Mathe Leistungskurs < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 22:55 Di 04.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
| Aufgabe | Allgemeine Frage:
Welche Themengebiete werden bis zum Abitur behandelt, und in welcher Tiefe werden diese im allgemeinen im Mathe-Leistungskurs behandelt? |
Bis hin zum Abitur helfe ich diversen Schülern in Mathe bei Hausaufgaben und vor Klausuren, und da stelle ich immer wieder extreme Unterschiede fest, was das Niveau der Aufgaben betrifft:
Bei manchen ist das Schwierigste die Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion, und dann wiederum sehe ich hier im Matheforum oft Aufgaben, die weit darüer hinaus gehen, aber unter der Rubrik "Oberstufe" laufen.
Daher meine Frage:
Was wird denn im Abi verlangt? Welche Fähigkeiten sollte der Schüler bis dahin erworben haben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:17 Mi 05.08.2009 | | Autor: | abakus |
> Allgemeine Frage:
>
> Welche Themengebiete werden bis zum Abitur behandelt, und
> in welcher Tiefe werden diese im allgemeinen im
> Mathe-Leistungskurs behandelt?
> Bis hin zum Abitur helfe ich diversen Schülern in Mathe
> bei Hausaufgaben und vor Klausuren, und da stelle ich immer
> wieder extreme Unterschiede fest, was das Niveau der
> Aufgaben betrifft:
>
> Bei manchen ist das Schwierigste die Kurvendiskussion einer
> ganzrationalen Funktion, und dann wiederum sehe ich hier im
> Matheforum oft Aufgaben, die weit darüer hinaus gehen,
> aber unter der Rubrik "Oberstufe" laufen.
>
> Daher meine Frage:
> Was wird denn im Abi verlangt? Welche Fähigkeiten sollte
> der Schüler bis dahin erworben haben?
>
Hallo,
um eine für deine Zwecke sinnvolle Antwort zu erhalten, solltest du konkret nach den Anforderungen DEINES Bundeslandes fragen. Es gibt da zu unterschiedliche Schwerpunktsetzungen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:46 Mi 05.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo rabilein1,
> > Was wird denn im Abi verlangt? Welche Fähigkeiten sollte der Schüler bis dahin erworben haben?
Die Kultusminister haben Rahmen in den "EPA"s (=Einheitliche Abituranforderungen) festgelegt:
http://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/1989/1989_12_01-EPA-Mathe.pdf
Alle Bundesländer haben Bildungsserver, auf denen Lehrpläne, Musteraufgaben und Zentralabi-Aufgaben zur Verfügung gestellt werden, such mal unter "Landesbildungsserver" oder "Bildungsserver" oder "Lernnetz".
Links für Aufgaben erhält man im Dutzend beim Googeln: Zentralabitur Aufgaben. Auch hieraus erkennt man die Anforderungen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mi 05.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Danke, abakus und MatheOldie.
Bei Schülern der Unter- oder Mittelstufe kann ich im allgemeinen ohne große Vorbereitung Nachhilfe geben.
Bei Schülern der Oberstufe dagegen müsste ich schon vorher genau wissen, was da durchgenommen wird und vor allem, in welchem Schwierigkeitsgrad.
Ich habe schon erlebt, dass jemand an mich heran trat mit der Frage "Ich mache in 2 Jahren Abi. Können Sie mir in Mathe helfen?", und derjenige konnte weder 100*10 ohne Taschenrechner rechnen, noch konnte er Bruchrechnen oder wusste, wie man einfache Gleichungen löst.
Andererseits habe ich auch schon Aufgaben gesehen, wo ich dran verzweifelt wäre, wenn ich sie hätte lösen sollen.
Naja, ICH muss sie zwar nicht bis zum Schluss lösen, aber zumindest Tipps geben, WIE man an solche Aufgaben ran geht.
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> Bei manchen ist das Schwierigste die Kurvendiskussion einer
> ganzrationalen Funktion,
Hallo,
aber doch nicht im LK, oder?
> und dann wiederum sehe ich hier im
> Matheforum oft Aufgaben, die weit darüer hinaus gehen,
> aber unter der Rubrik "Oberstufe" laufen.
Hierbei mußt Du allerdings berücksichtigen, daß oftmals Fragen im falschen Forum landen, wahrscheinlich, weil die Fragenden die Einteilung Schule/Hochschule übersehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Mi 05.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
>
> > Bei manchen ist das Schwierigste die Kurvendiskussion einer
> > ganzrationalen Funktion,
>
> aber doch nicht im LK, oder?
Konkret ist folgendes:
Eine Schülerin rief mich an und sagte, dass sie bis zur 10. Klasse immer gut in Mathe gewesen sei und deshalb Leistungskurs gewählt habe.
In der 11. Klasse habe sie dann aber nichts mehr verstanden.
Und nun fragt sie mich, ob ich ihr bis zum Abitur helfen könne.
Bevor ich nun JA oder NEIN sage, müsste ich natürlich wissen, was da dran kommt und vor allem, in welchem Schwierigkeitsgrad.
(Naja, meist wird nichts so heiß gegessen, wie es gekocht wird)
Ich will nur vermeiden, dass - wie es mir ein Mal passiert ist - der Schüler immer nur sagt: "Das weiß ich ja alles" (Das war allerdings mal bei einem Leistungskurs Physik)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Mi 05.08.2009 | | Autor: | statler |
Hi,
die Phänomene, die du schilderst, kenne ich zur Genüge. Generell ist hier in HH festzustellen, daß trotz Zentralabitur und schöner Richtlinien für alles und jedes die Unterschiede zwischen den Schulen und innerhalb der Schulen zwischen den Lehrern gewaltig sein können. Der eine macht überhaupt keine Stochastik, und der andere geht bis zu einseitigen Tests.
Meine Hauptklage ist, daß die Rahmenrichtlinien die sprachliche und schriftliche Ausdrucksfähigkeit zwingend fordern, ich aber bisher noch keinen Fall getroffen habe, wo das gelehrt und umgesetzt wurde.
Bzgl. deiner neuen Schülerin würde ich sagen: Mach eine Probesitzung mit ihr, dann kannst du dir selbst die Karten legen. Wenn die Chemie stimmt, ist schon viel gewonnen. Wenn nicht, ist das sowieso nur Stress und bringt nix.
Außerdem hast du doch für Rückfragen den Matheraum!
Gruß aus der Frohen und Hansestadt Hamburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Do 06.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Danke statler
> Generell ist hier in HH festzustellen, daß ...
> die Unterschiede zwischen den Schulen und innerhalb der
> Schulen zwischen den Lehrern gewaltig sein können.
Genau dasselbe habe ich auch hier in Bremen festgestellt.
Früher war so etwas ja auch ganz normal, aber wegen "Zentralabitur" wundert mich das nun doch.
Wobei mir immer wieder versichert wird: Mehr als das-und-das kommt im Abi nicht dran. Also hat scheinbar doch nicht jede Schule "Zentralabitur".
> Bzgl. deiner neuen Schülerin würde ich sagen: Mach eine
> Probesitzung mit ihr, dann kannst du dir selbst die Karten
> legen. Wenn die Chemie stimmt, ist schon viel gewonnen.
> Wenn nicht, ist das sowieso nur Stress und bringt nix.
Genau so hatte ich das auch vor. Bei Abi-Schülern ist schon wichtig, dass sie mir einige Tage vor dem Unterricht ganz konkret das Thema (inklusive Unter-Themen) sagen.
> Außerdem hast du doch für Rückfragen den Matheraum!
Genau. Wenn ich das Thema kenne, und auch meine schlauen Bücher nichts hergeben sollten, dann bleibt immer noch diese Möglichkeit.
Apropos Bücher: Da habe ich neulich eines gesehen über "Leistungskurs-Analysis". Ich hab's nur flüchtig durchgeblättert. Da waren Aufgaben drin... Heidewitzka... (Glücklicherweise mit Lösungen und Erklärungen). Ich fand die Aufgaben hammerhart und habe mich nur gewundert, wie Schüler das schaffen sollen.
Ich meine: Wenn man "unendlich viel Zeit" hat, dann wird man die Lösungen bestimmt irgendwie und irgendwann finden. Aber dann steht da: "Soundsoviel Zeit pro Aufgabe". Das heißt: Man muss quasi sofort den Ansatz erkennen bzw. wissen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Do 06.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
> Apropos Bücher: Da habe ich neulich eines gesehen über "Leistungskurs-Analysis". ... Ich fand die Aufgaben hammerhart und habe mich nur gewundert, wie Schüler das schaffen sollen.
Hallo, poste doch mal 2..3 Beispiele dieser "hammerharten" Aufgaben, dann kann man konkreter Stellung nehmen. Welches Buch war es?
Wenn man von Leistungskursen redet, darf man nicht übersehen, dass dort 5-stündig für in der Regel motivierte Schüler unterrichtet wird, da schafft man einiges an Inhalten, Methoden und Lösungsroutinen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 06.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
> > Apropos Bücher: Da habe ich neulich eines gesehen über
> "Leistungskurs-Analysis". ... Ich fand die Aufgaben
> hammerhart und habe mich nur gewundert, wie Schüler das
> schaffen sollen.
Das kenne ich auch.Ich hab auch ein Buch in dem Übungsaufgaben sind und die sind teilweise so schwer.Aufgaben eines solchen Schwierigkeitsgrades hatten wir in der Schule nie durchgenommen.
> Hallo, poste doch mal 2..3 Beispiele dieser "hammerharten"
> Aufgaben, dann kann man konkreter Stellung nehmen. Welches
> Buch war es?
> Wenn man von Leistungskursen redet, darf man nicht
> übersehen, dass dort 5-stündig für in der Regel
> motivierte Schüler unterrichtet wird, da schafft man
> einiges an Inhalten, Methoden und Lösungsroutinen.
Das stimmt.Wir hatten in der 12 sogar den Leistungkurs 6-stündig die Woche.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Do 06.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Hallo, poste doch mal 2..3 Beispiele dieser "hammerharten"
> Aufgaben, dann kann man konkreter Stellung nehmen.
Tue ich gerne:
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=4xe^{x}
[/mm]
Die negative x-Halbachse und ein Stück der Kurve k sind Ränder eines im 3. Quadranten liegenden "nach links" nicht begrenzten Flächenstückes.
Kann man diesem einen Flächeninhalt zuweisen?
Rotiert dieses Flächenstück um die x-Achse, so entsteht ein "nicht begrenzter" Drehkörper.
Kann man diesem ein Volumen zuweisen?
Anderes Beispiel:
Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=1-\bruch{2}{x}-\bruch{3}{x^{2}}
[/mm]
Wir betrachten die Menge aller Tangenten der Kurve k. Welche Tangenten gehen durch den Punkt P(0/1)?
Auf, auf, Mathe-Leistungskurs-Teilnehmer aller Länder vereinigt euch zum Lösen dieser Aufgaben.
Ach nein: Jeder für sich, und Gott für uns alle.
Oder denke nur ich, dass die Aufgaben hammerhart sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:33 Fr 07.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=4xe^{x}[/mm]
>
> Die negative x-Halbachse und ein Stück der Kurve k sind
> Ränder eines im 3. Quadranten liegenden "nach links" nicht
> begrenzten Flächenstückes.
> Kann man diesem einen Flächeninhalt zuweisen?
> Rotiert dieses Flächenstück um die x-Achse, so entsteht
> ein "nicht begrenzter" Drehkörper.
> Kann man diesem ein Volumen zuweisen?
Dies ist eine Standardaufgabe für einen LK und gehört sowohl vom Funktionstyp als auch von den erforderlichen Methoden nicht zu den schweren dort behandelten Aufgaben, sie liegt etwa im mittleren Bereich. In den Übungssammlungen zum Abitur findet man viele Aufgaben zu den Funktionstypen [mm]f(x)=xe^{x}[/mm], [mm]f(x)=x^2e^{x}[/mm] oder diesen Termen im Nenner.
> Anderes Beispiel:
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(x)=1-\bruch{2}{x}-\bruch{3}{x^{2}}[/mm]
>
> Wir betrachten die Menge aller Tangenten der Kurve k.
> Welche Tangenten gehen durch den Punkt P(0/1)?
Ist ebenfalls keine "hammerharte" Aufgabe für einen LK.
MfG
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> Oder denke nur ich, dass die Aufgaben hammerhart sind?
Hallo,
ich würde beide Aufgaben (für den LK) nicht als hammerhart bezeichnen.
Bedenken muß man ja auch, daß man für die Klausurnote "befriedigend" nicht alles können muß.
Man braucht bei den beiden Aufgaben weder Tricks noch ein besonders gutes Vorstellungsvermögen, keine sponatanen Erleuchtungen - den Stoff, der behandelt wurde, muß man verstanden haben und die Verfahren können.
> Tue ich gerne:
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=4xe^{x}[/mm]
>
> Die negative x-Halbachse und ein Stück der Kurve k sind
> Ränder eines im 3. Quadranten liegenden "nach links" nicht
> begrenzten Flächenstückes.
> Kann man diesem einen Flächeninhalt zuweisen?
>
> Rotiert dieses Flächenstück um die x-Achse, so entsteht
> ein "nicht begrenzter" Drehkörper.
> Kann man diesem ein Volumen zuweisen?
Der Auftrag "berechne [mm] \integral [/mm] blabla" wäre natürlich mit weniger Verständnis auszuführen als diese Aufgabenstellung.
Ich gehe davon aus, daß im Unterricht Integrale mit den Grenzen [mm] \pm\infty [/mm] behandelt wurden.
Man muß für diese Aufgabe erstmal wissen, daß Integrale etwas mit dem Flächeninhalt zu tun haben, man muß wissen, was man mit [mm] \infty-Grenzen [/mm] macht.
Man muß einschlägige Integrationsverfahren kennen und einen Grenzwert ausrechnen.
Bei der Berechnung des Grenzwertes mit der Regel v. Hospital braucht man einen Standardtrick - welcher aber gewiß im Zusammenhang mit der Regel besprochen wurde.
Für die nächste Frage muß man wissen, wie man zum Rotationsvolumen kommt. Auch dies muß man nicht in der Klausur erfinden, sondern es ist Schulstoff, zumindest bei meinen Kindern.
> Anderes Beispiel:
> Gegeben ist die Funktion
> [mm]f(x)=1-\bruch{2}{x}-\bruch{3}{x^{2}}[/mm]
>
> Wir betrachten die Menge aller Tangenten der Kurve k.
> Welche Tangenten gehen durch den Punkt P(0/1)?
Klar ist diese Aufgabe schwieriger als die Beantwortung der Frage nach der Steigung bzw. der Tangente an der Stelle x=7.
Aber auch dies ist in meinen Augen für einen Schüler, der im Unterricht alles gut verstanden hat, machbar.
Dieser Schüler weiß, daß die Punkte (a/ f(a) ) auf der Kurve K liegen - hiermit liegt auch schon die echte Denkarbeit hinter ihm...
Er kann die Tangentensteigung im Punkt (a/ f(a)) berechnen.
Da er bereits in der Mittelstufe aufgepaßt hat, kann er aus der Steigung und einen gegebenen Punkt die Gleichung der entsprechenden Geraden errechnen, damit hat er die Tangente im Punkt (a,f(a)).
Nun muß er doch nur noch ausrechnen, für welche a der Punkt (0/1) auf der Geraden liegt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Fr 07.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Du hast das alles gut erklärt, Angela, und jeder einzelne Schritt für sich ist ja auch irgendwie nachvollziehbar.
Vielleicht ist es einfach nur die Routine, die alles ausmacht.
Bereits ein Kindergartenkind kann innerhalb von Bruchteilen von Sekunden die richtigen Endungen findet in dem Satz: "Du spiel* mit dein* groß* Bruder auf d* grün* Wiese"
So einen Test müssen ausländische Mitbürger machen, die schon Jahre lang in Deutschland leben und hier eingebürgert werden wollen. Und die haben damit echte Probleme, obwohl sie ansonsten alles gut verstehen und sich verständlich machen können.
Und wenn jemand den ganzen Tag nichts anderes macht als e-Funktion und Ableitungen (inklusive Ketten- und Quotientenregel) und Integrale mit Substitution bis ins Undendliche..., dann mag das von einem bestimmten Zeitpunkt an alles kindergartenleicht fallen. Das stimmt schon.
Ohne diese Routine geht es einem dann jedoch wie dem ausländischen Mitbürger vor dem Einbürgerungstest. Und das ist dann hammerhart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 09.08.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo^^
Da möcht ich doch nochmal meinen Senf dazu geben.Was haltet ihr von folgenden Aufgaben,meint ihr,die sind wirklich "hammerhart" oder kommt es hierbei auch nur auf die Routine an?Ich finde die Funktionsterme bei diesen Aufgaben wirklich kompliziert,in der Schule haben wir viel einfachere durchgenommen.
1. Gegeben; [mm] f(x)=3*\wurzel{2-ln(|x^{2}-e^{2}|)}
[/mm]
Bestimme [mm] \limes_{x\rightarrow\0\pm0} [/mm] f'(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow\e*\wurzel{2}-0} [/mm] f'(x).
2.Gegeben; [mm] f(x)=6*e^{x}*\wurzel[3]{(1-e^{x})^{2}}
[/mm]
F(t) sei die Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der x-Achse und der Geraden x=0 und x=t<0 eingeschlossen wird.Untersuche, ob [mm] \limes_{t\rightarrow\-infty} [/mm] F(t) existiert und berechne ihn gegebenfalls.
Diese Aufgaben sind aus demBuch "Mathematik Abi-Countdown Analysis Leistungskurs" von Georg Bickl.
Ich finde aber,dass solche Aufgaben auch für den Leistungskurs zu schwer sind.Was haltet ihr davon?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 So 09.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh bei beiden aufgaben keine besondere Schwierigkeit, wenn man stur nach Kettenregel differenzierne kann bei der ersten und wenn man gut diif. kann sieht man die stammfkt der zweiten auch sofort.
Ausserdem kann man bei so Integralen etwa davon ausgehen, dass sie nicht schwer sind -eben weil es Schulststoff ist-.
Geschickte nachhilfelehrer zeigen etwa so einfach Sachen wie :
[mm] (f^r(x))'=(r-1)f^{r-1}*f' [/mm] mit Spezialfaellen r=2 und r=1/2 kommt das am haeufigsten.
dann ist das Integral bis auf Zahlenfaktoren klar.
(und man substituiert nicht ewig rum)
In die selbe kategorie gehoert (ln(f(x))'
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Im Gegensatz zu leduart halte ich die Aufgaben schon für hammerhart. Der Grund liegt jedoch - und da sind wir wieder beim alten Thema - der (mangelnden) Routine.
Man betrachte nur einmal den Umfang einer mathematischen Formelsammlung. Diese ist zwar hilfreich, damit man nicht alle Formeln im Detail auswendig lernen muss.
Ohne die Routine - wann man überhaupt welche Formel anwenden muss - nützt einem die Formelsammlung aber wenig.
Was ist z.B. [mm] ln(e^{x}) [/mm] ?
Ein Routinier sieht das vielleicht auf den ersten Blick.
Ansonsten wird man Schritt für Schritt nach dem Regelwerk vorgehen, das man einer Formelsammlung entnehmen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mo 10.08.2009 | | Autor: | statler |
> Was ist z.B. [mm]ln(e^{x})[/mm] ?
> Ein Routinier sieht das vielleicht auf den ersten Blick.
... das sollte man auch sehen, ohne ein Routinier zu sein. Aber selbst wenn nicht, wie kommt man der Sache bei? Indem man sich ins Gedächtnis ruft, was ein Logarithmus (Mittelstufenstoff!) und speziell der natürliche Logarithmus (Oberstufe) überhaupt ist.
Zum schwachen Trost: In kenne Leute, die auf Lehramt studieren und das auch nicht wissen. Die sprechen dann von einem mörder Problem.
Wegen der Verfügbarkeit von Taschenrechnern ist das Wissen um die Logarithmen leider nur noch bei Insidern vorhanden.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Zum schwachen Trost: In kenne Leute, die auf Lehramt
> studieren und das auch nicht wissen. Die sprechen dann von
> einem mörder Problem.
Routine heißt ja, dass man etwas weiß, weil man täglich damit zu tun hat.
Und ich weiß nicht, ob Lehramts-Studenten täglich mit e-Funktionen und Logarithmen zu tun haben.
Den Fehler, den wir alle machen, ist der, von sich auf andere zu schließen: "Was ich kann, weiß und sehe, das muss auch allen anderen leicht fallen."
Man mache folgendes Experiment:
Man nehme dem Schüler seinen Taschenrechner ab, und der Schüler soll innerhalb einer Minute sagen, was bei folgender Aufgabe raus kommt:
(483 * 839) : 483
Dann werden die meisten sagen "Ohne Taschenrechner kann ich das nicht so schnell rechnen"
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> Man mache folgendes Experiment:
> Man nehme dem Schüler seinen Taschenrechner ab, und der
> Schüler soll innerhalb einer Minute sagen, was bei
> folgender Aufgabe raus kommt:
>
> (483 * 839) : 483
>
> Dann werden die meisten sagen "Ohne Taschenrechner kann ich
> das nicht so schnell rechnen"
Wenn es wirklich so sein sollte (was ich nicht hoffe)
dass tatsächlich die meisten, sagen wir mehr als die
Hälfte der Schüler vor einer solchen Frage kapitulieren
würden, so stünde es tatsächlich sehr bös um unseren
Mathe-Unterricht, und die Diagnose müsste lauten,
dass er schwer krank ist und wohl am besten ausge-
merzt und durch ein ganz anderes System ersetzt
werden müsste. Wenn nach jahrelangem Umgang mit den
Rechenoperationen deren Sinn und grundsätzliche
Bedeutung nur einer Minderheit der Schüler klar ge-
worden ist, bedeutet dies, dass wir wohl etwas ganz
Wichtiges grundfalsch machen, und man kommt unter
Umständen zu sarkastischen Aussagen wie etwa in
dem von Leduart genannten Artikel:
http://www.maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf
Ich möchte nicht gerne behaupten müssen, eigentlich
seien wohl alle Bemühungen um "Chancengleichheit"
und "Allgemeinbildung" einschliesslich einer gewissen
mathematischen Kompetenz für einen beachtlichen
Anteil der Jugendlichen für die Katz.
Auch Paul Lockhart hat nicht kapituliert. Nach seiner
Lehrtätigkeit an einer Universität unterrichtet er
an einer berühmten Privatschule - allerdings an einer,
die offenbar nicht nur ihre Lehrer, sondern auch
ihre Schüler ein Stück weit selber auswählen kann ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> >
> > Was ist (483 * 839) : 483 ?? Ohne Taschenrechner !!
> Wenn es wirklich so sein sollte (was ich nicht hoffe),
> dass tatsächlich die meisten, sagen wir mehr als die
> Hälfte der Schüler, vor einer solchen Frage kapitulieren ....
Ich habe keine umfangreichen Studien durchgeführt, wie viel Prozent aller Schüler hier kapitulieren.
Die praktischen Erfahrungen mit knapp einem Dutzend Schüler, denen ich im Einzel-Unterricht eine solche Aufgabe (mit Zahlen im Ein-mal-Eins-Bereich) gestellt habe, zeigt, dass es am Verständnis fehlt. Sofern sich der Schüler in der Zwischenzeit nicht verrechnet hatte, kam am Ende immer das große Erstaunen.
Wie groß muss das Erstaunen dann erst sein bei [mm] ln(e^{x})=x [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mo 10.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo rabilein1,
> Wie groß muss das Erstaunen dann erst sein bei [mm]ln(e^{x})=x[/mm]
> ?
Ich möchte noch einmal daran erinnern, dass deine Ausgangsfrage in Richtung Abitur im Leistungskurs zielte. Diese Schüler
* sind interessiert/ motiviert und in der Regel gut vorgebildet
* haben Routine durch 5 Stunden Unterricht
* sollen und wollen(!) auf gutem Niveau unterrichtet werden, weil viele von ihnen später in mathemat./ naturwissenschaftliche/ Ing-Richtung / Medizin ... gehen möchten.
Du hast möglicherweise zu wenig Einblick, was unter solchen Umständen im Unterricht möglich und ohne große Probleme machbar ist.
Die Frage, wie viel ein falsch eingesetzter TR an mathematischer und Kopfrechenfähigkeit zerstört, steht auf einem anderen Blatt.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich möchte noch einmal daran erinnern, dass deine
> Ausgangsfrage in Richtung Abitur im Leistungskurs zielte.
Sorry, dass ich vom Ursprungs-Thema abgewichen bin.
Es geht mir im Kern schon um Mathe in der Oberstufe.
Mit "Leistungskurs" und den von dir angesprochenen Kriterien (gut vorgebildet und motiviert etc.) habe ich bisher keine Erfahrungen.
Ich habe jetzt allerdings zwei Schülerinnen, die "Mathe-Leistungskurs" gewählt haben (sei es aus Mangel an Alternativen oder was-auch-immer), und dann wollte ich halt wissen, was da so auf einen zukommt.
Und da hatte ich dann entsprechende Bücher durchgeblättert und war über die Aufgaben darin ziemlich "erschrocken".
Andererseits = nach meinem Abitur hatte ich mich rund 30 Jahre überhaupt nicht mehr mit Mathe beschäftigt. Als ich dann arbeitslos wurde, wollte ich nicht nur tatenlos zu Hause rumsitzen und dachte deshalb, dass ich ja Kindern Nachhilfe geben könnte.
Da habe ich dann erst mal gemerkt, dass mir selbst der Stoff der 9. Klasse schwer fiel, weil so etwas "später im Leben" gar nicht mehr vorkommt. Aber die Schüler hatten grundsätzliche Probleme mit dem Erkennen von Zusammenhängen - daher brachte ich auch das Beispiel mit dem (a*b):a - und so etwas kann ich schon ganz gut erklären. Im Schulunterricht wird so etwas vielen nicht klar, und das fällt dem Lehrer an der Tafel nicht auf.
Inzwischen habe ich den Stoff wieder ganz gut drauf, allerdings - siehe oben - mit "Leistungskurs" habe ich gar keine Erfahrung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 11.08.2009 | | Autor: | informix |
Hallo rabilein1,
> > Ich möchte noch einmal daran erinnern, dass deine
> > Ausgangsfrage in Richtung Abitur im Leistungskurs zielte.
>
> Sorry, dass ich vom Ursprungs-Thema abgewichen bin.
>
> Es geht mir im Kern schon um Mathe in der Oberstufe.
> Mit "Leistungskurs" und den von dir angesprochenen
> Kriterien (gut vorgebildet und motiviert etc.) habe ich
> bisher keine Erfahrungen.
>
> Ich habe jetzt allerdings zwei Schülerinnen, die
> "Mathe-Leistungskurs" gewählt haben (sei es aus Mangel an
> Alternativen oder was-auch-immer), und dann wollte ich halt
> wissen, was da so auf einen zukommt.
>
[..]
> Inzwischen habe ich den Stoff wieder ganz gut drauf,
> allerdings - siehe oben - mit "Leistungskurs" habe ich gar
> keine Erfahrung.
>
kein Wunder, die wenigsten LK'ler benötigen solche Hilfe...
Aber natürlich, ich kenne auch SchülerInnen, die keine andere Wahl hatten, als in Mathe-LK zu gehen und sich dann entsprechend schwer tun. Das sind dann natürlich nicht die typischen LK-ler.
Denen hilft nur: üben, üben, üben ...
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Mi 12.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > ... - mit "Leistungskurs" habe ich gar keine Erfahrung.
> >
> kein Wunder, die wenigsten LK'ler benötigen solche Hilfe...
Da triffst du den Nagel auf den Kopf.
Die Kinder fragen nur in den Fächern Nachhilfe nach, in denen sie nicht so gut sind.
Ich gebe auch Nachhilfe in Englisch und Französisch. Und wenn ich einen Mathe-Schüler frage, ob ich ihm auch in Englisch helfen kann - oder einen Französisch-Schüler frage, ob ich ich ihm auch Mathe erklären soll, dann bekomme ich jedes Mal zur Antwort, dass das nicht nötig sei, da er in den Fächern gut sei.
Einzige Ausnahme war mal eine Mutter, die bei mir anrief und sagte: "Mein Sohn ist sehr intelligent und steht in allen Fächern auf Eins. Aber wegen eines Violin-Konzertes, das er auswärts gegeben hat, hat er jetzt eine Woche den Mathe-Unterricht versäumt ..."
Auch hier konnte ich helfen, was der Junge mit den Worten "Jetzt bin ich aufgeklärt" quittierte.
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> Was ist z.B. [mm]ln(e^{x})[/mm] ?
> Ein Routinier sieht das vielleicht auf den ersten Blick.
> Ansonsten wird man Schritt für Schritt nach dem Regelwerk
> vorgehen, das man einer Formelsammlung entnehmen kann.
Hallo rabilein,
dass [mm] ln(e^x)=x [/mm] ist, und andererseits auch
[mm] e^{ln(a)}=a [/mm] (falls a>0) , müsste eigentlich schon
jeder wissen (und nicht einer Formelsammlung
entnehmen müssen), der sich überhaupt mit der
Definition des natürlichen Logarithmus befasst
hat. Wenn man die elementaren Definitionen
und Regeln nicht intus hat (und dazu gehört,
wie du sagst, auch ein Minimum an Übung und
Routine), wird Mathematik zwangsläufig zu
einer mühseligen Angelegenheit. Was würde
man von einem Handwerker halten, der stets
in einem Handbuch nachschlagen müsste, ob
für eine bestimmte Verrichtung nun ein Hammer,
eine Zange oder ein Schraubenzieher notwendig
sei ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Al-Chwarizmi, genau das meinte ich:
Falls man mit etwas stets und ständig zu tun hat, dann muss man nicht erst jedes Mal neu darüber nachdenken.
Falls man dagegen nur gelegentlich mit etwas zu tun hat, dann wird es in diesen (eher seltenen) Fällen zwangsläufig zu einer mühseligen Angelegenheit - bzw. man muss dann Schritt für Schritt alles nachlesen und konstruieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Do 06.08.2009 | | Autor: | informix |
Hallo rabilein1,
> Danke statler
>
> > Generell ist hier in HH festzustellen, daß ...
> > die Unterschiede zwischen den Schulen und innerhalb der
> > Schulen zwischen den Lehrern gewaltig sein können.
>
> Genau dasselbe habe ich auch hier in Bremen festgestellt.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) http://www.bildung.bremen.de/sixcms/detail.php?gsid=bremen117.c.23883.de
> Früher war so etwas ja auch ganz normal, aber wegen
> "Zentralabitur" wundert mich das nun doch.
> Wobei mir immer wieder versichert wird: Mehr als
> das-und-das kommt im Abi nicht dran. Also hat scheinbar
> doch nicht jede Schule "Zentralabitur".
Das sind die Aussagen von Schülern, die hoffen, dass das so zutrifft.
Man kann in komplexen Aufgaben so viel Teilaspekte von anderen Aufgaben "verstecken", dass die Schüler es nicht sogleich überblicken.
Also: die Aussagen der Schüler sind nicht sehr zielführend.
>
> > Bzgl. deiner neuen Schülerin würde ich sagen: Mach eine
> > Probesitzung mit ihr, dann kannst du dir selbst die Karten
> > legen. Wenn die Chemie stimmt, ist schon viel gewonnen.
> > Wenn nicht, ist das sowieso nur Stress und bringt nix.
>
> Genau so hatte ich das auch vor. Bei Abi-Schülern ist
> schon wichtig, dass sie mir einige Tage vor dem Unterricht
> ganz konkret das Thema (inklusive Unter-Themen) sagen.
>
> > Außerdem hast du doch für Rückfragen den Matheraum!
>
> Genau. Wenn ich das Thema kenne, und auch meine schlauen
> Bücher nichts hergeben sollten, dann bleibt immer noch
> diese Möglichkeit.
>
> Apropos Bücher: Da habe ich neulich eines gesehen über
> "Leistungskurs-Analysis". Ich hab's nur flüchtig
> durchgeblättert. Da waren Aufgaben drin... Heidewitzka...
> (Glücklicherweise mit Lösungen und Erklärungen). Ich
> fand die Aufgaben hammerhart und habe mich nur gewundert,
> wie Schüler das schaffen sollen.
Wenn dies das eingeführte Buch ist, ist es ein hervorragender Ausgangspunkt zum Üben.
Aber es muss wirklich in dem betreffenden LK eingeführt sein, sonst machst du die Schüler unnötig nervös.
> Ich meine: Wenn man "unendlich viel Zeit" hat, dann wird
> man die Lösungen bestimmt irgendwie und irgendwann finden.
> Aber dann steht da: "Soundsoviel Zeit pro Aufgabe". Das
> heißt: Man muss quasi sofort den Ansatz erkennen bzw.
> wissen.
nun ja, das sind Richtwerte; es kann ja auch sein, dass man die eine Aufgabe schnell lösen kann und so Zeit für eine andere gewinnt.
Aber letztendlich gilt immer noch und vor allem in Prüfungen: "Leistung=Arbeit pro Zeit"
Das Allerwichtigste ist, dass die Schüler lernen, den Text der Aufgabe genau zu erfassen, die Grundlagen beherrschen, also nicht auswendig Kochrezepte nachvollziehen können, sondern wissen was sei bei jedem Schritt machen, und Mut zum Anfagen haben; manche Lösungen ergeben sich auch erst bei den ersten Schritten.
In heutigen Aufgaben wird glegentlich nämlich auch gefragt:
erläutern Sie die nachfolgende Rechnung - nehmen Sie dazu Stellung - setzen Sie die Rechnung fort ...
Da muss also das Verständnis vorhanden sein und wird abgefragt.
Allgemein: Informationen der  Kultusministerien zum Gymnasium und Abitur
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mo 10.08.2009 | | Autor: | Herby |
Hi Ihr,
welchen Stoff welcher Lehrer durchzieht lässt sich leider gar nicht anhand des Lehrplans genau sagen und wer welchen Schwerpunkt setzt schon überhaupt nicht. Meine Tochter hatte letztes Jahr beispielsweise keine Wahrscheinlichkeitsrechnung, obwohl im Lehrplan vorgesehen, mit der Begründung: Das würde ein Jahr später auch kommen und dann könne man es vertieft angehen. Große Preisfrage: Welcher Part würde dann wohl in das darauf folgende Jahr verschoben (lassen wir uns überraschen). Öhm, und was passiert bei einem Lehrerwechsel?? Egal, notfalls müssen Eltern und Nachhilfelehrer ran.  Viel Spaß!
Dass Schüler in Mathe nicht auf ihrem Niveau sind, liegt meiner Meinung aber auch daran, dass viel zu viel verschiedenartige Klamotten gemacht werden und alles nur schnell, schnell und halbherzig. Vor den großen Ferien gibt es dann innerhalb von zwei Wochen drei Arbeiten - sehr sinnreich. Warum stützt man sich nicht auf konkrete praxisgerechte Themen und erklärt anhand diesen, wie das Leben funktioniert. Wenn ich Lehrer wäre, dann würde die erste Mathearbeit in der weiterführenden Schule aus einer einzigen Frage bestehen:
Was ist eine Zahl? - Was sind Zahlen?
Weitere Mathearbeiten könnten lauten:
Erkläre den Begriff: Funktion
Erkläre den Begriff: Menge
Was verstehst du unter: Differentiation?
Was verstehst du unter: Integration?
Was versteht man unter einer Verallgemeinerung?
Das alles mit selbst gewählten Beispielen und ausführlich.
Aber das Dilemma fängt leider schon in der Grundschule an. Ein kleines Kind weiß, was -5°C bedeutet, aber kann in der 4.Klasse noch nicht 3-7=... rechnen.
Fazit: Lieber Ralph - bring' den Kindern Mathe bei und nichts anderes.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mo 10.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Meine Tochter hatte letztes Jahr beispielsweise keine
> Wahrscheinlichkeitsrechnung, obwohl im Lehrplan vorgesehen,
Wahrscheinlichkeitsrechnung ist aber so ein Thema für sich.
Da haben Schüler der 6. KLasse genau die selben Aufgaben wie andere Schüler der 11. Klasse.
Und Großen verstehen das auch nicht besser als die Kleinen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Fr 14.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Nun ist genau so etwas eingetroffen, was ich befürchtet hatte.
Frage:
Wie groß ist die Fläche unter der Kurve f(x)= [mm] x^{2} [/mm] von 0 bis 4 ?
Mit Hilfe der Integralrechnung würde ich das ja lösen können.
F= [mm] \integral_{0}^{4}{x^{2} dx} [/mm] und das kann ich berechnen.
Aber der Schüler sollte das mit "Obergrenze und Untergrenze" machen und Limes gegen Unendlich.
Und dann war da noch so eine Formel gegeben - bzw. die wurde irgendwie entwickelt:
[mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{2} [/mm] + ... [mm] n^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
Der Schüler hatte ohne irgendwelchen textlichen Erklärungen alles von der Tafel abgeschrieben, und dann war es sehr schwer, irgendwelche Zusammenhänge zu verstehen. Einerseits die "Fläche", andererseits die Addition von numerischen Quadraten ... und das dann alles unter einen Hut kriegen.
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> Nun ist genau so etwas eingetroffen, was ich befürchtet
> hatte.
>
> Frage:
>
> Wie groß ist die Fläche unter der Kurve f(x)= [mm]x^{2}[/mm] von 0 bis 4
>
> Mit Hilfe der Integralrechnung würde ich das ja lösen
> können.
>
> F= [mm]\integral_{0}^{4}{x^{2} dx}[/mm] und das kann ich
> berechnen.
>
> Aber der Schüler sollte das mit "Obergrenze und
> Untergrenze" machen und Limes gegen Unendlich.
Oft wird als Einführung des Integralbegriffs der
Weg über die Riemannschen Ober- und Untersummen
gewählt, bevor dann mit dem Hauptsatz der
"einfachere" Weg mittels Stammfunktion begründet
wird.
> Und dann war da noch so eine Formel gegeben - bzw. die
> wurde irgendwie entwickelt:
>
> [mm]1^{2}+2^{2} +3^{2}+\, ... \,n^{2}\ =\ \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
Möglicherweise wurde diese Formel ein paar Wochen
oder Monate früher im Rahmen des Themas "vollstän-
dige Induktion" hergeleitet.
> Der Schüler hatte ohne irgendwelchen textlichen
> Erklärungen alles von der Tafel abgeschrieben, und dann
> war es sehr schwer, irgendwelche Zusammenhänge zu
> verstehen.
Ich kann mir allerdings nur schwer vorstellen, dass
diese Aufgabe einfach so gestellt wurde, ohne dass
vorgängig die Idee mit den Unter- und Obersummen
erläutert wurde.
Dass der Schüler sich darum kümmern muss, voll-
ständige Unterlagen und Notizen in den Nachhilfe-
unterricht mitzubringen, sollte eigentlich selbstver-
ständlich sein.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Fr 14.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> >
> > [mm]1^{2}+2^{2} +3^{2}+\, ... \,n^{2}\ =\ \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
>
> Möglicherweise wurde diese Formel ein paar Wochen
> oder Monate früher im Rahmen des Themas "vollstän-
> dige Induktion" hergeleitet.
Nein, nicht ein paar Wochen oder Monate vorher, sondern alles am selben Tag - am ersten Tag im neuen Schuljahr bei einem neuen Lehrer.
Da geht dann alles Knall auf Fall.
Meine Frage ist:
Wie wichtig ist es für den Schüler, diese ganzen "Beweise" so datailgenau zu verstehen?
Am Ende muss man doch nur wissen, .... dass die Erde rund ist.
Ob das nun Kopernikus raus gefunden hat oder Galilei oder Gauss oder Einstein oder wer-auch-immer. Spielt das wirklich eine sooooo große Rolle ???
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Hallo rabilein,
> > > [mm]1^{2}+2^{2} +3^{2}+\, ... \,n^{2}\ =\ \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
> > Möglicherweise wurde diese Formel ein paar Wochen
> > oder Monate früher im Rahmen des Themas "vollstän-
> > dige Induktion" hergeleitet.
>
> Nein, nicht ein paar Wochen oder Monate vorher, sondern
> alles am selben Tag - am ersten Tag im neuen Schuljahr bei
> einem neuen Lehrer.
> Da geht dann alles Knall auf Fall.
Aha, verstehe. Das war dann möglicherweise der
"neue-Besen-Effekt", den der Lehrer vor seiner
neuen Klasse gleich in der ersten Lektion (oder
Doppelstunde) vorführen wollte. Gleich zu Beginn
klar machen, dass jetzt möglicherweise ein neuer
Wind weht. Wenn es gelingt, damit eine Klasse aus
einer vorher vielleicht etwas lethargischen Gangart
zu reissen und neu zu motivieren, ist das super.
Wenn es aber zu schnell und etwas über die Köpfe
weg geschieht, kann es auch schief gehen. Dann
wäre es aber auch wichtig, dass die Schüler nicht
vorschnell urteilen. Menschen in Interaktion müssen
einander gegenseitig Chancen offenhalten, damit
die Zusammenarbeit funktioniert.
> Meine Frage ist:
> Wie wichtig ist es für den Schüler, diese ganzen
> "Beweise" so detailgenau zu verstehen?
> Spielt das wirklich eine sooooo große Rolle ???
Die Schulmathematik hat sich in den letzten
Jahrzehnten eher ein Stück weit von dem früheren
Muster strikter Beweise gelöst. Nach wie vor haben
aber Beweise in der Mathematik eine wichtige Rolle.
Meine Ansicht ist die, dass eine Reihe von zentralen
Beweisen durchaus in den Oberstufenstoff gehören.
Und diese sollten dann nicht nur so ungefähr, sondern
wirklich mit einer angemessenen Strenge besprochen
werden. Wenn das dann auch nur soso-lala gemacht
wird, taugt es eigentlich überhaupt nichts.
> Am Ende muss man doch nur wissen, .... dass die
> Erde rund ist.
> Ob das nun Kopernikus raus gefunden hat oder Galilei oder
> Gauss oder Einstein oder wer-auch-immer.
Eigentlich war das schon einer Reihe von Denkern
des Altertums geläufig.
Bei diesem Beispiel wäre mir noch wichtiger, zu
sehen, dass die Erde nur eines von vielen Beispielen
von (kugel-)runden Körpern ist. Auch der Mond, die
anderen Planeten und ihre großen Monde, die Sonne
und die anderen Sterne sind in der Regel fast exakte
Kugeln (allenfalls leicht ellipsoid). Regentropfen und
manche Mikroorganismen sind (allerdings aus anderen
Gründen) ebenfalls praktisch kugelförmig. Viel wesent-
licher als ein historisches Wissen, wer solche Erkennt-
nisse als erster hatte, schiene mir ein Verständnis
dafür, warum praktisch alle grossen Himmels-
körper der Kugelgestalt so nahe kommen (Symmetrie
der Naturgesetze, hier insbesondere der Gravitation).
Lieben Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Sa 15.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > Meine Frage ist:
> > Wie wichtig ist es für den Schüler, diese ganzen
> > "Beweise" so detailgenau zu verstehen?
>
> > Spielt das wirklich eine sooooo große Rolle ???
Worauf ich hinaus will, ist folgendes:
Ein Schüler bekommt in der Schule Hunderte (vielleicht sogar Tausende) an Einzel-Informationen. Es ist schier unmöglich, sich das alles zu merken.
Wie aber soll er wissen, was für Prüfungen (und erst recht für sein späteres Leben) wichtig ist, und welches "Wissen" er auch ungestraft schnell wieder vergessen darf?
Beispiel: Quadratische Ergänzung
Ohne vorher die quadratische Ergänzung kennen gelernt zu haben, kann man die p-q-Formel nicht entwickeln. Einige Schüler können sich aber noch Monate später nur schwer von der quadratischen Ergänzung trennen.
Das ist so, als wenn man einem Kleinkind "Wau-Wau" beibringt, und dann eines Tages zu ihm sagt "Ab heute darfst du dazu 'Hund' sagen".
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> Worauf ich hinaus will, ist folgendes:
> Ein Schüler bekommt in der Schule Hunderte (vielleicht
> sogar Tausende) an Einzel-Informationen. Es ist schier
> unmöglich, sich das alles zu merken.
Was ist eine "Einzel-Information" ?
Je nachdem wie man zählt, kommt man vielleicht
auch locker in die Millionen.
Das Problem des Aussortierens von lebenswichtigen,
wichtigen, weniger wichtigen und unwichtigen Infor-
mationen ("Spam") ist allerdings nicht nur eines von
Schülern, sondern von allen Tieren. Raffinierteste
Systeme dienen zum Beispiel einem Vogel dazu,
sein Futter zu finden und selber seinen Raubfeinden
nicht in die Fänge zu geraten.
> Wie aber soll er wissen, was für Prüfungen (und erst
> recht für sein späteres Leben) wichtig ist, und welches
> "Wissen" er auch ungestraft schnell wieder vergessen darf?
Durch eine gewaltige Überfütterung mit allem möglichen
Spam (welche Musik, welche Kleiderlabels gerade "in" sind,
welches Handy man haben muss, tonnenweise ungefilterte
Medienmitteilungen und Werbung) sind heutige Jugendliche
wohl deutlich überfordert, für ihr Leben eine gewisse Rich-
tung zu finden, in die es sich zu gehen lohnt. Da landen
die Schulfächer, und unter ihnen besonders jene, in
welchen nicht nur ein "Hereinziehen von Informationen",
sondern eine aktive Auseinandersetzung mit den Lern-
inhalten gefragt ist, eher im hinteren Bereich der Priori-
täten. Als Mathelehrer habe ich mich bemüht, meinen
Schülerinnen und Schülern ein Thema jeweils in einer
Weise zu präsentieren, dass man mit vertretbarem
Aufwand (vor allem mit aktiver Präsenz im Unterricht,
Lösen der Hausaufgaben und durch das Stellen von Fragen
im Falle von Unklarheiten) bei den Prüfungen gut ab-
schneiden konnte. Ich hatte aber immer Mühe damit,
wenn Schüler oft ganz kurz vor einem anstehenden Test
mit Fragen kamen, welche darauf hinzielten, dass ich
fast schon die Prüfungsfragen selbst (eventuell in ganz
leicht abgewandelter Form) hätte verraten sollen.
Wer einen Stoff verstanden hat, ist nicht auf ein ganz
genau vorgegebenes schematisches Muster der Frage-
stellung angewiesen. Und ein so schematisches, wirklich
nur auf den gerade anstehenden Test ausgerichtetes
"Lernen", das man gleich nach dem Test wieder in den
Kübel schmeissen kann, wollte ich einfach nie unterstützen.
> Beispiel: Quadratische Ergänzung
> Ohne vorher die quadratische Ergänzung kennen gelernt zu
> haben, kann man die p-q-Formel nicht entwickeln. Einige
> Schüler können sich aber noch Monate später nur schwer
> von der quadratischen Ergänzung trennen.
Eigentlich müssten sie das doch gar nicht unbedingt.
Nur wenn es dann darum gehen soll, im Tempo des
gehetzten Affen in 45 Minuten ein Dutzend nicht nur
ganz einfache quadratische Gleichungen zu lösen,
ist die schnellere Methode mit der Formel wirklich
nötig. Wenn es wirklich nur auf das Tempo ankäme,
könnte man ja gleich ein Taschenrechnerprogramm
einsetzen.
> Das ist so, als wenn man einem Kleinkind "Wau-Wau"
> beibringt, und dann eines Tages zu ihm sagt "Ab heute
> darfst du dazu 'Hund' sagen".
Ich kann den Frust eines (mittelmässigen) Schülers
gut verstehen, der sich die Methode der quadratischen
Ergänzung mit einiger Mühe angeeignet hat und auf
seine gute Leistung im Test dazu auch einigermassen
stolz ist, wenn der Lehrer gleich nach der Rückgabe der
Prüfungsarbeiten dazu übergeht, zu erklären, diese
Methode sei eigentlich überflüssig, denn man könne
sich die Arbeit mit der Ergänzung zu vollständigen
binomischen Termen auch ersparen, indem man einfach
in eine Formel einsetze.
Ganz bestimmt unsinnig wäre es aber, auf das quad-
ratische Ergänzen einfach ganz zu verzichten und den
Schülern einfach die "pfannenfertige" p-q- oder a-b-c-
Formel für quadratische Gleichungen vorzusetzen.
Didaktisch am besten (aber wohl auch ziemlich zeit-
aufwendig) wäre es bestimmt, wenn man den Schülern
genügend Raum zum (locker angeleiteten) Experimen-
tieren mit quadratischen Gleichungen geben könnte,
bevor diese Versuche etwas gebündelt und ausgefiltert
würden, um dann als Krönung eine allgemeine Lösungs-
methode zu entwickeln.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Sa 15.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ganz bestimmt unsinnig wäre es aber, auf das quad-
> ratische Ergänzen einfach ganz zu verzichten und den
> Schülern einfach die "pfannenfertige" p-q- oder a-b-c-
> Formel für quadratische Gleichungen vorzusetzen.
Aus pädagogischer Sicht hast du völlig Recht.
Aber irgendwann später ist es doch so: Dann muss man in irgend einem ganz anderen Zusammenhang eine quadratische Gleichung lösen.
Und wenn man dann weiß: Aha, dafür gibt es eine Formel , dann kann man diese Formel in der Formelsammlung nachschlagen.
Die Quadratische Ergänzung dagegen wird man in keiner Formelsammlung finden. Und auf genau dieses Problem habe ich meine Schüler hingewiesen: Du kannst gerne weiterhin die Quadratische Ergänzung benutzen. Aber wehe, du machst dabei einen Fehler. Dann findest du keinerlei Hilfe.
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> > > [mm]1^{2}+2^{2} +3^{2}+\, ... \,n^{2}\ =\ \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
>
> >
> > Möglicherweise wurde diese Formel ein paar Wochen
> > oder Monate früher im Rahmen des Themas "vollstän-
> > dige Induktion" hergeleitet.
>
> Nein, nicht ein paar Wochen oder Monate vorher, sondern
> alles am selben Tag
Hallo,
vielleicht wurde die Formel auch einfach mitgeteilt mit dem Hinweis, daß man sie mit vollständiger Induktion beweisen kann/ zu Hause mit vollständiger Induktion beweisen soll/ ausprobieren soll, ob sie wirklich stimmt.
Oder sie wurde schnell per Induktion bewiesen - wenn Induktion früher schon dran war, ist das "eigentlich" kein Problem.
Ich kann mir jedenfalls nicht vorstellen, daß in der Schule gleich zwei Fässer aufgemacht wurden, Ober/Untersumme und Induktion.
Ich habe die Erfahrung gemacht, daß die Berichte aus der Schule, die man gerade von schwächeren Schülern geliefert bekommt, oft mit Vorsicht zu genießen sind... was ja auch kein Wunder ist.
> Meine Frage ist:
> Wie wichtig ist es für den Schüler, diese ganzen
> "Beweise" so datailgenau zu verstehen?
Wichtig ist zunächst das Prinzip: das Aufstellen der Ober- und Untersumme, die Erkenntis, daß die Fläche dazwischen liegt, das Verstehen, daß mit Verkleinerung der Intervalle Ober- und Untersumme sich immer weiter dem Flächeninhalt nähern, und daß der Grenzprozeß [mm] n\to \infty [/mm] die Fläche liefert.
Die rechentechnischen Details sind demgegenüber vielleicht nicht so wichtig - besprechen tue ich sie mit meinen Nachhilfeschülern trotzdem sehr gründlich, aber erst, nachdem das Prinzip besprochen und verstanden wurde, so daß der Schüler immer nachvollziehen kann, an welcher Stelle unseres Weges wir sind.
> Am Ende muss man doch nur wissen, .... dass die Erde rund
> ist.
Dieses Wissen ist für mich und mein eigenes Leben völlig verzichtbar. Weit reisen tue ich nicht.
Übrigens: ich nehme nie die pq-Formel.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Sa 15.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
> Wie aber soll er wissen, was für Prüfungen (und erst recht für sein späteres Leben) wichtig ist, und welches "Wissen" er auch ungestraft schnell wieder vergessen darf?
Das ist eine sehr (viel zu!) eingeschränkte Sichtweise, die du hoffentlich deinen Nachilfeschülern nicht vermittelst! Sie zeigt mir, dass du wenig Vorstellung hast, was in vielen Studiengängen an mathematischen Methoden und Anwendungen benötigt wird. Viele Studenten erleben zu ihrer Überraschung, dass sie mehr mathematischen Hintergrund brauchen als sie gedacht haben.
Der Bildungswert der Mathematik ist viel umfassender.
* Manchmal ist der Weg und die Entwicklung von Methoden zur Lösung eines Problems viel wichtiger als die Lösung selbst.
* Manchmal stehen die erarbeiteten Ergebnisse und die Anwendungen eindeutig vorne und der Weg zur Entwicklung tritt nach der Erarbeitung zurück.
* Manchmal -wie im Beispiel mit der Summe der Quadratzahlen oder Kubikzahlen- greift man auch einfach auf fertige Ergebnisse zurück, ohne sie selber herzuleiten (was übrigens bei vielen Schülern als unbefriedigend empfunden wird, weil da eine Formel "vom Himmel fällt"!). Von den trigonometrischen Sätzen leitet man nur sehr wenige her und weiß, dass in Formelsammlungen noch viel mehr stehen.
> Beispiel: Quadratische Ergänzung
> Ohne vorher die quadratische Ergänzung kennen gelernt zu haben, kann man die p-q-Formel nicht entwickeln. Einige Schüler können sich aber noch Monate später nur schwer von der quadratischen Ergänzung trennen.
Sollen sie auch nicht, denn hier halte ich beides für wichtig. Die p-q-Formel ist so nützlich, dass ihre sichere Beherrschung viel Zeit spart, andererseits steckt in der quadratischen Ergänzung die Methode und erlaubt ggf. eine neue Herleitung bzw. Kontrolle, wenn man mit der Formel nach einer Anwendungspause nicht mehr sicher ist..
Ich teile die Meinung von angela.h.b. praktisch zu 100%, auch diesen Satz:
> Ich habe die Erfahrung gemacht, daß die Berichte aus der Schule, die man gerade von schwächeren Schülern geliefert bekommt, oft mit Vorsicht zu genießen sind...
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Sa 15.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > Wie aber soll er wissen, was für Prüfungen (und erst
> recht für sein späteres Leben) wichtig ist, und welches
> "Wissen" er auch ungestraft schnell wieder vergessen darf?
>
> Das ist eine sehr (viel zu!) eingeschränkte Sichtweise,
> die du hoffentlich deinen Nachilfeschülern nicht
> vermittelst! Sie zeigt mir, dass du wenig Vorstellung hast...
Ich weiß nur, dass ich nichts - aber auch gar nichts - von dem, was ab der 9. Klasse in Mathe dran war, jemals später wieder gebraucht hatte.
Nur aus einer sehr starken Erinnerung und Vorstellungskraft heraus, konnte mich mir nach rund 35 Jahren den Stoff wieder neu erarbeiten.
(So wie immer gesagt wird, dass Radfahren nicht verlernen kann)
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| Aufgabe | Eigentlich sollte ich einen separaten Thread eröffnen, aber da das Thema hier angesprochen wurde, mache ich hier weiter
> Manchmal -wie im Beispiel mit der Summe der Quadratzahlen
> - greift man auch einfach auf fertige Ergebnisse zurück,
> ohne sie selber herzuleiten
Bisher war immer nur von "vollständiger Induktion" die Rede. Damit habe ich die Richtigkeit der Formel
[mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{2} [/mm] + ... + [mm] n^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
auch nachweisen können.
Wenn man die Formel aber nicht kennt. Wie soll man die dann (ohne Tüfteln und Probieren) raus finden? |
Die Schülerin hatte da irgend was in ihr Heft geschrieben, und am Ende stand die Formel da.
Ich konnte aber nicht nachvollziehen, was das war.
Nach "vollständiger Induktion" sah es jedenfalls nicht aus.
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> Eigentlich sollte ich einen separaten Thread eröffnen,
> aber da das Thema hier angesprochen wurde, mache ich hier
> weiter
>
> > Manchmal -wie im Beispiel mit der Summe der Quadratzahlen
> > - greift man auch einfach auf fertige Ergebnisse zurück,
> > ohne sie selber herzuleiten
>
> Bisher war immer nur von "vollständiger Induktion" die
> Rede. Damit habe ich die Richtigkeit der Formel
>
> [mm]1^{2}+2^{2}+3^{2} + ... + n^{2}\ =\ \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm]
>
> auch nachweisen können.
>
> Wenn man die Formel aber nicht kennt. Wie soll man die dann
> (ohne Tüfteln und Probieren) raus finden?
Hallo rabilein,
die Beweismethode der vollständigen Induktion kann
man normalerweise wirklich erst dann anwenden,
wenn man die zu beweisende Formel eigentlich schon
kennt oder durch eine Vermutung dazu geführt wurde.
Das "Tüfteln und Probieren" sind also Mittel der mathe-
matischen Erkundung, auf die man wohl nicht einfach
so verzichten kann. Es gibt dazu auch einen schönen
aus dem Altgriechischen stammenden Begriff: Heuristik.
Es gibt eben wirklich längst nicht für alle mathematischen
Fragestellungen Lösungswege, bei welchen man einfach
in bestimmter Weise einen Schritt an den anderen fügen
kann, um zum Ziel zu gelangen. Sehr wahrscheinlich ist
eher das Gegenteil, nämlich, dass nur eine relativ "kleine"
(natürlich immer noch unendliche) Menge mathematischer
Fragen die Eigenschaft besitzen, eine systematische
Schritt-für-Schritt-Lösung zu haben.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 So 16.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Es gibt eben wirklich längst nicht für alle mathematischen
> Fragestellungen Lösungswege, bei welchen man einfach
> in bestimmter Weise einen Schritt an den anderen fügen
> kann, um zum Ziel zu gelangen.
Es beruhigt mich, dass das offenbar in diesem konkreten Fall so ist.
Die Schülerin fragte mich, wie man auf die Formel kommt, und das konnte ich ihr vor Ort auf die Schnelle nicht sagen. Und dann hatte ich vergeblich tagelang rumprobiert, wie man zielgerichtet diese Formel herleitet.
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> > Es gibt eben wirklich längst nicht für alle mathematischen
> > Fragestellungen Lösungswege, bei welchen man einfach
> > in bestimmter Weise einen Schritt an den anderen fügen
> > kann, um zum Ziel zu gelangen.
>
> Es beruhigt mich, dass das offenbar in diesem konkreten
> Fall so ist.
>
> Die Schülerin fragte mich, wie man auf die Formel kommt,
> und das konnte ich ihr vor Ort auf die Schnelle nicht
> sagen. Und dann hatte ich vergeblich tagelang rumprobiert,
> wie man zielgerichtet diese Formel herleitet.
Hallo rabilein,
leider muss ich dich doch ein wenig enttäuschen.
Ein Element der Heuristik "Kunst des Findens" ist
das, dass es leichter ist, eine Lösung zu finden, wenn
man schon ungefähr weiß, wo man suchen könnte.
Im Fall der Suche nach der Formel für [mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
gäbe es beispielsweise folgende Ansätze:
1.) geometrisch:
Man stellt die einzelnen Summanden dar, indem
man jeweils aus [mm] k^2 [/mm] Einheitswürfelchen eine
quadratische Platte der Seitenlänge k und der Dicke
Eins macht. Die n Platten kann man zu einer Pyra-
mide aufschichten. Wenn die Pyramide nicht so
steile, sondern nur halb so steile Wände hätte,
könnte man 6 Stück von ihnen ungefähr zu einem
Würfel zusammensetzen. Also nehmen wir halt
quadratische Platten der Kantenlänge [mm] 2\,k [/mm] und der
Dicke 1 und schauen dann, welche Lücken noch
zu füllen sind, um einen Würfel zu produzieren.
So sollte man irgendwann auf die Summenformel
kommen können. Allerdings muss ich sagen, dass
dies jetzt nur mal so eine Idee war - ausgeführt
habe ich dies nicht wirklich. Möglicherweise wird
dies doch noch schwierig. Einen besseren Weg hat
Wolfgang Kramer anzubieten. Ich vermute
allerdings sehr, dass Herr Kramer diesen Weg fand,
indem er von der fertigen Formel ausging - also
wieder nicht echt heuristisch ...
2.) rechnerisch:
Die Summenformel der quadratischen Terme [mm] k^2
[/mm]
muss eine kubische Formel sein: $\ [mm] S_n=a*n^3+b*n^2+c*n+d [/mm] $
Wenn man dies weiß (also auch wieder ein
gewisses Vorwissen vorausgesetzt), genügt es,
zum Beispiel die 4 Gleichungen
$\ [mm] S_0\ [/mm] =\ 0$
$\ [mm] S_1\ [/mm] =\ [mm] 1^2\ [/mm] =\ 1$
$\ [mm] S_2\ [/mm] =\ [mm] 1^2+2^2\ [/mm] =\ 5$
$\ [mm] S_3\ [/mm] =\ [mm] 1^2+2^2+3^2\ [/mm] =\ 14$
in ein Gleichungssystem für a,b,c,d umzusetzen
und dieses aufzulösen.
Gruß Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 16.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo an alle Mitleser,
wenn man die Summenformeln vertiefend bearbeiten möchte, sucht man unter Stichworten wie Potenzsummen, Bernoulli-Zahlen, Sterling-Zahlen ... und stellt fest, dass das Problem -bis auf die ersten Fälle "Linearzahlen", Quadratzahlen, Kubikzahlen- ziemlich aufwendig (aber nicht "unverstehbar") ist. Die Namen der Mathematiker lassen es aber den Schluss zu, dass man beruhigt sein darf, wenn man selbst nicht den Weg zum Finden dieser Formeln gefunden hat :)
Die genannte Herleitung der Formel für die Kubikzahlensumme mit Würfeln einer Pyramide findet sich z.B. schon ausgeführt in einem Artikel von Klaus Bickel in der Zeitschrift MNU, 37.Jg, 1984, Heft 5, ab S.280. Ich habe leider nur noch ein Fragment hier vorliegen.
Mit freundlichem Gruß, MatheOldie
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> Die genannte Herleitung der Formel für die
> Kubikzahlensumme mit Würfeln einer Pyramide findet sich
> z.B. schon ausgeführt in einem Artikel von Klaus Bickel in
> der Zeitschrift MNU, 37.Jg, 1984, Heft 5, ab S.280. Ich
> habe leider nur noch ein Fragment hier vorliegen.
>
> Mit freundlichem Gruß, MatheOldie
Hallo MatheOldie,
meinst du damit jetzt die Herleitung, die Wolfgang
Kramer so schön dargestellt hat oder meine Idee
mit den 6 "Cheops"-Pyramiden, die man zu einem
Würfel zusammenfügt ?
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 16.08.2009 | | Autor: | MatheOldie |
Hallo Al-Chwarizmi,
K. Bickel erzeugt 3 Pyramiden mit Treppe und nimmt dann noch die überstehenden Würfel dazu. Das entspricht m.E. dem Weg von Kramer (im 2.Schritt). Deine Idee habe ich -ehrlich gesagt- eben nicht sooo genau angesehen.
Mit freundlichem Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 So 16.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Im Fall der Suche nach der Formel für [mm]S_n=\summe_{k=1}^{n}k^2[/mm] ...
Ich wollte die Sache mit der Summenformel an dieser Stelle nicht weiter vertiefen, da es sonst von der eigentlichen Problematik dieses Threads abweicht.
Im Kern ging es ja darum, was im Leistungskurs durchgenommen wird, wie es erklärt wird und was Schüler können sollten.
Die Summenformel wurde scheinbar gar nicht genauer erklärt, sondern da standen einfach drei (in meinen Augen) zusammenhanglose Zeilen, und darunter dann dick eingerahmt:
[mm] 1^{2} [/mm] + [mm] 2^{2} +3^{2} [/mm] +... [mm] +n^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Und das alles stand im Zusammenhang mit dem Thema: Integralrechnung.
Das ging in dem Heft der Schülerin alles irgendwie durcheinander.
Vielleicht hat sie die einzelnen Schritte in verkehrter Reihenfolge von der Tafel abgeschrieben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 16.08.2009 | | Autor: | abakus |
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> > Es gibt eben wirklich längst nicht für alle
> mathematischen
> > Fragestellungen Lösungswege, bei welchen man einfach
> > in bestimmter Weise einen Schritt an den anderen fügen
> > kann, um zum Ziel zu gelangen.
>
> Es beruhigt mich, dass das offenbar in diesem konkreten
> Fall so ist.
>
> Die Schülerin fragte mich, wie man auf die Formel kommt,
> und das konnte ich ihr vor Ort auf die Schnelle nicht
> sagen. Und dann hatte ich vergeblich tagelang rumprobiert,
> wie man zielgerichtet diese Formel herleitet.
Hallo,
wenn man aus der Erfahrung mit anderen Reihen weiß,
dass diese Formeln meist aus mehreren Faktoren bestehen, könnte man auf die Idee einer Faktorenzerlegung kommen.
1=1
5=5*1
14=7*2
30=6*5
55=11*5
91=13*7
140=14*10
Da deuten sich Regelmäßigkeiten an!
Die 5, die 7, (dann leider keine 9), die 11, die 13, (dann leider keine 15)...
Zunächst mal sollte die Zerlegung so korrigiert werden, dass die fehlende 9 und die fehlende 15 (ebenso wie die bei der ersten Zahl eigentlich erforderliche 3) erscheinen:
1=3*(1/3)
5=5*1
14=7*2
30=9*(10/3)
55=11*5
91=13*7
140=15*(28/3)
Nachdem damit die Gesetzmäßigkeit des ersten Faktors erkannt ist, wenden wir uns dem zweiten zu.
Da einige Faktoren als Drittel angegeben sind, sollte man dies durchgängig tun:
1/3
1=3/3
2=6/3
10/3
5=15/3
7=21/3
28/3
Und die Folge 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,...entspricht jeweils der Summe der ersten aufeinanderfolgenden nat. Zahlen, welche mit n(n+2)/2 bekannt ist. Alles wird ja noch durch 3 geteilt, also (n(n+1)/2)/3.
So findet man die Bildungsvorschrift ((2n+1)*n*(n+1)/2)/3.
Das habe ich mal mit einer sehr guten 5. Klasse hergeleitet, das war ganz spannend.
Gruß Abakus
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Sehr schön ! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Mein Kompliment !
Al
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> > Am Ende muss man doch nur wissen, .... dass die Erde rund
> > ist.
>
> Dieses Wissen ist für mich und mein eigenes Leben völlig
> verzichtbar.
Hallo Angela,
da flunkerst du wohl doch ein bißchen 
Jedenfalls bin ich überzeugt, dass diese Tatsache
zu den Wissensbestandteilen gehört, die du gar
nicht "vergessen" kannst ...
LG Al
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> > > Am Ende muss man doch nur wissen, .... dass die Erde rund
> > > ist.
> >
> > Dieses Wissen ist für mich und mein eigenes Leben völlig
> > verzichtbar.
>
>
> Hallo Angela,
>
> da flunkerst du wohl doch ein bißchen
Hallo usbekischer Starmathematiker,
vielleicht täusche ich mich - aber ich flunkere nicht bewußt.
In meinem Alltagsleben zwischen Abwasch, Kompost und Discounter komme ich ohne dieses Wissen aus.
> Jedenfalls bin ich überzeugt, dass diese Tatsache
> zu den Wissensbestandteilen gehört, die du gar
> nicht "vergessen" kannst ...
Ja, das stimmt. Wenigsten das ist hängengeblieben.
Es ist eine der Informationen, die ich richtig aufregend fand.
Wenn's mir niemand gesagt hätte, hätte ich es niemals herausgefunden...
Es gibt echt Leute, die 'nen paar Nummern schlauer sind als ich.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Sa 15.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> > Am Ende muss man doch nur wissen, .... dass die Erde rund ist
> Wenn's mir niemand gesagt hätte, hätte ich es niemals herausgefunden...
Mal angenommen, der (Steinzeit-)Mensch weiß, dass es keine Wirkung ohne Ursache gibt.
Aus welcher Beoachtung kann er schließen, dass die Erde rund ist?
Und warum haben die Menschen das dann (trotz Beoachtung und offensichtlicher Folgerung) erst viele viele Jahre nach der Steinzeit rausgefunden?
Falls es also so eine Beobachtung nebst logischem Schluss gar nicht gibt, dann ist die obige Aussage von Angela völlig logisch: Man kann es gar nicht rausfinden und wissen, wenn es einem niemand sagt.
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![[]](http://images.google.ch/imgres?imgurl=http://www.sciface.com/education/data/web/SummeDerQuadrate_images/img3.png&imgrefurl=http://www.sciface.com/education/data/web/SummeDerQuadrate.html&usg=__39991DZ8QmqXet2AkEAO8IRGlyg=&h=168&w=229&sz=20&hl=de&start=8&um=1&tbnid=g2GIetAmjdNX7M:&tbnh=79&tbnw=108&prev=/images%3Fq%3Dsummenformel%2BQuadrate%26hl%3Dde%26client%3Dfirefox-a%26rls%3Dorg.mozilla:de:official%26sa%3DG%26um%3D1){kind=small}
Wolfgang Kramer