Matrix - Strukturtafeln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Berechnen Sie die Strukturtafeln von [mm] [red][b](M(2;\IZ_{2});+;\circ)[/b][/red], [/mm] den 2x2-Matrizen
A = [mm] \pmat{ z1 & z2 \\ z3 & z4 }
[/mm]
mit Koeffizienten in [mm] \IZ_{2} [/mm] und den Operationen:
[mm] \pmat{ z1 & z2 \\ z3 & z4 } \pmat{ w1 & w2 \\ w3 & w4 } [/mm] := [mm] \pmat{ z1 + w1 z2 + w2 \\ z3 + w3 z4 + w4 }
[/mm]
[mm] \pmat{ z1 & z2 \\ z3 & z4 } \circ \pmat{ w1 & w2 \\ w3 & w4 } [/mm] := [mm] \pmat{ z1w1 + z2w3 z1w2 + z2w4 \\ z3w1 + z4w3 z3w2 + z4w4}
[/mm]
Zeigen Sie, dies ist ein Ring. Ist dies ein Körper?
Servus,
leider weiß ich nicht, was ich unter rot markierten (s.o.) verstehen sollte und wie ich mit dieser Aufgabe vorgehen sollte bzw. weiß ich nicht wie sich die Strukturtafeln für diese Aufgabe aussehen sollte. Ich freue mich über eure Tipps und Ratschlägen.
Besten Grüße,
dreamhigh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo dreamhigh,
dein Themenstart ist teilweise etwas schwierig zu entziffern (ist ja mit LaTeX und Matrizen auch nicht ganz einfach  ). Vor dem Hintergrund, dass dir die eigentliche Aufgabenstellung nichts sagt und vor dem Hintergrund, dass du über Verknüpfungstafeln argumentieren sollst, ist es auch nicht ganz einfach, eine erschöpfende Antwort zu geben.
Eine Strukturtafel bzw. Verknüpfungstafel stellt die Resultate jeder möglichen Rechnung bezüglich der bzw. einer Verknüpfung der Struktur in Tabellenform dar. Sowas müsstest du in deinen Unterlagen oder auch bei Wikipedia finden.
Das fiese hier ist die Schreibarbeit. Da die Einträge der Matrizen aus Nullen und Einsen bestehen, besitzt diese Struktur [mm] 2^4=16 [/mm] Elemente. Jede der beiden Tafeln ist also eine 16x16-Tabelle plus Zeilen- und Spaltenköpfe.
Jetzt schaue dir die beiden Rechenarten mal genauer an. Liegt das Ergebnis jeder Addition wieder in der Struktur (beachte 1+1=0 in [mm] \IZ_2). [/mm] Wie sieht es mit der Assoziativität, der Inversenbildung sowie mit der Kommutativität aus? Nutze hier, dass sämtliche anfallenden Rechnungen in [mm] (\IZ_2;+;*) [/mm] ablaufen, was nicht nur ein Ring sondern sogar ein Körper ist.
Jetzt zur Multiplikation. Hier musst du das gleiche Prozedere nochmals durchlaufen. Damit das ganze ein Ring wird, sollte es für die Multiplikation ein neutrales Element geben, für einen Körper darüber hinaus bis auf das Nullelement der Addition auch ein Inverses. Außerdem muss in einem Körper die Multiplikation ebenfalls kommutativ sein und es muss das Distributivgesetz
A*(B+C)=A*B+A*C
gelten.
Vielleicht aber solltest du für dich zunächst klären, auf welche bekannten Sätze du zurückgreifen darfst. Ich fürchte, nicht auf sonderlich viele, sonst müsste man hier wohl nicht mit Verknüpfungstafeln arbeiten. Aber solltest du fündig werden, könntest du dir u.U. eine Menge Arbeit sparen.
Ich kann nicht umhin, meine persönliche Meinung kundzutun und die Aufgabe tendenziell unter 'Beschäftigungstherapie' einzuordnen. Nichtsdestotrotz hoffe ich, dir die eine oder andere Anregung gegeben zu haben, damit du mal eine Vorstellung hast, worum es geht.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
