mu(\limes_{j\rightarrow\infty}inf A_j)=0.
[/mm]
Zu (i) :
Muss man das per Induktion über j zeigen?
So und nun ist halt meine Frage, ob das [einigermaßen?]richtig ist.
Es wäre sehr nett, wenn jemand helfen würde und reagiert.
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 So 12.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
Unabhängig davon, ob mein vorheriger Ansatz überhaupt stimmte, kann man (iii) denke ich viel kürzer lösen:
Vorbemerkung: [mm] x\in limsupA_j\gdw \{j\in \IN: x\in A_j\} [/mm] ist unendlich
[mm] 0\le \mu(\limes_{j\rightarrow\infty}supA_j)=\mu(\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j)\le \mu(\bigcup_{j=k}^{\infty}A_j)\le \summe_{j=k}^{\infty}\underbrace{\mu(A_j)}_{\rightarrow0 fuer k\rightarrow\infty}, [/mm] da [mm] \summe\mu(A_j) [/mm] konvergiert
[mm] \Rightarrow \mu(limsupA_j)=0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mo 13.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mo 13.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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