Matrix-Norm, Givens, Betrag < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | geg. |y-G*x| <= |G|*|x| (komponentenweise, keine Norm)
--> daraus folgt:
||y-G*x|| <= [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] ||x||, G ist Givensrotation mit ||G||=1.
(zweier Norm gemeint) |
ich bekomme diese Wurzel aus zwei nicht hin, weiß jemand wie das überhaupt sein könnte???:-(, oder wo ich dass nachlesen könnte, aber dann ein genaues Buch bitte. Bisher
konnte ich nur was mit Wurzel aus n finden.
Die obige Matrix G ist eine Givensrotation.
Es geht allgemein um Fehler von QR-Zerlegung mit Givensrotationen. Ich verstehe in einem Buch den Beweis zu einem Satz nicht. Ich blieb eben an
dieser Stelle stecken.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo victory_hh,
Für mich ist die Aufgabe etwas unklar.
geg. [mm]||y-G*x|| \le ||G||*|||x||[/mm]
wegen [mm] 1<\wurzel{2}
[/mm]
folgt daraus logischerweise
[mm]||y-G*x|| \le \wurzel{2}||G||*|||x||[/mm]
Das kann's wohl kaum gewesen sein oder? Vllt. kannst Du ja deine Bezeichnung/die Aufgabe etwas näher erläutern.
viele Grüße
mathemaduenn
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In man muesste eigentlich irgendwie durch Normen
und Beträge dadrauf kommen. Villeicht fhelt mir ein
oder der andere Satz zu diesen Themen.
Bis dann
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Hallo victory_hh,
Was soll in der ersten Zeile komponentenweise bedeuten?
G ist ja eine Matrix und x ein Vektor( genau wie y-Gx)
Ist es möglich das es x-Gx heißen muß?
viele grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Do 15.06.2006 | | Autor: | viktory_hh |
mit komponentenweise meine ich eben jede Komponente von Vektor oder auch von der Matrix in Betrag genommen. d.h. | G | _{i,j} = | [mm] g_{i,j} [/mm] | also jedes Element in Betrag genommen !!!
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Hallo victory,
Für Vektoren ist das klar
[mm]|x|<|y| \gdw |x_i|<|y_i|\forall i[/mm]
Wenn man jetzt einen Matrix dazwischen bastelt
[mm]|x|<|G||y| \gdw |x_i|<|G_{ij}||y_i|[/mm] hat man das Problem das man sich aus 2 Indizees einen raussuchen kann. Wenn es für beide sein soll also
[mm]|x|<|G||y| \gdw |x_i|<|G_{ij}||y_i|\forall i\forall j[/mm]
ist die Aussage trivial da die Givensmatrix ab dimension 3 auf jeden Fall Nullen enthält. kann die Anfangsungleichung einfach nicht erfüllt sein und auf der leeren Menge kann man bekanntlich alles behaupten. 
viele Grüße
mathemaduenn
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Also: man nehme die Matrix, mache von jdem Eintrag in der Matrix den Betrag, d.h.
hier für die Givens-Rotation der eine negative Eintrag -sin( [mm] \alpha [/mm] ) wird dann in Betrag genommen also +sin. Dann nehme die Vektorkomponenten in Betrag. So entsteht
die erste Ungleichung. In der ersten Ungleichung ist auch die Ungleichung komponentenweise zu verstehen. Die zweite soll daraus resultieren, so habe ich es im Buch verstanden. Leider gibt's in diesem Buch keine Zwischenschritte, wie das daraus resultiert. Jetz hoffe ich habe ich alles klar hingeschrieben !!!!
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Hallo victory
Also eine Givensmatrix der Dimension 3 könnte z.B. so aussehen
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\0& cos(\alpha)&-sin(\alpha) \\ 0 & sin(\alpha)& cos\alpha) }
[/mm]
der beliebige Vektor y wäre
[mm] \vec{y}=\vektor{y_1\\y_2\\y_3}
[/mm]
analog x
[mm] \vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}
[/mm]
Und was muß man jetzt für die komponentenweise Ungleichung einzeln hinschreiben?
gruß
mathemduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:24 Fr 16.06.2006 | | Autor: | viktory_hh |
also nun bitte zu mletzten Mal:
Nehme für die ERSTE Ungleichung:
linke Seite: bilde: a=y-G*x, dann bilde | a |, so wie ich schon beschrieben habe, komponentenweise!
rechte Seite: bilde | G |, d.h. jedes Matrixelement [mm] g_{i,j} [/mm] einfach in Betrag, dann x komponentenweise in Betrag. Dann multipliziere das ganze einfach:
b=| G | * | x |
nun --> | a | <= | b | komponentenweise, d.h. | [mm] a_{1} [/mm] | < | [mm] b_{1} [/mm] |,
| [mm] a_{2} [/mm] | < | [mm] b_{2} [/mm] | usw.
aus dieser ersten Ungleich solle die zweite reultieren.
Jetzt ist klar oder ???
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Hallo victory,
Also erst Beträge dann Matrixmultiplikation dann der komponentenweise Vergleich O.K.
gruß
mathemaduenn
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O.K. ich kann jetzt nicht so lange sitzen und nichts machen. Kann mir jemand bitte ein Buch empfelen in dem ich alles über Normen (Matrizennormen) und viele Sätze dazu mit Abschätzungen für diese Normen, usw. (aber bitte keine StandardInformation für die Normen, es muss schon etwas mehr als das was in jedem Buch zu linearen Algebra steht, vorhanden sein)
DANKE
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Sa 17.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo victory,
Ich verwende mal die hier eingeführten Bezeichnungen.
1. Aus |a|<|x| komponentenweise folgt sicher [mm]||a||_2<||x||_2[/mm]
2. Man kann sich überlegen das |x| mit |G|*|x| bis auf 2 Dimensionen übereinstimmt.
3. Für die restlichen 2 Dimensionen mußt Du eben schauen was da steht.
Damit kannst Du ja erstmal probierenund auch wenn es nicht klappt deine Ergebnisse hier ins Forum schreiben.
viele Grüße
mathemaduenn
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also linker Teil für die zweite ungleichung (Euklidische Norm) ist O.K.
rechts bekomme ich:
[mm] \wurzel{\vmat{x_{1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{i}}+\vmat{-sin}*\vmat{x_{j}})^{2} + \vmat{x_{i+1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{j}}+\vmat{+sin}*\vmat{x_{i}})^{2} + \vmat{x_{j+1}}^{2} + ... +
\vmat{x_{n}}^{2}}
[/mm]
wenn man nun die Quadrate in der Wurzel auflöst bekommt man die zwei schon mal hien, aber dort wird noch der störende Summand
[mm] 4*\vmat{c}*\vmat{s}*\vmat{x_{i}}*\vmat{x_{j}}. [/mm] Den Term kriege ich nicht weg. Also Jungs jetzt habe ich keine Lust mehr hier noch sehr viel hin und her zu schreiben, wenn jemand die Lösung hat kann er es mir sagen, oder hinleitende Antworten geben. Ich kann aber hier nicht den ganzen Tag sitzen und micht mit der "Latex-ähnlichen" Syntax beschäftigen.
DANKE zuerst aber für die ganzen Mühen.
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Hallo victory_hh,
> also linker Teil für die zweite ungleichung (Euklidische
> Norm) ist O.K.
> rechts bekomme ich:
> [mm]\wurzel{\vmat{x_{1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{i}}+\vmat{-sin}*\vmat{x_{j}})^{2} + \vmat{x_{i+1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{j}}+\vmat{+sin}*\vmat{x_{i}})^{2} + \vmat{x_{j+1}}^{2} + ... +
\vmat{x_{n}}^{2}}[/mm]
Ich nehme mal an Du hast die linke Seite komponentenweise nach oben abgeschätzt durch die erste Ungleichung.
Die Beziehung die Du jetzt noch brauchst ist:
[mm](a+b)^2\le 2*(a^2+b^2)[/mm]
Falls Dir das nicht direkt einleuchtet:
[mm](a-b)^2\ge 0[/mm]
[mm]a^2+b^2\ge 2ab[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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also nochmal jetzt verstehe ich schon selbst nicht was ich wollte:
[mm] \vmat{y -G*x} [/mm] <= [mm] \vmat{ G } *\vmat{ x }
[/mm]
sei nun y-G*x = a
[mm] \parallel \vmat{a} \parallel_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{\vmat{a_{1}}^{2} + ... + \vmat{a_{n}}^{2}} [/mm] <= [mm] \wurzel{\vmat{x_{1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{i}}+\vmat{-sin}*\vmat{x_{j}})^{2} + \vmat{x_{i+1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{j}}+\vmat{+sin}*\vmat{x_{i}})^{2} + \vmat{x_{j+1}}^{2} + ... +
\vmat{x_{n}}^{2}}
[/mm]
so und jetzt wie soll mir das [mm] (a^{2}+b^{2}) [/mm] <= [mm] 2*(a^{2}+b{2}) [/mm] helfen.
bis dann
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Hallo victory,
> [mm]\vmat{y -G*x}[/mm] <= [mm]\vmat{ G } *\vmat{ x }[/mm]
>
> sei nun y-G*x = a
>
> [mm]\parallel \vmat{a} \parallel_{2}[/mm] = [mm]\wurzel{\vmat{a_{1}}^{2} + ... + \vmat{a_{n}}^{2}}[/mm]
> <= [mm]\wurzel{\vmat{x_{1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{i}}+\vmat{-sin}*\vmat{x_{j}})^{2} + \vmat{x_{i+1}}^{2} + ... + (\vmat{cos}*\vmat{x_{j}}+\vmat{+sin}*\vmat{x_{i}})^{2} + \vmat{x_{j+1}}^{2} + ... +
\vmat{x_{n}}^{2}}[/mm]
>
> so und jetzt wie soll mir das [mm](a^{2}+b^{2})[/mm] <=
> [mm]2*(a^{2}+b{2})[/mm] helfen.
Du hast ja da stehen:
[mm] (\vmat{cos}*\vmat{x_{i}}+\vmat{-sin}*\vmat{x_{j}})^{2}
[/mm]
und
[mm] (\vmat{cos}*\vmat{x_{j}}+\vmat{+sin}*\vmat{x_{i}})^{2}
[/mm]
dort kannst Du diese Beziehung verwenden.
Dann gilt noch [mm] cos^2+sin^2=1
[/mm]
und es steht das gewünschte da also
[mm] 2*x_i^2+2*x_j^2
[/mm]
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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