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Beispielaufgaben
Aufgabe 1: (Ebenen)
a) Erläutern Sie die Parametergleichung einer Ebene und der darin vorkommenden Vektoren anhand
einer Skizze.
b) Die untenstehende Abbildung zeigt die Skizze einer Ebene E. Geben Sie eine Parametergleichung von E an. Gibt es noch weitere
Parametergleichungen von E?
[Dateianhang nicht öffentlich]
c) Was versteht man unter der Normalenform einer
Ebenengleichung? Wie erhält
man aus einer Parametergleichung einer Ebene eine
Gleichung in Normalenform?
Welche Vorteile hat die Normalenform?
Aufgabe 2: (Gebrochenrationale Funktionen)
Gegeben ist die Funktion f mit [mm] \bruch{2x-4}{x-2}
[/mm]
a) Untersuchen Sie das Schaubild von f auf Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen und auf Asymptoten. Skizzieren Sie das Schaubild von f.
b) Erläutern Sie den Begriff "waagerechte Asymptote".
c) Welche anderen Arten von Asymptoten können Schaubilder von
gebrochenrationalen Funktionen noch haben? Geben Sie jeweils ein Beispiel an.
d) Gibt es gebrochenrationale Funktionen, deren Schaubilder keine senkrechten
Asymptoten haben?
Aufgabe 3: (Geraden)
a) Die Gerade g geht durch die Punkte A (2|1|0) und B (3|0|2). Prüfen Sie, ob der
Punkt C (0|3|-4) auf der Geraden g liegt.
b) Die Gerade h ist parallel zur Geraden g und geht durch den Punkt D (0|0|4).
Geben Sie eine Gleichung der Geraden h an. Erläutern Sie, wie man den Abstand
der beiden Geraden g und h berechnen kann.
c) Was versteht man unter "windschiefen" Geraden? Wie kann man die gegenseitige
Lage zweier Geraden untersuchen?
Aufgabe 4: (Schaubilder)
Gegeben ist folgendes Schaubild einer Funktion f.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a) Skizzieren Sie das Schaubild der zugehörigen
Ableitungsfunktion f'.
b) Was lässt sich über das Schaubild einer zu f gehörenden
Stammfunktion F aussagen? (Hinweis: Denken Sie an Hoch-,
Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Links-, Rechtskrümmung,
Wendepunkte).
Aufgabe 5: (Gebrochenrationale Funktionen)
a) Ordnen Sie folgende Funktionsterme den abgebildeten Schaubildern zu (mit Begründung).
f1(x)= [mm] \bruch{1}{x^2+1}, [/mm] f2(x)= [mm] x+1+\bruch{1}{x^2}, [/mm]
f3(x)= [mm] \bruch{1}{x^2}-1
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
b) Erläutern Sie, wie man den Extremwert von f1 - ohne Verwendung des Schaubildes - bestimmen kann. Um welche Art des Extremums handelt es sich?
Aufgabe 6: (Extremwerte und Ableitungsfunkionen)
a) Erläutern Sie anhand einer Skizze die Begriffe absolute und relative Extrema.
b) Wie können Extremwerte ermittelt werden?
c) Ermitteln Sie die Hoch- bzw. Tiefpunkte im Schaubild der Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{8x+4}{x^2}
[/mm]
d) Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion g .
[Dateianhang nicht öffentlich]
Skizzieren Sie das Schaubild der Ableitungsfunktion.
Aufgabe 7: (Abstände)
Die Ebene E ist parallel zur x1-Achse und enthält die Punkte
A(1/2/1,5) und B(2/4/0).
a) Stellen Sie eine Gleichung von E auf und erläutern Sie Ihre
Vorgehensweise.
b) Wählen Sie einen Punkt, der nicht in E liegt und bestimmen Sie
seinen Abstand zur Ebene E.
c) Welche Methoden zur Abstandsberechnung eines Punktes von der Ebene kennen
Sie? Bewerten Sie die Verfahren.
Aufgabe 8: (Geraden und Ebenen)
Die Ebene E ist parallel zur x1-Achse und enthält die Punkte A(1/2/1,5) und B (2/4/0).
a) Skizzieren Sie die Ebene im Koordinatensystem und beschreiben Sie die Ebene in
mathematisch verschiedenen Formen.
b) Skizzieren Sie Ebenen in spezieller Lage und geben Sie jeweils eine mögliche
Gleichung dazu an.
c) Wie lassen sich Geraden im Koordinatensystem darstellen? Berücksichtigen Sie
auch spezielle Lagen.
Aufgabe 9: Spiegelpunkt
a) Welches ist der Spiegelpunkt P' von P(1/2/3) bei Spiegelung - an der x1x2-Ebene -
am Ursprung 0 - an der Ebene ...
b) Wie geht man vor, wenn man einen Punkt P an - einem Punkt Q - einer Geraden g
- einer Ebene E spiegelt?
c) Wie lässt sich eine Gerade g an einer Ebene E spiegeln?
Hallo zusammen,
ich habe einige Übungsaufgaben gemacht, die für eine mündliche Abiturprüfung dran kommen könnten. Würde mich sehr freuen, wenn ihr mich verbessert, hab nämlich bestimmt nicht alles korrekt gemacht.
Ein herzliches Dankeschön schonmal...
Antworten:
Zu 1 a) Eine Paramtergleichung einer Ebene kann so aussehen:
E: a+xb+yc . Dabei ist a= Ortsvektor (quasi ein Punkt) b/c= Richtungsvektoren und x/y= Parameter. Richtungsvektoren werden errechnet indem man die Differenz zweier Ortsvektoren (Punkte im Raum) bildet.
Zu 1 b) Paramtergleichung von [mm] E:\vektor{2\\ 0\\0}+b\vektor{-2\\ 0\\5}+c\vektor{-2 \\ 4\\0} [/mm] ... ja man könnte noch andere Ebenengleichungen aufstellen.
Zu 1 c) Die Normalenform einer Ebene beschreibt die Lage einer Ebene im Raum nicht durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren, sondern durch einen STützvektor und einen Normalenvektor. Der Normalenvektor steht stets senkrecht auf der Ebene.
Normalenform: [mm] E:\vec{n}(\vec{x}-\vec{p})=0
[/mm]
Man erhält diese Normalenform der Ebene, indem man zuerst aus dem Vektorprodukt der beiden Ortsvektoren den Normalenvektor errechnet. Anschließend stellt man die oben erwähnte Gleichung auf.
Ein Vorteil der Normalenform ist, dass man durch einfaches Ausmultiplizieren des Skalarprodukts bereits die Koordinatengleichung der Ebene erhält.
Zu 2a: NST=(2/0), Sy=(0/-4), Asymptoten: y=2 und x=-1
Zu 2b: Eine waagerechte Asymptote ist eine Gerade, die sich in x-Richtung annähert.
Zu 2c: Es gibt unter anderem noch senkrechte Asymptoten (Annäherung in y-Richtung) und schräge Asymptoten (nähert sich beim Grenzübergang
[mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] beliebig an
Zu 2d): Wenn Zähler und Nenner eine gleiche Nullstelle aufweisen, dann gibt es keine senkrechten Asymptoten, sondern hebbare Definitionslücken.
Zu 3 a) Ja der Punkt C liegt auf der Geraden, wenn man bei der Geradengleichung für s=-2 einsetzt.
Zu 3b) [mm] h:\vec{x}= \vektor{0 \\ 0\\4}+t\vektor{-2 \\ 2\\-4}
[/mm]
Den Abstand kann man berechnen, indem man sich einen Punkt der einen Gerade vornimmt (Stützvektor) und damit berechnet man nach der Punkt- Gerade Abstandregel den Abstand zwischen Gerade und Punkt. Dazu nimmt man sich eine Hilfsebene, die senkrecht auf der Geraden steht, und durch den einen Punkt geht. Anschließend berechnet man diesen Schnittpunkt. Die Länge von diesem Vektor ist dann gleich dem Abstand.
Zu 3c: Windschiefe Geraden sind Geraden, die sich weder schneiden, noch parallel sind. Windscheife Geraden gibt es nur im Dreidimensionalen.
Geraden können generell vier verschiedene Lagen zueinander haben. Entweder sind sie identisch, parallel, schneiden sich, oder sind windschief. Wenn die RV linear abhängig sind, und der Ortsvektor, der einen Geraden durch die andere Gerade geht, handelt es sich um zwei identische Geraden. Wenn Rv linear abh. sind und der OV der einen Geraden nicht durch die andere Gerade geht, dann sind sie parallel. Wenn man parallel und identisch ausschließen kann, dann muss man rechnen (gleichsetzen) umd einen Schnittpunkt herrauszubekommen. Wenn man keinen SP erhält, dann sind sie windschief.
Zu 4a) Kann ich leider hier nicht zeichnen...
Zu 4b) Eine Stammfunktion F und eine Ausgangsfunktion f sind nicht weiteres als f (Stammfunktion) und f'(Ausgangsfunktion). Die Extrempunkte der Stammfunktion sind die Nullstellen der Ausgangsfunktion, die Wendepunkte der SF sind die Extrempunkte der AF. Je nachdem ob es sich bei der Stammfunktion um eine Links- oder Rechtskrümmung handelt, geht es bei der AF um einen Tief- oder Hochpunkt.Das Monotonieverhalten muss bei beiden Graphen denke ich gleich sein.
Zu 5a) f1 gehört zu Schaubild 3(da keine NST), f2 zu Schaubild 1(Begründung: weiß ich nciht), f3 zu Schaubild 2 ( da Grenzwert gegen y=-1 geht)
Zu 5b) Indem man die erste Ableitung bildet und den Zähler =0 setzt. Die erste Ableitung ist in diesem Fall f1'(x)= [mm] -\bruch{2x}{(x^2+1)^2}, [/mm] draus folgt dass der Extremwert x=0 --> TP =(0/1)
Zu 6a) Relativer Extremwert bezieht sich immer nur auf eine kleine Umgebung und nicht auf den gesamten Definitionsbereich. Absolute Extrema gelten für den gesamten Definitionsbereich.
Zu 6b) Extremwerte werden ermittelt, unter der Vorraussetzung, dass eine Funktion 2xmal differenzierbar ist, indem man vorerst die erste ABleitung =0 setzt. Anschließend setzt man den erhaltenden Wert in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinate zu erhlaten. Um zu prüfen, ob es ein Tief- oder Hochpunkt ist, setzt man die x-Koordinates des Extremwerts in die zweite Ableitung ein. Wenn man einen Wert>0 erhält handelt es sich um einen Tiefpunkt, wenn man einen Wert <0 erhält, ist es ein Hochpunkt.
Zu 6c) x1=1, x2=0 ---> da O nicht im Df definiert ist, gebt es nur an der Stelle x=1 eine Extremstelle, dabei handelt es sich um einen TP=(1/12)
Zu 6d) Kenn kein Programm, um dass zu zeichnen...
Zu 7a) Gleichung E: [mm] \vektor{1\\ 2\\1,5}+s\vektor{1 \\ 2\\-1,5}+t\vektor{1\\ 0\\0} [/mm]
Da die Ebene parallel zu x1-Achse sein soll, kann man [mm] \vektor{1 \\ 0\\0} [/mm] als richtungsvektor verwenden, bei den übrigen Punkten verfährt man genauso wie beim normalen Aufstellen von Paramtergleichungen.
Zu 7b) P=(2/0/0)
[mm] d=(\vec{vr}-\vec{vo})\vec{no} [/mm] , [mm] \vec{n}=\vektor{0 \\ 1,5\\2}
[/mm]
d= 2,4 LE
Zu 7c) ...Ich kenne nur diese Methode der Abstandsberechnung, weil die so in meiner Formelsammlung steht. ALso mit der Hesseschen Normalform, gehts denke ich am schnellsten. Gibts noch andere Varianten?
Zu 8a) Mathematisch verschiedene Formen? Ist damit gemeint, dass man die Ebenengleichung z.B. als Koordinatenform darstellen soll?
Zu 8b) Was ist mit spezieller Lage gemeint?
Zu 8c) Geraden lassen sich im Koordinatensystem zB. als Lineare Funktion der Form
y= mx+b darstellen.
Zu 9a) Bei Spiegelung an x1x2 Ebene P(1/2/-3), bei Spiegelung am Ursprung
P(-1/-2/-3)
Zu 9b) Punkt P an Punkt Q spiegeln: Vektor PQ errechnen, dann PQ zu Q addieren
Punkt P an Gerade spiegeln: Hilfsebene senkrecht auf der Geraden, der Normalenvektor der Ebene= Richtungsvektor der Geraden Schnittpunkt zwischen Geraden und der Hilfsebene Lotfußpunkt Ortsvektor des Spiegelpunktes: P=P+ 2LF
Zu 9c) Geht genauso wie bei der Spiegelung an einer Gerade. Nur bei der Spiegelung an einer Ebene, kann man sich eine Hilfsgerade nehmen, die genau dieselben Eigenschaften besitzt, wie bei Teilaufgabe b.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Di 03.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo friendy88,
holla, da hast Du Dir ja schöne Tipp-Arbeit gemacht! 
Ein paar Hinweise (für die Zukunft oder für eventuelle Nachahmer):
1. Es wäre sinnvoll gewesen, für jede der Aufgaben, die ja teilweise völlig unterschiedliche Themen behandeln, eine eigene Diskussion aufzumachen. Zum einen wird man dann nicht von der Masse erschlagen , zum anderen fühlen sich dann diejenigen, die sich mit bestimmten Themen gut auskennen, direkter angesprochen.
2. .doc-Dateien als Anhänge sind aus verschiedenen Gründen seeehr ungünstig. Zumal, wenn es sich doch nur um Bilder / Grafiken handelt.
Vielleicht findet sich ein Moderator, der das umwandelt und einbindet. Evtl. mache ich das irgendwann später...
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 03.06.2008 | | Autor: | friendy88 |
Danke nochmals für die Korrekturen, habe bisher noch nie ein Bild miteingefügt, daher wusste ich auch nicht so recht wie es funktioniert.
Ja, du hast du Recht, es handelt sich zwar um viele verschiedene AUfgaben, aber ich erwarte ja auch nicht, dass jeder alles durchguckt. Nur kleine Hinweise und Verbesserungen zu Themen, die man eben sehr gut kann, würden da schon reichen.
Es ist zwar sehr umfangreich, aber wie gesagt man muss nicht alles durchschauen, nur dass was man eben gut kann, und natürlich auch nur wenn man die nötige Zeit dafür hat.
Gruß und danke friendy88
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Di 03.06.2008 | | Autor: | leduart |
HALLO
zu 1) alles richtig, Ergänzung:
1.schnell ne zweite Parameterform als Beispiel hinschreiben, oder sagen wie man sie kriegen kann
2. zur Normalenform: man sieht 2 Ebenen schneller an, ob sie parallel sind, weil sie dann proportionale Normalenvektoren haben, man kann Abstände leichter berechnen.
zu2) Keine Nullstelle denn wenn Zähler=0 Nenner =0. also definitionslücke
f=2 für alle x ausser x=2
Zu 2d): Wenn Zähler und Nenner eine gleiche Nullstelle aufweisen, dann gibt es keine senkrechten Asymptoten, sondern hebbare Definitionslücken.
So falsch, nur richtig, wenn das die einzige Nst des Nenners ist:
[mm] Beispiel:(x+1)/(x^2-1)
[/mm]
Nst von Z und N bei x=-1 senkrechte Assympt. bei x=+1.
schräge Ass. ist ne Gerade, z. Bsp bei [mm] f(x)=(x^2-1)/x [/mm] schräge Ass: y=x für x gegen [mm] \pm \infty
[/mm]
zu 5 Bilder richtig zugeordnet, bei S" sieht man die schräge Ass. y=x+1
soweit erstmal
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Di 03.06.2008 | | Autor: | friendy88 |
Danke dir auch...;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Di 03.06.2008 | | Autor: | Somebody |
>
> Zu 2d): Wenn Zähler und Nenner eine gleiche Nullstelle
> aufweisen, dann gibt es keine senkrechten Asymptoten,
> sondern hebbare Definitionslücken.
Dies gilt natürlich nur, wenn diese gemeinsame Nullstelle für den Zähler gleiche oder grössere Ordnung (Vielfachheit) hat, als für den Nenner. Beispiele: [mm] $\frac{(x-2)^3}{(x-2)^3}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{(x-2)^4}{(x-2)^3}$ [/mm] haben hebbare Definitionslücke bei $x=2$ und keine vertikale Asymptote.
Ist jedoch die Ordnung der gemeinsamen Nullstelle für den Nenner grösser als für den Zähler, dann liegt sehr wohl eine Polstelle mit zugehöriger vertikaler Asymptote vor. Beispiel: [mm] $\frac{(x-2)^3}{(x-2)^4}$ [/mm] hat Polstelle bei $x=2$ und entsprechend eine vertikale Asymptote an dieser Stelle.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Di 03.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
3) sieht richtig aus
4)Besser F'=f deshalb kann man aus den Nst die Extrema oder der Doppelten Nst einen Sattelpkt ablesen.
wenn f an der Nst. fällt ist ddas Extr. ein Max, wenn f da steigt ein Min. für die gezeigte Kurve ist also bei.. ein max, bei...ein Sattel, bei ... ein Min.
Wendepkt bei den extrema von f. monotonie von F: Fsteigt monoton solange f>0 und fällt monoton solange f<0 für die gezeigte Kurve also.....
5)b) ohne differenzieren: [mm] x^2+1\ge1 [/mm] für alle x, [mm] x^2+1=1 [/mm] für x=0 [mm] x^2+1>1 [/mm] für alle [mm] x\ne0
[/mm]
d.h. [mm] 1/(x^2+1) [/mm] <1 für alle x ausser x=0 d,h, bei x=0 ist die Fkt maximal und zwar 1.
6a) mit den rel. und abs. maxima musst du genauer machen. bei einem rel. Max sind die Werte an benachbarten Punkten auf beiden Seiten kleiner als bei dem Pkt. ein abs. max ist der größte Wert in dem betrachteten Gebiet, er kann gleichzeitig auch ein rel max sein, wenn das abs. max auf dem Rand liegt muss es kein rel. Max sein.
Mal entsprechende Beispiele.
b) bei relativen Extrema ist die Tangente waagerecht, deshalb hat man als notwendige Bed. f'=0, ob dann Max oder Min vorliegt kann man durch f'' nachprüfen, f''<0 heisst f' ist fallend also geht es von pos nach negativ durch die Nst. deshalb steigt die fkt vor dem Extr. und fällt danach, man hat ein Max. entsprechend für f''>0 ein Min.
kann man f'' nicht bilden (zu aufwändig, oder existiert nicht) untersucht man Werte von f links und rechts des vermuteten Extr.
c) richtig,
d) du sollst wohl eher freihändig skizzieren!
7) ok
8)a gemeint ist wohl Parameterform. Normalenform, Koordinatenform
b) Parallel zu ner Koordinatenebene wohl vor allem , Ebenen durch (0,0,0)
Ebenen ,die eine Koordinatenachse enthalten.
c) gemeint ist wohl Geraden im 3d, also z. Bsp durch den Schnitt 2 er Ebenen, also 2 Koordinaten gleichungen
9) ok, was knapp.
Und bitte denk dran, nächstes Mal mach aus sowas mehrere posts.
Dann kann man auch Aufgabe und Lösung zusammen sehen!
Gruss leduart
Deine Beschreibung ist nur in 2d richtig!
speziell wieder: parallel zu ner Achse, oder Geraden durch (0,0,0)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:25 Mi 04.06.2008 | | Autor: | friendy88 |
Danke für deine Mühe! ;)
Ich hätte noch eine Anmerkung zu Teilaufgabe 4b)....
Wenn wir das Schaubild von f betrachten und uns das Schaubild von der Stammfunktion F ungefähr zeichnen müssten. Dann hätte das Schaubild der Stammfunktion doch folgende Punkte!
Hochpunkt bei x=-3, einen Tiefpunkt bei x=4, einen Sattelpunkt bei (1/0), und einen Wendepunkt bei x=3 und x=-2 ...und es handelt es sich doch bei beiden Wendepunkten um eine Rechtslinkskrümmung. Oder?
Und zu Teilaufgabe 8b) hätte ich noch eine Frage. Die speziellen Lagen, die Ebenen aufweisen können, konnte ich nachvollziehen, aber wie sieht denn zB. einen Ebene aus, die durch den Nullpunkt geht. Was müsste ich dann für Richtungsvektoren nehmen? In diesem Fall würde die Ebene doch auf der z-Achse liegen...oder?
Danke nochmals... für alle Verbesserungen...
Gruß friendy88
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mi 04.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei 4b hast du recht, mit den Wendepunkten auch, das geht aber nur weil der Sattelpkt ja auch ein Wendepkt ist andersrum als die 2 anderen,
zu 8 so besonders sind ebenen durch 0 nicht, einfach Aufpunkt 0 und irgend 2 lin unabh. Richtungsvektoren, wenn die Richtung egal ist.
Koordinatengleichung auch ax+by+cz=0. und nein, die Ebene muss nicht die Z-Achse enthalten, aber es gibt natürlich eine durch 0 die die z- achse enthält ; und wenn ne Ebene eine der Achsen enthält muss sie natürlich durch den Nullpkt!
Gruss und viel Erfolg
leduart
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