Matrix -> NZSF < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Sa 15.05.2010 | | Autor: | mute311 |
| Aufgabe | | Matrix in NZSF umwandeln... |
Hallo!!! Es ist war eine einfache Frage, aber leider habe ich einen totalen Hänger bzw. fehlt mir irgendwie der Blick.
Ich muss folgende Matrix in eine NZSF bringen:
1 4 1
1 6 2
2 3 1
Ich komme einfach nicht auf die Lösung, obwohl ich weiß, dass folgendes zustande kommen soll:
x x x
0 x x
0 0 0
Bedanke mich im voraus.
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo!
> Matrix in NZSF umwandeln...
> Hallo!!! Es ist war eine einfache Frage, aber leider habe
> ich einen totalen Hänger bzw. fehlt mir irgendwie der
> Blick.
> Ich muss folgende Matrix in eine NZSF bringen:
>
> 1 4 1
> 1 6 2
> 2 3 1
>
> Ich komme einfach nicht auf die Lösung...
Warum nicht?
Was genau ist dein Problem? Rechne uns doch vor, was du bisher hast. Noch besser: Schreibe, was dir nicht gelingt. Meistens liegt es nicht daran "Das man einfach nicht auf die Lösung kommt", sondern das man etwas viel spezielleres nicht versteht.
So kannst du anfangen:
1 4 1
1 6 2
2 3 1
Nun die erste Zeile (-1) mal auf die zweite Zeile addieren.
Dann die erste Zeile (-2) mal auf die dritte Zeile addieren:
1 4 1
0 2 1
0 -5 -1
Nun du!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Sa 15.05.2010 | | Autor: | mute311 |
...so habe ich weiter gerechnet:
1 4 1 |-2*zeile 2
0 2 1
0 -5 -1 |2*zeile 3 + 5*zeile 2
1 0 -1
0 2 1
0 0 3 |:3
1 0 -1
0 2 1
0 0 1
...laut NZSF müsste die dritte Zeile, eine Nullzeile sein.
Es könnte auch sein, dass ich die Definition der NZSF fehl-interpretiere.
Ich brauche die Matrix in NZSF um eine Basis von Bild (A) und eine Basis von Kern (A) zu bestimmen im R³.
...wenn ich nun die Umformung weiter mache, komme ich hier hin:
1 0 -1 |+zeile 3
0 2 1 |-zeile 3
0 0 1
1 0 0
0 2 0 |:2
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
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Hallo mute311,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ...so habe ich weiter gerechnet:
>
> 1 4 1 |-2*zeile 2
> 0 2 1
> 0 -5 -1 |2*zeile 3 + 5*zeile 2
>
> 1 0 -1
> 0 2 1
> 0 0 3 |:3
>
> 1 0 -1
> 0 2 1
> 0 0 1
>
> ...laut NZSF müsste die dritte Zeile, eine Nullzeile
> sein.
> Es könnte auch sein, dass ich die Definition der NZSF
> fehl-interpretiere.
>
> Ich brauche die Matrix in NZSF um eine Basis von Bild (A)
> und eine Basis von Kern (A) zu bestimmen im R³.
>
> ...wenn ich nun die Umformung weiter mache, komme ich hier
> hin:
>
> 1 0 -1 |+zeile 3
> 0 2 1 |-zeile 3
> 0 0 1
>
> 1 0 0
> 0 2 0 |:2
> 0 0 1
>
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 1
>
>
Die Umformungen sind soweit richtig.
Nach der Musterlösung läßt das darauf schließen,
daß hier eine andere Matrix A verwendet wurde.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Sa 15.05.2010 | | Autor: | mute311 |
Die Ausgangsmatrix A ist diese:
1 4 1
1 6 2
2 3 1
Diese wurde, wie man in den anderen Mitteilungen sehen kann, umgegeformt zu:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ich brauche aber eine NZSF
x x x
0 x x
0 0 0
..., weil ich eine Basis von Bild(A) und eine Basis von Kern (A) bestimmen möchte.
Ich gehe davon aus, dass bei einer NZSF die dritte Zeile, eine Nullzeile sein müsste. Aber ich möchte auch ganz ehrlich sein. Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Eigenschaft der NZSF richtig verstanden habe.
Meine Lösungsstrategie für
1.) Basis von Kerrn (A) und
2.) Basis von Bild (A) ist nämlich folgende:
zu 1.)
- Ausgangsmatrix in NZSF umwandeln
- Nicht- und Kopfvariablen von Matrix in NZSF bestimmen
- Gleichungen nach den Kopfvariablen auflösen mit dem Resulat, ein Ergebnis mit den Kopfvariablen als Linearkombination mit den Nicht-Kopfvariablen zu erhalten
- daraus kann dann eine Basis von Kern (A) bestimmt werden
zu 2:)
- Ausgangsmatrix in NZSF umwandeln
- Kopfvariablen von Matrix in NZSF bestimmen
- daraus die entsprechenden Spalten aus Ausgangsmatrix auswählen
Dafür benötigte ich halt die NZSF und bin aber leider nicht in der Lage, diese zuformen.
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> Die Ausgangsmatrix A ist diese:
>
> 1 4 1
> 1 6 2
> 2 3 1
>
> Diese wurde, wie man in den anderen Mitteilungen sehen
> kann, umgegeformt zu:
>
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 1
>
> Ich brauche aber eine NZSF
>
> x x x
> 0 x x
> 0 0 0
Hallo,
.
Die von Dir gewünschte NZSF wirst Du nicht bekommen, denn Deine matrix hat nunmal den Rang 3, woran es nichts zu drehen gibt.
Aber Du kannst doch trotzdem Bild und Kern bestimmen:
An der ZSF siehst Du, daß die Lösung von Ax=0 eindeutig ist. Also ist der Nullvektor die einzige Lösung des Systems.
damit besteht der Kern nur aus dem Nullvektor.
Der ZSF entnimmst Du weiter, daß die drei Spaltenvektoren linear unabhängig sind.
Das Bild hat also die Dimension 3. Und welches ist der einzige Unterraum des [mm] \IR^3, [/mm] der die Dimension 3 hat?
> Meine Lösungsstrategie für
> 1.) Basis von Kerrn (A) und
> 2.) Basis von Bild (A) ist nämlich folgende:
>
> zu 1.)
> - Ausgangsmatrix in NZSF umwandeln
> - Nicht- und Kopfvariablen von Matrix in NZSF bestimmen
> - Gleichungen nach den Kopfvariablen auflösen mit dem
> Resulat, ein Ergebnis mit den Kopfvariablen als
> Linearkombination mit den Nicht-Kopfvariablen zu erhalten
> - daraus kann dann eine Basis von Kern (A) bestimmt
> werden
Hier sind alle Variablen Kopfvariablen.
Auflösen ergibt [mm] x_1=x_2=x_3=0.
[/mm]
Die Lösung ist eindeutig. es gibt hier keine freien Variablen.
>
> zu 2:)
> - Ausgangsmatrix in NZSF umwandeln
> - Kopfvariablen von Matrix in NZSF bestimmen
> - daraus die entsprechenden Spalten aus Ausgangsmatrix
> auswählen
Kopfvariablen sind [mm] x_1, x_2, x_3.
[/mm]
Also ist die 1., 2., 3. Spalte zusammen eine Basis des Bildes.
> Dafür benötigte ich halt die NZSF
Du hast sie. es ist hier die Einheitsmatrix.
Gruß v. Angela
> und bin aber leider
> nicht in der Lage, diese zuformen.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 16.05.2010 | | Autor: | mute311 |
Also, ich hoffe ich erkläre dies verständlich:
- der Rang (A) = 3
- A ist surjektiv, da dass Bild (A) Teilmenge von R³ ist
- dim Bild (A) = 3 und dadurch ist Bild (A) = R³
...somit ist jede Basis von R³, eine Basis von Bild (A).
Die Basis von Bild (A) ist die "Einheitsmatrix"...
Basis Bild (A) = E =
1 0 0
0 , 1 , 0
0 0 1
> > Die Ausgangsmatrix A ist diese:
> >
> > 1 4 1
> > 1 6 2
> > 2 3 1
> >
> > Diese wurde, wie man in den anderen Mitteilungen sehen
> > kann, umgegeformt zu:
> >
> > 1 0 0
> > 0 1 0
> > 0 0 1
> >
> > Ich brauche aber eine NZSF
> >
> > x x x
> > 0 x x
> > 0 0 0
>
> Hallo,
>
> .
>
> Die von Dir gewünschte NZSF wirst Du nicht bekommen, denn
> Deine matrix hat nunmal den Rang 3, woran es nichts zu
> drehen gibt.
>
> Aber Du kannst doch trotzdem Bild und Kern bestimmen:
>
> An der ZSF siehst Du, daß die Lösung von Ax=0 eindeutig
> ist. Also ist der Nullvektor die einzige Lösung des
> Systems.
> damit besteht der Kern nur aus dem Nullvektor.
>
> Der ZSF entnimmst Du weiter, daß die drei Spaltenvektoren
> linear unabhängig sind.
> Das Bild hat also die Dimension 3. Und welches ist der
> einzige Unterraum des [mm]\IR^3,[/mm] der die Dimension 3 hat?
>
>
> > Meine Lösungsstrategie für
> > 1.) Basis von Kerrn (A) und
> > 2.) Basis von Bild (A) ist nämlich folgende:
> >
> > zu 1.)
> > - Ausgangsmatrix in NZSF umwandeln
> > - Nicht- und Kopfvariablen von Matrix in NZSF
> bestimmen
> > - Gleichungen nach den Kopfvariablen auflösen mit dem
> > Resulat, ein Ergebnis mit den Kopfvariablen als
> > Linearkombination mit den Nicht-Kopfvariablen zu erhalten
> > - daraus kann dann eine Basis von Kern (A) bestimmt
> > werden
>
> Hier sind alle Variablen Kopfvariablen.
> Auflösen ergibt [mm]x_1=x_2=x_3=0.[/mm]
>
> Die Lösung ist eindeutig. es gibt hier keine freien
> Variablen.
>
> >
> > zu 2:)
> > - Ausgangsmatrix in NZSF umwandeln
> > - Kopfvariablen von Matrix in NZSF bestimmen
> > - daraus die entsprechenden Spalten aus Ausgangsmatrix
> > auswählen
>
> Kopfvariablen sind [mm]x_1, x_2, x_3.[/mm]
> Also ist die 1., 2., 3.
> Spalte zusammen eine Basis des Bildes.
>
>
> > Dafür benötigte ich halt die NZSF
>
> Du hast sie. es ist hier die Einheitsmatrix.
>
> Gruß v. Angela
>
>
> > und bin aber leider
> > nicht in der Lage, diese zuformen.
> >
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> Also, ich hoffe ich erkläre dies verständlich:
>
> - der Rang (A) = 3
Hallo,
ja.
Rang= Dimension des Bildes.
Also hat das Bild die Dimension 3.
Da wir in den [mm] \IR^3 [/mm] abbilden, ist A somit surjektiv, und das Bild ist der komplette [mm] \IR^3.
[/mm]
> - A ist surjektiv, da dass Bild (A) Teilmenge von R³ ist
> - dim Bild (A) = 3 und dadurch ist Bild (A) = R³
s.o.
> ...somit ist jede Basis von R³, eine Basis von Bild (A).
Ja.
>
> Die Basis von Bild (A) ist die "Einheitsmatrix"...
das ist natürlich Quatsch. Aber Du setzt ja Gänsefüßchen.
>
>
> Basis Bild (A) = E =
>
> 1 0 0
> 0 , 1 , 0
> 0 0 1,
die drei Standardeinheitsvektoren.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 So 16.05.2010 | | Autor: | mute311 |
Vielen Dank für eure Hilfe. Besonders geht ein herzlicher Dank an dir, Angela.
Deine Korrekturen sind mir eine große Hilfe. Damit meine ich auch die Bezeichnungen. Jetzt weiß ich auch, warum ich bei den Hausaufgaben immer Formpunkte abgezogen bekomme.
Nochmals Danke.
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