Matrix, Basen, Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 22.01.2005 | | Autor: | KleinPhi |
Hallo,
nur mal so eine Verständnisfrage :
Ich habe eine 3x4 Matrix (3 Spalten und 4 Zeilen).
Zu bestimmten ist eine Teilfamilie von Spaltenvektoren, die eine Basis des von allen Spaltenverktoren erzeugten Raumes bilden.
Mein Ansatz ist die Matrix zu transponieren und dann jeweils 2 Zeilen auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen.
Liege ich da richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:02 So 23.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo KleinPhi!
(btw.: tolle Signatur!)
> Hallo,
> nur mal so eine Verständnisfrage :
> Ich habe eine 3x4 Matrix (3 Spalten und 4 Zeilen).
>
> Zu bestimmten ist eine Teilfamilie von Spaltenvektoren, die
> eine Basis des von allen Spaltenverktoren erzeugten Raumes
> bilden.
>
> Mein Ansatz ist die Matrix zu transponieren und dann
> jeweils 2 Zeilen auf lineare Unabhängigkeit zu prüfen.
>
> Liege ich da richtig ?
>
Ich fürchte nein. So einfach darf man nicht an einer Matrix "rumtransponieren"...
Wie du sicher schon erkannt hast, ist der erzeugt Raum maximal 3-dimensional, falls 3 von den 4 Vektoren linear unabhängig sind (der 4. ist immer linear abhängig aus Dimensionsgründen, sonst wäre der Zielraum 4-dimensional).
Die Frage an dich wäre jetzt, ob du ein bestimmtes Rechenbeispiel vor Augen hast, oder wie die genaue Aufgabenstellung lautet? Kannst du vielleicht noch etwas zu den Voraussetzungen sagen?
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 23.01.2005 | | Autor: | KleinPhi |
Also gegeben sei eine 3x4 Matrix über einem Körper K.
Beispiel :
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Gesucht wie gesagt eine Teilfamilie der Spalten, welche eine Basis des von allen Spalten erzeugten Unterraums von [mm] \IK_{4x1} [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 So 23.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Also gegeben sei eine 3x4 Matrix über einem Körper K.
>
> Beispiel :
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }
[/mm]
Mmh - wollte nur mal gerade anmerken, dass wir das als [mm] 4\times3-Matrix [/mm] definiert haben. Ihr nicht? Also bei uns geht die erste Zahl immer nach unten, gibt also die Anzahl der Zeilen an.
Oder verdrehe ich da jetzt gerade wieder mal was?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber KleinPhi
meiner Meinung nach hast du den Ansatz völlig richtig gemacht.
Nur, auch ich verstehe, wie Bastiane, unter einer 3x4-Matrix eine solche mit 3 Zeilen und vier Spalten, nicht umgekehrt.
Wenn von einem Erzeugendensystem ein Vektor mit Hilfe der anderen dargestellt werden kann, dann darf dieser Vektor vom Erzeugendensystem entfernt werden, und die Uebriggebliebenen erzeugen immer noch den Gleichen Voktorraum (Unterraum).
Ich deinem Beispiel gilt ja:
[mm] $S_1=S_2-S_3$ [/mm] oder
[mm] $S_2=S_1+S_3$ [/mm] oder
[mm] $S_3=S_2-S_1$
[/mm]
Somit darfst du schon mal [mm] $S_3$ [/mm] weglassen und dann weiter untersuchen, ob [mm] $S_1$ [/mm] und [mm] $S_2$ [/mm] linear abhängig sind. Wenn ja, kannst du mit dem Entfernen weiterfahren.
Mit lieben Grüssen
Paul
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