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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Do 27.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Wenn A eine quadratische Matrix der n-Ordnung ist, welche der folgenden Thesen ist IMMER richtig:
a) Wenn det(A) = 0 und y [mm] \not= [/mm] 0 ist, dann hat das System Ax=y immer unendlich viele Lösungen
b) Wenn det(A) = 0 ist, dann hat das System Ax=0 immer unendlich viele Lösungen
c) Wenn det(A) = 0 und [mm] y\not= [/mm] 0 ist, dann hat das System Ax=y keine Lösung
d) Wenn det(A) [mm] \not= [/mm] 0 ist, dann hat das System Ax=0 keine Lösungen |
Hallo alle zusammen!
Also Antwort d kann ich ausschließen, denn, betrachte ich das System:
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
So ist dies sehr wohl lösbar.
Zu c):
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 } [/mm] * [mm] \pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Dieses System dürfte unendlich viele Lösungen haben, Zeile 1-2 sind lin. abhängig und somit habe ich 2 Gleichungen und 3 Unbekannte.
Jetzt wird es schwierig, denn wenn ich jetzt a) und b) vergleiche:
Eine Matrix mit einem nicht vollem Rang und einmal einem Lösungsvektor y welche ungleich 0 ist und einmal einem 0 Vektor; von mir aus gesehen haben doch beide immer unendlich viele Lösungen, oder etwa nicht?
PS: Die Aufgabe wurde aus dem Ital. übersetzt, ich hoffe ich habe mich nicht vertan. Es sollte eine der 4 Angaben richtig sein.
Dankesehr
lg
Zuggel
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> Wenn A eine quadratische Matrix der n-Ordnung ist, welche
> der folgenden Thesen ist IMMER richtig:
>
> a) Wenn det(A) = 0 und y [mm]\not=[/mm] 0 ist, dann hat das System
> Ax=y immer unendlich viele Lösungen
> b) Wenn det(A) = 0 ist, dann hat das System Ax=0 immer
> unendlich viele Lösungen
> c) Wenn det(A) = 0 und [mm]y\not=[/mm] 0 ist, dann hat das System
> Ax=y keine Lösung
> d) Wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0 ist, dann hat das System Ax=0 keine
> Lösungen
> Hallo alle zusammen!
>
> Also Antwort d kann ich ausschließen, denn, betrachte ich
> das System:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> So ist dies sehr wohl lösbar.
>
> Zu c):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> Dieses System dürfte unendlich viele Lösungen haben,
Hallo,
der Sache solltest Du etwas genauer auf den Grund gehen.
Das hat nämlich nicht unendlich viele Lösungen.
Hingegen trifft dies auf
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\2 \\ 1 }[/mm]
zu.
Zeile
> 1-2 sind lin. abhängig und somit habe ich 2 Gleichungen und
> 3 Unbekannte.
a) dürfte sich hiermit auch erledigt haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Do 27.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
> > Wenn A eine quadratische Matrix der n-Ordnung ist, welche
> > der folgenden Thesen ist IMMER richtig:
> >
> > a) Wenn det(A) = 0 und y [mm]\not=[/mm] 0 ist, dann hat das System
> > Ax=y immer unendlich viele Lösungen
> > b) Wenn det(A) = 0 ist, dann hat das System Ax=0 immer
> > unendlich viele Lösungen
> > c) Wenn det(A) = 0 und [mm]y\not=[/mm] 0 ist, dann hat das
> System
> > Ax=y keine Lösung
> > d) Wenn det(A) [mm]\not=[/mm] 0 ist, dann hat das System Ax=0
> keine
> > Lösungen
> > Hallo alle zusammen!
> >
> > Also Antwort d kann ich ausschließen, denn, betrachte ich
> > das System:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> >
> > So ist dies sehr wohl lösbar.
> >
> > Zu c):
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
> > = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
> >
> > Dieses System dürfte unendlich viele Lösungen haben,
>
> Hallo,
>
> der Sache solltest Du etwas genauer auf den Grund gehen.
> Das hat nämlich nicht unendlich viele Lösungen.
Da hast du wohl Recht. Ich dachte mir eigentlich, dass man die 2. Zeile bei einer lin. Abhängigkeit völlig auser Acht lassen könnte.
>
> Hingegen trifft dies auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 \\2 \\ 1 }[/mm]
>
> zu.
>
>
Wie bist du eigentlich dahinter gekommen, dass du in der 2. Zeile eine 2 brauchst?
>
> Zeile
> > 1-2 sind lin. abhängig und somit habe ich 2 Gleichungen und
> > 3 Unbekannte.
>
> a) dürfte sich hiermit auch erledigt haben.
Somit ist Lösung b die Richtige.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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> > > Zu c):
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
> > > = [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
> > Das hat nämlich nicht unendlich viele Lösungen.
> > Hingegen trifft dies auf
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm]
> > = [mm]\pmat{ 1 \\2 \\ 1 }[/mm]
> >
> > zu.
> >
> >
>
> Wie bist du eigentlich dahinter gekommen, dass du in der 2.
> Zeile eine 2 brauchst?
Na, das war kein Hexenwerk.
Die erste Zeile steht ja für
1*x+2*y+3*z=1,
und wenn ich die Gleichung jetzt komplett mit 2 multipliziere, habe ich 2*x+4*y+6*z=2, also meine 2.Zeile.
Da meine erste und zweite Zeile äquivalent sind, könnte ich auf eine der beiden Gleichungen verzichten, ohne Informationen zu verlieren. Es ist mir gelungen, eine völlig überflüssige Gleichung einzubauen.
Das System
1*x+2*y+3*z=1,
8*x+3*y+9*z=1,
also
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm] = [mm][mm] \pmat{ 1 \\1 },
[/mm]
hat denselben Lösungsraum wie
[mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 3 & 9 }[/mm] * [mm]\pmat{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }[/mm] = [mm][mm] \pmat{ 1 \\2 \\ 1 }
[/mm]
> Somit ist Lösung b die Richtige.
>
Ja.
Falls Ihr das hattet, erscheint es mir sinnvoll, wenn Du Dir anschaust, wie Rang der Koeffizientenmatrix, Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix mit der Lösbarkeit v. linearen Gleichungssystemem verbunden ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Zuggel |
Da hast du natürlich Recht! Eben, die Theorie fehlt etwas in diesem Gebiet, werde mich mit Wikipedia etwas schaluer machen.
Mein Problem war es eben, dass ich nicht wusste, dass der Lösungsvektor auch in Abhängigkeit gebracht werden muss. Man lernt nie aus ;)
Dankesehr
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