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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:38 Mo 21.06.2004 | | Autor: | mori |
(Q,A) sei ein Meßraum.
a) Eine beschränkte Funktion f : Q [mm] \to \IR [/mm] ist genau dann messbar, wenn sie Limes einer gleichmässig konvergenten Folge beschränkter einfacher Funktionen ist.
b) Eine nicht beschränkte Funktion f: Q [mm] \to \IR [/mm] ist genau dann messbar, wenn sie Limes einer gleichmässig konvergenten Folge messbarer Funktionen mit jeweils höchstens abzählbar vielen verschiedenen Funktionswerten ist.
dazu hatten wir in der Vorlesung folgende Def:
einfach: ( im weiteren sei: [mm] \IR [/mm] ´ gleich dem Abschluß der reellen Zahlen)
(Q,A) Messraum. Eine Funktion f : Q [mm] \to \IR [/mm] ´ heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt und diese jeweils auf einer Menge aus der Sigma-Algebra A.
messbar:
(Q,A) Messraum. Eine Funktion f : Q [mm] \to \IR [/mm] ´ heißt messbar, wenn sie der (punktweise) Limes einer Folge einfacher (oder auch nur beschränkter einfacher) Funktionen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo mori,
eins vorweg: Ich habe keine Ahnung, und bin deswegen ein bisschen wagemutig und würde hier gerne nur sicherstellen, dass ich die Aufgabe überhaupt richtig verstehe 
> (Q,A) sei ein Meßraum.
> a) Eine beschränkte Funktion f : Q [mm]\to \IR[/mm] ist genau dann
> messbar, wenn sie Limes einer gleichmässig konvergenten
> Folge beschränkter einfacher Funktionen ist.
> b) Eine nicht beschränkte Funktion f: Q [mm]\to \IR[/mm] ist genau
> dann messbar, wenn sie Limes einer gleichmässig
> konvergenten Folge messbarer Funktionen mit jeweils
> höchstens abzählbar vielen verschiedenen Funktionswerten
> ist.
>
> dazu hatten wir in der Vorlesung folgende Def:
Danke für die Definitionen!
> einfach: ( im weiteren sei: [mm]\IR[/mm] ´ gleich dem Abschluß der
> reellen Zahlen)
> (Q,A) Messraum. Eine Funktion f : Q [mm]\to \IR[/mm] ´ heißt
> einfach, wenn sie nur endlich viele Werte annimmt und diese
> jeweils auf einer Menge aus der Sigma-Algebra A.
> messbar:
> (Q,A) Messraum. Eine Funktion f : Q [mm]\to \IR[/mm] ´ heißt
> messbar, wenn sie der (punktweise) Limes einer Folge
> einfacher (oder auch nur beschränkter einfacher) Funktionen
> ist.
Verständnisfrage: Eine einfache Funktion ist doch automatisch beschränkt?
ad a)
[mm] "$\Rightarrow$".
[/mm]
f ist also beschränkt und messbar, d.h. f ist beschränkt und punktweiser Limes einer Folge einfacher Funktionen.
Also wäre hier doch "nur" zu zeigen, dass dieselbe Folge einfacher Funktionen gleichmäßig gegen f konvergiert, oder nicht?
Das hört sich aber machbar an, ich habe allerdings noch nicht weiter darüber nachgedacht.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Diese Richtung ist klar, da aus der gleichmäßigen Konvergenz die punktweise Konvergenz folgt.
ad b)
[mm] "$\Rightarrow$".
[/mm]
Keine Ahnung.
[mm] "$\Leftarrow$".
[/mm]
Hier "stören" ja nur die "höchstens abzählbar vielen verschiedenen Funktionswerte" jedes Folgeglieds (wenn es nur endlich viele verschiedene wären, wäre es wieder klar).
Allerdings habe ich keine Ahnung, wie es weiter gehen könnte.
Naja, meinen Artikel hätte ich mir wohl auch sparen können, aber vielleicht entsteht so ja noch eine Diskussion, oder zumindestens die Vernichtung meine rudimentären Ideen.
Erfährtst du irgendwann die Lösung zu dieser Aufgabe?
Würdest du mir den Gefallen tun, sie hier vorzustellen? Das wäre nett
Viele Grüße,
Marc
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