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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo, habe folgendes Problem und wäre froh, wenn mir jemand dabei helfen könnte:
Sei [mm] \Omega [/mm] eine Menge und A eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega, A_0 [/mm] ein Mengensystem auf [mm] \Omega, [/mm] welches [mm] \alpha [/mm] [marc: hier soll wahrscheinlich A (siehe links) bzw. [mm] \mathcal{A} [/mm] stehen] erzeugt. Seien [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] Maße auf [mm] (\Omega, [/mm] A) und es gelte
[mm] \mu(X)=\nu(X)<\infty, \forall [/mm] X [mm] \in A_0.
[/mm]
Zeige oder widerlege, dass dann gilt:
[mm] \mu(X)=\nu(X), \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] A
Meiner Meinung nach ist dieser Satz wahrscheinlich falsch, da er bis auf die Durchschnittsstabilität von [mm] A_0 [/mm] dem Eindeutigkeitssatz für Maßfortsetzungen entspricht. Ich denke Mal, es soll hier ein Gegenbeispiel angegeben werden, bei dem der Erzeuger von A eben nicht durschnittsstabil ist, aber ich hab keine Vorstellung, wie ich ein solches Beispiel finden bzw. konstruieren kann.
Für eure Hilfe danke ich euch schonmal im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Do 28.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Jan!
Die fehlende Durchschnittsstabilität ist gar nicht mal das Hauptproblem (aber natürlich auch ein Problem), sondern die nicht vorausgesetzte [mm] $\sigma$-Endlichkeit.
[/mm]
Das von dir gewünschte
Gegenbeispiel
Es sei [mm] $\Omega \ne \emptyset$ [/mm] beliebig, und
[mm] ${\cal A}=\{\emptyset,\Omega\}$.
[/mm]
Dann ist [mm] ${\cal A}_0=\{\emptyset\}$ [/mm] ein [mm] $\cap$-stabiler [/mm] Erzeuger von [mm] ${\cal A}$.
[/mm]
Für die beiden Maße [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] auf [mm] ${\cal A}$,
[/mm]
[mm] $\mu(\emptyset)=0=\nu(\emptyset)=\mu(\Omega) \quad [/mm] , [mm] \quad \nu(\Omega)=1$,
[/mm]
gilt:
[mm] $\mu(A) [/mm] = [mm] \nu(A) [/mm] = 0< [mm] \infty$ [/mm] für alle $A [mm] \in {\cal A}_0$,
[/mm]
aber:
[mm] $\mu \not\equiv \nu$ [/mm] auf [mm] ${\cal A}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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