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Hallo! Ich habe eine Frage zum Thema lineare Abbildungen und die dazugehörenden Matrizen. Es geht hauptsächlich darum, das jeweilige Gegenstück zu bestimmen.
Wie man mit Hilfe einer gegebenen Abbildung (f: V -> W) und den Basen A und B zur Matrix kommt, weiß ich (hoffentlich :) ):
1. Die Abbildungsvorschrift auf die Vektoren der Basis A anwenden.
2. Die erhaltenen Vektoren als Linearkombination mit den Vektoren der Basis B darstellen.
3. Die erhaltenen Koeffizienten als Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix verwenden.
Bsp.:
gegeben: id: V -> V, A=( [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 3 \\ 3}, \vektor{3 \\ 7 \\ 1} [/mm] ), B=( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] )
gesucht: Matrix [mm] M_{id, A, B}
[/mm]
1. [mm] id\vektor{1 \\ 2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}, id\vektor{2 \\ 3 \\ 3}=\vektor{2 \\ 3 \\ 3}, id\vektor{3 \\ 7 \\ 1}=\vektor{3 \\ 7 \\ 1}
[/mm]
2. [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 1 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + 2 * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + 1 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
analog mit den anderen beiden Vektoren
3. [mm] M_{id, A, B} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 1}
[/mm]
Meine Fragen nun: Stimmt die obige Vorgehensweise?
Und noch wichtiger: Wie sieht die entgegengesetzte Vorgehensweise aus, wenn ich also eine Matrix und zwei Basen vorgegeben habe und die Abbildung suche. Bitte auch schön schrittweise!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> Hallo! Ich habe eine Frage zum Thema lineare Abbildungen
> und die dazugehörenden Matrizen. Es geht hauptsächlich
> darum, das jeweilige Gegenstück zu bestimmen.
> Wie man mit Hilfe einer gegebenen Abbildung (f: V -> W)
> und den Basen A und B zur Matrix kommt, weiß ich
> (hoffentlich :) ):
>
> 1. Die Abbildungsvorschrift auf die Vektoren der Basis A
> anwenden.
> 2. Die erhaltenen Vektoren als Linearkombination mit den
> Vektoren der Basis B darstellen.
> 3. Die erhaltenen Koeffizienten als Spaltenvektoren der
> Darstellungsmatrix verwenden.
>
> Bsp.:
> gegeben: id: V -> V, A=( [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 3 \\ 3}, \vektor{3 \\ 7 \\ 1}[/mm]
> ), B=( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> )
> gesucht: Matrix [mm]M_{id, A, B}[/mm]
> > 1. [mm]id\vektor{1 \\ 2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}, id\vektor{2 \\ 3 \\ 3}=\vektor{2 \\ 3 \\ 3}, id\vektor{3 \\ 7 \\ 1}=\vektor{3 \\ 7 \\ 1}[/mm]
>
> 2. [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] = 1 * [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + 2 *
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + 1 * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> analog mit
> den anderen beiden Vektoren
>
> 3. [mm]M_{id, A, B}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 1}[/mm]
>
>
> Meine Fragen nun: Stimmt die obige Vorgehensweise?
Hallo,
ja.
> Und noch wichtiger: Wie sieht die entgegengesetzte
> Vorgehensweise aus, wenn ich also eine Matrix und zwei
> Basen vorgegeben habe und die Abbildung suche.
Sagen wir, Du hast die Basen A:=( [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}, \vektor{2 \\ 3 \\ 3}, \vektor{3 \\ 7 \\1}[/mm]) und
B=( [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ),
und die Abbildungsmatrix [mm] M_{A\to B}(f):=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 4 & 5& 6\\ 7 & 8& 9 }.
[/mm]
Zur Sicherheit, weil es so viele verschiedene Notationen gibt, die in Gebrauch sind:
Damit meine ich die Matrix der Abbildung f, welche die Funktionswerte von bzgl A gegebenen Vektoren in Koordinaten bzgl B ausgibt.
Man liest ab:
[mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 1})=\vektor{1 \\ 4 \\ 7}_B=1*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+4* \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+7 *\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=...
[/mm]
[mm] f(\vektor{2 \\ 3 \\ 3})=\vektor{2 \\ 5 \\ 8}_B=2*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+5* \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+5 *\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=...
[/mm]
[mm] f(\vektor{3 \\ 7 \\ 1})=\vektor{3 \\ 6 \\ 9}_B=3*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+6* \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+9 *\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=...
[/mm]
Im Prinzip könntest Du so fertig sein, wenn jedoch so etwas gefragt ist:
[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z}) =\vektor{... \\ ... \\ ...},
[/mm]
mußt Du noch gucken, wie man den Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] als linearkombination der Vektoren aus A darstellt.
Sei [mm] \vektor{x \\ y \\ z}= a\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 3}+c \vektor{3 \\ 7 \\1}
[/mm]
Dann ist
[mm] f(\vektor{x \\ y \\ z})=f(a\vektor{1 \\ 2 \\ 1}+b\vektor{2 \\ 3 \\ 3}+c \vektor{3 \\ 7 \\1})=af(\vektor{1 \\ 2 \\ 1})+bf(\vektor{2 \\ 3 \\ 3})+cf( \vektor{3 \\ 7 \\1})=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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Also ich kann dir leider nicht wirklich folgen.
Du schreibst z.B.:
[mm] f(\vektor{1 \\ 2 \\ 1})=\vektor{1 \\ 4 \\ 7}_B=1\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+4\cdot{} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+7 \cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=...
[/mm]
Aber das ist ja falsch und ich weiß nicht was du mit den "..." meinst.
Ich habe mal meine Unterlagen durchsucht und folgendes Bsp. gefunden:
gegeben: [mm] A=(\vektor{2\\-1}, \vektor{1\\1}) [/mm] Basis von [mm] \IR^{2}, B=(\vektor{1\\-1\\0}, \vektor{0\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1}) [/mm] Basis von [mm] \IR^{3}, [/mm] Darstellungsmatrix [mm] S=\pmat{2&0\\1&1\\0&-1}
[/mm]
[mm] L_{S,A,B}(v) [/mm] = w, [mm] v\in\IR^{2}, w\in\IR^{3}
[/mm]
v = [mm] \alpha_{1}\vektor{2\\1} [/mm] + [mm] \alpha_{2}\vektor{1\\1}
[/mm]
[mm] S*\vektor{\alpha_{1}\\\alpha_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{2\alpha_{1}\\\alpha_{1}+\alpha_{2}\\-\alpha_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{\mu_{1}\\\mu_{2}\\\mu_{3}}
[/mm]
=> w = [mm] 2\alpha_{1}\vektor{1\\-1\\0} [/mm] + [mm] (\alpha_{1}+\alpha_{2})\vektor{0\\1\\1} [/mm] - [mm] \alpha_{2}\vektor{1\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{2\alpha_{1} - \alpha_{2}\\-\alpha_{1} + \alpha_{2}\\\alpha_{1}}
[/mm]
v = [mm] \alpha_{1}\vektor{2\\-1} [/mm] + [mm] \alpha_{2}\vektor{1\\1} [/mm] = [mm] \vektor{2\alpha_{1} + \alpha_{2}\\-\alpha_{1} + \alpha_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{v_{1}\\v_{2}}
[/mm]
w = [mm] \vektor{ \bruch{ v_{1} }{ 3 } - \bruch{ 4v_{2} }{ 3 }\\v_{2}\\\bruch{(v_{1}-v_{2})}{3}} [/mm] => [mm] f\vektor{v_{1}\\v_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{ \bruch{ v_{1} }{ 3 } - \bruch{ 4v_{2} }{ 3 } \\ v_{2} \\ \bruch{v_{1}}{3} - \bruch{v_{2} }{3} }
[/mm]
Kann das stimmen? Außerdem verstehe ich die letzten beiden Schritte nicht!
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> Also ich kann dir leider nicht wirklich folgen.
> Du schreibst z.B.:
Hallo,
> [mm]f(\vektor{1 \\ 2 \\ 1})=\vektor{1 \\ 4 \\ 7}_B=1\cdot{}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+4\cdot{} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+7 \cdot{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=...[/mm]
>
> Aber das ist ja falsch
Was meinst Du damit? Was ist falsch?
> und ich weiß nicht was du mit den
> "..." meinst.
Ich meinte, daß Du das Ergebnis der Summation ausrechnen solltest.
Möglicherweise liegt ein Mißverständnis vor: das Beispiel, das ich brachte, war keins zum Durchlesen und Nicken, sondern eines zum (angeleiteten) Durcharbeiten, an dessen Ende dann die Funktionsvorschrift bzgl. der Standardbasis steht. Da ist also durchaus was zu rechnen.
Gruß v. Angela
>
>
> Ich habe mal meine Unterlagen durchsucht und folgendes Bsp.
> gefunden:
>
> gegeben: [mm]A=(\vektor{2\\-1}, \vektor{1\\1})[/mm] Basis von
> [mm]\IR^{2}, B=(\vektor{1\\-1\\0}, \vektor{0\\1\\1}, \vektor{1\\0\\1})[/mm]
> Basis von [mm]\IR^{3},[/mm] Darstellungsmatrix
> [mm]S=\pmat{2&0\\1&1\\0&-1}[/mm]
>
> [mm]L_{S,A,B}(v)[/mm] = w, [mm]v\in\IR^{2}, w\in\IR^{3}[/mm]
> v =
> [mm]\alpha_{1}\vektor{2\\1}[/mm] + [mm]\alpha_{2}\vektor{1\\1}[/mm]
>
> [mm]S*\vektor{\alpha_{1}\\\alpha_{2}}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\alpha_{1}\\\alpha_{1}+\alpha_{2}\\-\alpha_{2}}[/mm] =
> [mm]\vektor{\mu_{1}\\\mu_{2}\\\mu_{3}}[/mm]
>
> => w = [mm]2\alpha_{1}\vektor{1\\-1\\0}[/mm] +
> [mm](\alpha_{1}+\alpha_{2})\vektor{0\\1\\1}[/mm] -
> [mm]\alpha_{2}\vektor{1\\0\\1}[/mm] = [mm]\vektor{2\alpha_{1} - \alpha_{2}\\-\alpha_{1} + \alpha_{2}\\\alpha_{1}}[/mm]
>
> v = [mm]\alpha_{1}\vektor{2\\-1}[/mm] + [mm]\alpha_{2}\vektor{1\\1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\alpha_{1} + \alpha_{2}\\-\alpha_{1} + \alpha_{2}}[/mm]
> = [mm]\vektor{v_{1}\\v_{2}}[/mm]
>
> w = [mm]\vektor{ \bruch{ v_{1} }{ 3 } - \bruch{ 4v_{2} }{ 3 }\\v_{2}\\\bruch{(v_{1}-v_{2})}{3}}[/mm]
> => [mm]f\vektor{v_{1}\\v_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{ \bruch{ v_{1} }{ 3 } - \bruch{ 4v_{2} }{ 3 } \\ v_{2} \\ \bruch{v_{1}}{3} - \bruch{v_{2} }{3} }[/mm]
>
> Kann das stimmen? Außerdem verstehe ich die letzten beiden
> Schritte nicht!
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