Maßtheorie, Sigma-Algebra der Borelschen Mengen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Mialein |
a) Sei f: [mm] \IR^{n}\to\IR^{d}, [/mm] A:={x [mm] \in \IR^{n}| [/mm] f stetig in x}
Zu zeigen ist A [mm] \in [/mm] Sigma-Algebra der Borelschen Mengen in [mm] \IR^{n}
[/mm]
b) Sei mü ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Sigma-Algebra der Borelschen Mengen in [mm] \IR [/mm] und F seine Verteilungsfunktion.
Zu zeigen ist: F ist in einem Punkt x [mm] \in \IR [/mm] genau dann stetig, wenn
mü({x}) = 0 gilt
Was sind denn eigentlich genau die Borelschen Mengen? Ich finde überall nur Definitionen für die Borelsche Sigma-Algebra! In denen dann ganz selbstverständlich vorausgesetzt wird, dass bekannt ist, was die Borelschen Mengen sind!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mialein,
jetzt wird's gefährlich, ich versuche mich an einer Stochastik-Aufgabe. ![[tuer]](/images/smileys/tuer.gif "[tuer]") Hoffentlich geht das nicht schief. ![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]") 
> a) Sei f: [mm]\IR^{n}\to\IR^{d},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A:=$\{$x [mm]\in \IR^{n}|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f stetig
> in x$\}$
> Zu zeigen ist A [mm]\in[/mm] Sigma-Algebra der Borelschen Mengen in
> [mm]\IR^{n}
[/mm]
Nun ja, meine Idee wäre die folgende:
Es gilt hier:
(I) $f$ ist stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind.
Betrachte zu jedem $x [mm] \in [/mm] A$ eine offene Umgebung [m]U(f(x)) \subset \IR^d[/m] von [m]f(x) \in \IR^d[/m]. Dann ist [mm] $f^{-1}(U(f(x)))$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ eine offene Menge [m]\subset \IR^n[/m] (wegen (I)), welche $x$ enthält. Ich denke, damit kann man weiter argumentieren, weiß aber selber noch nicht genau, wie. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Naja, ist halt Stochastik...
Vielleicht bin ich auch vollkommen auf dem Holzweg; dann zeige man auch mir bitte den richtigen Weg.
Ich schmeiß in Stochastik nämlich einiges durcheinander.
> b) Sei mü ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Sigma-Algebra
> der Borelschen Mengen in [mm]\IR[/mm] und F seine
> Verteilungsfunktion.
> Zu zeigen ist: F ist in einem Punkt x [mm]\in \IR[/mm] genau dann
> stetig, wenn
> mü({x}) = 0 gilt
Da gebe ich dir nur einen Hinweis (der hoffentlich auch stimmt ):
Zunächst überlege dir, dass F stets rechtsstetig ist (d.h. wenn [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine (beliebige) monoton fallende Folge ist mit [m]\limes_{n \to \infty}{x_n}=x[/m], so gilt:
[m]\limes_{n \to \infty}{F(x_n)}=F(x)[/m].)
$F$ ist stetig genau dann, wenn $F$ rechtsstetig und linksstetig ist. Rechtsstetigkeit gilt ja immer. Wenn nun $F$ auch linksstetig ist, so betrachte [m]\mu((-\infty,x][/m] \ [m]\cup_{n \in \IN}{(-\infty,x_n]}[/m]) (das [m]\cup_{n \in \IN}[/m] soll ein Vereinigungszeichen sein!) für eine (beliebige) monoton wachsende Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit [m]x=\limes_{n \to \infty}{x_n}[/m]. Überlege dir, wie das mit [mm] $\mu(\{x\})$ [/mm] zusammenhängt, in dem du die Stetigkeit von unten für Maße ausnutzt! (und denk beim Aufschreiben dran, dass du eine Äquivalenz zu zeigen hast!)
> Was sind denn eigentlich genau die Borelschen Mengen? Ich
> finde überall nur Definitionen für die Borelsche
> Sigma-Algebra! In denen dann ganz selbstverständlich
> vorausgesetzt wird, dass bekannt ist, was die Borelschen
> Mengen sind!
Nun ja, die Borelschen Mengen sind die Elemente der Borel-Sigma-Algebra. Ihr habt doch bestimmt gelernt, dass der Schnitt von beliebigen Sigma-Algebren (über [mm] $\Omega$) [/mm] wieder eine Sigma-Algebra (über [mm] $\Omega$) [/mm] ist.
Hast du nun eine Menge $M$ von Mengen gegeben und bildest den Schnitt aller Sigma-Algebren, die diese Menge $M$ als Teilmenge enthalten (die Potenzmenge $P(M)$ wäre zum Beispiel eine Sigma-Algebra, die $M$ (als Teilmenge) enthält), so erhältst du also wieder eine Sigma-Algebra, nennen wir sie mal $S(M)$.
$S(M)$ ist dann die kleinste Sigma-Algebra, die $M$ enthält!
(D.h. ist $T$ eine Sigma-Algebra mit $M [mm] \subset [/mm] T$, so folgt [m]S(M) \subset T[/m].)
Die Menge $M$, durch die diese Sigma-Algebra $S(M)$ entstanden ist, heißt dann ein Erzeuger der Sigma-Algebra $S(M)$.
Es gibt nun viele Möglichkeiten, die Borel-Sigma-Algebra zu erzeugen. Man kann dies mit (mehrdimensionalen) halboffenen Intervallen machen, grob gesprochen.
Man kann [mm] $\IB^k$ [/mm] (die Borel-Sigma-Algebra über [mm] $\IR^k$) [/mm] auch erzeugen, in dem man [m]O_k:=\{O \subset \IR^k[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, $O$ ist offen$\}$ betrachtet und dann wie eben $S(O_k)$ bildet. Dann gilt:
$S(O_k)=\IB^k$.
Oft ist es nützlich (um nachzuweisen, dass eine Menge eine Borelmenge ist) nachzuweisen, dass die Menge in einem Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist. Ebenso solltest du sofort wissen, dass offene und abgeschlossene Mengen stets Borelmengen sind.
Mehr fällt mir dazu nicht ein. Ich hoffe, es gibt hier nicht allzuviel zu korrigieren...
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Di 22.06.2004 | | Autor: | Mialein |
Hallo Marcel!
Erst mal Danke, für die zügige Bearbeitung meiner Frage.
Ich habe etwas bei deiner Erklärung zu den Borel-Mengen nicht verstanden:
> Oft ist es nützlich (um nachzuweisen, dass eine Menge eine
> Borelmenge ist) nachzuweisen, dass die Menge in einem
> Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist. Ebenso solltest du
> sofort wissen, dass offene und abgeschlossene Mengen stets
> Borelmengen sind.
müssen die Mengen offen UND abgeschlossen sein? Oder reicht eines von beiden?
Und wie zeigt man, dass eine Menge in einem Erzeuger liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mialein,
> Hallo Marcel!
> Erst mal Danke, für die zügige Bearbeitung meiner Frage.
>
> Ich habe etwas bei deiner Erklärung zu den Borel-Mengen
> nicht verstanden:
>
> > Oft ist es nützlich (um nachzuweisen, dass eine Menge
> eine
> > Borelmenge ist) nachzuweisen, dass die Menge in einem
> > Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra ist. Ebenso solltest du
>
> > sofort wissen, dass offene und abgeschlossene Mengen
> stets
> > Borelmengen sind.
>
> müssen die Mengen offen UND abgeschlossen sein? Oder reicht
> eines von beiden?
Sie müssen es nicht sein. Aber wenn du weißt, dass eine Menge offen ist, dann weißt du auch, dass es eine Borelmenge ist.
Ebenso, wenn du weißt, dass eine Menge abgeschlossen ist, dann ist es eine Borelmenge.
Also: eines von beiden reicht!
> Und wie zeigt man, dass eine Menge in einem Erzeuger
> liegt?
Also: erst mal must du ein paar Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra kennenlernen...
Wie man die Frage allgemein beantwortet, weiß ich auch nicht. Aber man "bastelt" sich meist etwas zusammen, und nutzt dann Eigenschaften der Sigma-Algebren aus. Das ist sehr grob und abstrakt, ich weiß...
Das kann ich dir aber so auf die Schnelle leider auch nicht besser beantworten, denn ich muss jetzt weg wegen einer Vorlesung ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]") . Sorry!
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Di 22.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Mia!
> a) Sei $f: [mm] \IR^{n}\to\IR^{d}, [/mm] A:={x [mm] \in \IR^{n}| [/mm] f stetig in x}$
> Zu zeigen ist $A [mm]\in[/mm]$ Sigma-Algebra der Borelschen Mengen in
> [mm]\IR^{n}[/mm]
Okay. Marcel hat es ja im Prinzip schon erklärt. Ich formalisiere es nur noch.
Also, nach Definition der Stetigkeit gilt (das solltest du aber bitte noch formal nachweisen!!):
$A = [mm] \bigcap\limits_{k \in \IN} \bigcup\limits_{x \in \IR^n} B^{(n)}(x)$
[/mm]
wobei [mm] $B^{(n)}(x) \subset \IR^n$ [/mm] eine offene Umgebung von $x$ ist mit [mm] $f(B^{(n)}(x)) \subset B^{(d)}_{\frac{1}{k}}(f(x))$
[/mm]
und
[mm] $B^{(d)}_{\frac{1}{k}}(f(x)) [/mm] = [mm] \{y \in \IR^d \, : \, \Vert f(x) - y \Vert_{\IR^d} < \frac{1}{k}\}$
[/mm]
sind.
Dann ist
[mm] $A_k:=\bigcup\limits_{x \in \IR^n} B^{(n)}(x)$
[/mm]
als Vereinigung offener Mengen offen und somit
$A:= [mm] \bigcap\limits_{k \in \IN} A_k$ [/mm]
als [mm] $G_{\delta}$-Menge [/mm] (also als Durchschnitt offener Mengen) offenbar Borelsch.
Liebe Grüße
Julius
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![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
, nachdem du die Aufgabe formalisiert und vervollständigst hast! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
