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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 So 09.12.2012 | | Autor: | Trollgut |
| Aufgabe | Sei [mm] n\in \IN [/mm] und V = [mm] M_{n}(\IR) [/mm] und: K := {B [mm] \in [/mm] V | [mm] B^{t} [/mm] = B}, wobei [mm] B^{t} [/mm] die transponierte Matrix von B ist.
Zeige: dim(K) = [mm] \bruch{1}{2} *(n^2 [/mm] + n) |
Hallo,
obige Aufgabe bereitet mir Schwirigkeiten. Rein logisch ist mir das zu zeigende klar:
Die Anzahl der Elemente einer Basis von K setzt sich zusammen aus der Anzahl der Elemente der Hauptdiagonalen (also n) + der Anzahl der Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (also: [mm] \summe_{i=1}^{n-1}i). [/mm] Damit ist:
dim(K)= n + [mm] \summe_{i=1}^{n-1}i.
[/mm]
Wobei ich mit dem kleinen Gauß auch auf die gewünschte Anzahl komme.
Nur ist mir jetzt natürlich nicht klar wie ich das ganze in Beweisform aufschreiben könnte und hoffe, dass mir hier jemand behilflich sein kann.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 09.12.2012 | | Autor: | Trollgut |
Hat mir jemand noch eine Idee? Oder kann ich das vielleicht auch gar nicht wirklich zeigen und ich muss es einfach nur beschreiben wie man auf den Wert kommt?
Gruß Trollgut
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Mo 10.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Trollgut,
> obige Aufgabe bereitet mir Schwirigkeiten. Rein logisch ist
> mir das zu zeigende klar:
>
> Die Anzahl der Elemente einer Basis von K setzt sich
> zusammen aus der Anzahl der Elemente der Hauptdiagonalen
> (also n) + der Anzahl der Elemente unterhalb der
> Hauptdiagonalen (also: [mm]\summe_{i=1}^{n-1}i).[/mm] Damit ist:
>
> dim(K)= n + [mm]\summe_{i=1}^{n-1}i.[/mm]
>
> Wobei ich mit dem kleinen Gauß auch auf die gewünschte
> Anzahl komme.
>
> Nur ist mir jetzt natürlich nicht klar wie ich das ganze
> in Beweisform aufschreiben könnte und hoffe, dass mir hier
> jemand behilflich sein kann.
Gib eine konkrete Basis mit der gewünschten Elementezahl an und zeige, dass tatsächlich eine Basis vorliegt.
Sei etwa für [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] die Matrix [mm] $B_{ij}$ [/mm] die [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix reeller Zahlen, die an den Stellen $(i,j)$ und $(j,i)$ eine 1 und an allen anderen Stellen Nullen hat.
Zeige: [mm] $(B_{ij})_{i\ge j}$ [/mm] ist eine Basis von $K$ mit der gewünschten Elementezahl.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Mo 10.12.2012 | | Autor: | Trollgut |
Hallo Tobias,
danke für deine Antwort. Habe es mal mit einer Induktion nach n versucht. Deine Version wäre wohl die vom Aufgabensteller vorgesehene gewesen. Aber was solls ;).
Gruß Trollgut
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