Matrix - Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mo 05.03.2007 | | Autor: | enkei |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matrix [mm] A=\pmat{ -1 & 3 & -1 \\ 3 & 6 & -2 \\ -1 & 3 & -1 }.
[/mm]
Welche Dimensionen haben Kern(A) und Bild(A). |
Also ich verstehe nicht genau was mit "Dimension" gemeint ist. Die Matrix ist singulär, besitzt aber einer von 0 verschiedene 2 reihige Unterdeterminante und besitzt daher den Rang 2. Aber wie soll ich daraus auf die Dimension von Kern und Bild schließen, bzw. was genau ist mit Dimension von Kern und Bild gemeint?
Waere dankbar für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Matrix [mm]A=\pmat{ -1 & 3 & -1 \\ 3 & 6 & -2 \\ -1 & 3 & -1 }.[/mm]
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> Welche Dimensionen haben Kern(A) und Bild(A).
> Also ich verstehe nicht genau was mit "Dimension" gemeint
> ist. Die Matrix ist singulär, besitzt aber einer von 0
> verschiedene 2 reihige Unterdeterminante und besitzt daher
> den Rang 2. Aber wie soll ich daraus auf die Dimension von
> Kern und Bild schließen, bzw. was genau ist mit Dimension
> von Kern und Bild gemeint?
Hallo,
Kern und Bild einer Matrix bzw. einer linearen Abbildung sind Vektorräume, haben also eine Basis und somit eine Dimension.
Kern [mm] A:=\{x\in \IR^3| Ax=0\}, [/mm] also alle Vektoren, welche von A auf die Null abgebildet werden.
Bild A:= [mm] \{Ax \in \IR^3| x\in \IR^3\}.
[/mm]
Da die Basisvektoren auf die Spaltenvektoren Deiner Matrix abgebildet werden, wird das Bild eben von diesen Spaltenvektoren erzeugt.
Es gilt: Rang A =dim(Bild A).
Weiter gilt: dim(Bild A)+dim(Kern A)= Dimension des Ausgangsraumes, hier also =3.
Ich hoffe, ich konnte Deine Frage beantworten.
Ich empfehle Dir, Dich noch einmal gründlich mit den Begriffen Kern und Bild vertraut zu machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mo 05.03.2007 | | Autor: | enkei |
Vielen Dank schonmal.
Was Bild und Kern ist, wusste ich schon, mir war nur nicht klar was genau mit Dimension gemeint war. Da hier der Rang 2 ist, ist also die Dimension des Bildes auch 2 und die des Kernes 1. Dies bedeutet doch nun das das Bild z.B. in der x,y Ebene liegt, also entweder nur 2 Komponenten besitzt oder eine der 3 Komponenten 0 ist.
Beim Kern bedeutet dies doch, dass es nur ein Punkt gibt der, auf den Nullpunkt abgebildet wird, das waere ja dann ausser dem Nullpunkt kein weiterer Vektor welcher auf den Nullpunkt abgebildet wird(hier).
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> Was Bild und Kern ist, wusste ich schon, mir war nur nicht
> klar was genau mit Dimension gemeint war. Da hier der Rang
> 2 ist, ist also die Dimension des Bildes auch 2 und die des
> Kernes 1.
Richtig.
Dies bedeutet doch nun das das Bild z.B. in der
> x,y Ebene liegt,
Oh nein!
Die xy-Ebene ist nur einer der vielen, vielen zweidimensionalen Unterräume des [mm] \IR^3!
[/mm]
Jedes Ebene durch den Nullpunkt ist ein zweidimensionaler Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Wenn Du im [mm] \IR^3 [/mm] also zwei beliebige, linear unabhängige Vektoren hast, spannen die beiden eine Ebene auf, einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3.
[/mm]
Um zu Deinem Beispiel zu gehen:
Das Bild von A wird aufgespannt von [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{3 \\ 6 \\ 3}, [/mm] also Bild [mm] A=<\vektor{-1 \\ 3 \\ -1},\vektor{3 \\ 6 \\ 3}>. [/mm] Mitnichten spielt sich das in der xy-Ebene ab.
> also entweder nur 2 Komponenten besitzt
Solche Vektoren mit nur zwei Komponenten findest Du im [mm] \IR^3 [/mm] gar nicht.
> Beim Kern bedeutet dies doch, dass es nur ein Punkt gibt
> der, auf den Nullpunkt abgebildet wird, das waere ja dann
> ausser dem Nullpunkt kein weiterer Vektor welcher auf den
> Nullpunkt abgebildet wird(hier).
Nein.
dim(Kern A)=1 bedeutet doch, daß der Kern von einem von Null verschiedenen Vektor aufgespannt wird. Was sind das für Gebilde, die von einem Vektor erzeugt werden? Geraden.
Die Situation, daß außer dem Nullvektor kein anderer auf die Null abgebildet wird, hast Du, wenn Du die Situation dim(Kern A)=0 vorliegen hast.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mo 05.03.2007 | | Autor: | enkei |
ok vielen dank. Jetzt hab ich alles verstanden.
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