Matrix - komplexe Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:23 Sa 15.07.2006 | | Autor: | TwoPi |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Verständnisfrage:
Es geht um Matrizen mit komplexen Eigenwerten. Diese kann man mit Hilfe einer Orthonormalbasis laut Vorlesung auf folgende Form bringen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos \alpha & -sin \alpha \\ 0 & sin \alpha & cos \alpha}
[/mm]
Diese Form ist aber gleichbedeutend mit:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & Re \lambda_1 & -Im \lambda_1\\ 0 & Im \lambda_1& Re \lambda_1}
[/mm]
Wobei [mm] \lambda_1 [/mm] einer der beiden komplexen Eigenwerte ist, da ja immer, wenn ein Eigenwert komplex ist, auch sein Komplex-konjugiertes ein Eigenwert ist.
Stimmt das bis hierher?
So wenn ich nun die Orthonormalbasis, die mir aus der gegebenen Matrix diese gewünschte Form macht, berechnen soll, weiß ich nicht mehr so ganz ob das stimmt, was ich mir überlegt habe:
Ich hab mir das alles mal für 3x3-Matrizen überlegt, bei denen ein Eigenwert reel und die anderen beiden komplex sind:
Die ONB, die ich suche, besteht im Normalfall aus drei Vektoren. Diese Vektoren müsste ich doch so bestimmen können:
1. Bestimmen einer Basis aus den eigenvektoren von jedem Eigenwert: liefert drei Vektoren
2. Orthonormalisieren dieser Vektoren nach Schmidt
Bekomme ich so die richtige Basis?
Danke für eure Hilfe!
TwoPi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 22.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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