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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Gleichungssystem
[mm] \pmat{ a & 2a & 3a \\ 1 & 1 & a \\ 5a & a & 6a} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 6}
[/mm]
über [mm] \IR [/mm] mit dem Parameter a [mm] \in \IR. [/mm] Für welche Werte von a hat das System
a.) eine eindeutige Lösung? b.) mehrere Lösungen? c.) gar keine Lösung? |
hallo,
nach umformungen sieht die matrix bei mir wie folgt aus:
..... [mm] \pmat{ ay & + & az & = & 1 \\ 3ay & - & 6y & = & 0 \\ ax & - & ay & = & 0} [/mm] aus der zweiten zweile folgt dann a = 2.
was sagt mir das jetzt bezügl der obigen fragen?? habe ich jetzt dadurch (un-) endlich viele Lösungen oder gar keine lösungen??
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Hi... ...
also aus der 2. Zeile folgt nicht gezwungenermaßen, dass a=2 sein muss, denn bei y=0 kann a sein was es will und die 2. Zeile würde dennoch stimmen. Mann soll zunächst durch Umformungen auf die Werte für x,y,z kommen und dann die Grenzen für a finden, bei den das Gleichhungssystem a), b), c) erfüllt.
MFG
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Hallo solero,
bringe mal die erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 1 & 1 & a & | & 1\\ 5a & a & 6a & | & 6}$ [/mm] in Zeilenstufenform.
Ich erhalte - mal ohne Gewähr - [mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 0 & a & a & | & 1\\ 0 & 0 & a(2-a) & | & 2-a}$
[/mm]
Hier kannst du dann die Lösbarkeit in Abhängigkeit von a entscheiden
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
hi,
also wenn man die 3.zeile auflöst, erhält man a=1, was nun?? könnte man das dann auch in der obigen zeile einsetzen?
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Hallo,
Vorsicht,
in der dritten Zeile steht ja in Kurzform:
[mm] $a(2-a)\cdot{}z=2-a$
[/mm]
Nun darfst du im Falle [mm] $a\ne [/mm] 0$ [mm] \underline{und} $a\ne [/mm] 2$ durch $a(2-a)$ (Fall 1) teilen und hast [mm] $z=\frac{1}{a}$ [/mm]
Daraus kannst du die Werte für $x,y$ berechnen. Es gibt in diesem Falle also eine eindeutige Lösung
Nun musst du noch gucken, wie es sich für $a=0$ (Fall 2) und für
$a=2$ (Fall 3) verhält
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
sorry hab da noch ne frage bzgl. deiner berechneten matrix und zwar stimmt die mit meiner berechnet fast überein, nur steht bei mir in der 2.zeile für die dritte variable a(3-a)... hab das auch mehrmals überprüft und find den fehler nicht, kann sein, dass du dich verrechnet hast...
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ja, das stimmt - hab ich auch hier auf meinem Schmierzettel stehen.
Ist wohl bei Rumkopieren der Matrizen passiert ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Die Matrix sollte so aussehen:
[mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 0 & a & a(3-a) & | & 3-a\\ 0 & 0 & a(2-a) & | & 2-a} [/mm] $
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
jaaa genau!! so hab ichs auch!!
und wenn ich dann den wert z=1/a einsetze kommt folgendes raus: x=0, y=0 und z=1/a.
wäre dann somit der lösungsraum unendl??
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Hi,
> jaaa genau!! so hab ichs auch!!
> und wenn ich dann den wert z=1/a einsetze kommt folgendes
> raus: x=0, y=0 und z=1/a. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wäre dann somit der lösungsraum unendl??
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") was meinst du damit? unendlich dimensional?
Nein, denn [mm] \mathbb{L}=\{\vektor{0\\0\\\frac{1}{a}}\} [/mm] für jedes [mm] a\ne [/mm] 0,2
also für [mm] a\ne [/mm] 0,2 besteht die Lösung ja "nur" genau aus diesem einen Vektor
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
uppps sorry, meinte lösungsmenge;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Sa 02.06.2007 | | Autor: | solero |
und wie könnte man denn bei der c.) argumentieren?? denn in diesem fall hat man ja eine lösung...
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Hallo,
wenn Du jetzt für a einmal die 0 einsetzt und im nächsten Durchgang die 2 und hier jeweils die Lösungsmenge berechnest, erledigen sich b) und c) im Vorübergehen.
Gruß v. Angela
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Ich verstehe nicht ganz wie ich den Matrix mit a in eine Stufenform bringen kann. Könnt ihr mir helfen?
Wie man in 3. Zeile ein Null an erste Stelle schaft ist klar (das fünffache der ersten Zeile von dritte Zeile substrahieren). Und was kann man mit zweite Zeile machen? Und wie kommt es dazu dass in b (Ax=b) die a Eintragungen sind?
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Hallo Oleg,
also:
[mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 1 & 1 & a & | & 1\\ 5a & a & 6a & | & 6}$
[/mm]
Hier das $-5$fache der ersten Zeile zur dritten Zeile addieren und auch die erste Zeile zum $-a$fachen der zweiten Zeile addieren ergibt
[mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 0 & a & 3a-a^2 & | & 3-a\\ 0 & -9a & -9a & | & -9}$
[/mm]
Hier nun das $9$fache der zweiten zur dritten Zeile addieren:
[mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 0 & a & 3a-a^2 & | & 3-a\\ 0 & 0 & 18a-9a^2 & | & 18-9a}$
[/mm]
Dann in der zweiten Zeile $a$ ausklammern bei [mm] $3a-a^2$, [/mm] in der dritten [mm] $\cdot{}\frac{1}{9}$ [/mm] und dann $a$ ausklammern bei [mm] $2a-a^2$ [/mm] ergibt
[mm] $\pmat{ a & 2a & 3a & | & 3\\ 0 & a & a(3-a) & | & 3-a\\ 0 & 0 & a(2-a) & | & 2-a}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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