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| Aufgabe | | u, v, w seien orthonormale Eigenvektoren und [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} [/mm] die dazugehörigen Eigenwerte von Matrix M. L ist eine quadratische Matrix mit den Spalten u, v, w. Zeige, dass [mm] L^{T}(ML) [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Hallo,
komme mit der Aufgabe nicht so ganz zurecht.
Mein Lösungsweg ist glaube ich zu aufwendig:
Matrix M ist unbekannt. Könnte man mit
[mm] M=L*S*L^{-1}
[/mm]
Wobei [mm] L=\pmat{ u1 & v1 & w1 \\ u2 & v2 & w2 \\ u3 & v3 & w3}
[/mm]
und [mm] S=\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{3}}
[/mm]
danach würde ich
M in die Gleichung [mm] L^{T}(ML) [/mm] einsetzen und hoffen das eine Diagonalmatrix dabei herum kommt.
Das ist aber ein bisschen aufwendig und ich kann mir nicht so recht vorstellen, dass das der richtige, oder zumindest einzige, Weg ist.
Gibt es noch andere und kürzere Lösungsansätze, ohne alles auszumultiplizieren???
Danke,
Bernd
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> u, v, w seien orthonormale Eigenvektoren und [mm]\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}[/mm]
> die dazugehörigen Eigenwerte von Matrix M. L ist eine
> quadratische Matrix mit den Spalten u, v, w. Zeige, dass
> [mm]L^{T}(ML)[/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Hallo,
auf jeden Fall steht in der ersten Spalte von [mm] L^{T}(ML) [/mm] der Vektor [mm] L^{T}(ML)e_1, [/mm] die beiden anderen Spalten entsprechend.
Du weißt
[mm] Mu=\lambda_1u, [/mm]
die beiden anderen entsprechend.
Es ist [mm] L:=(u\quad v\quad [/mm] w),
[mm] L^{T}=\vektor{u^{T}\\v^{T}\\w^{T}},
[/mm]
u,w,v sind paarweise orthogonal.
Nun leg los und erobere Dir die erste Spalte von [mm] L^{T}(ML):
[/mm]
es ist
[mm] L^{T}(ML)e_1= L^{T}M (Le_1)=L^{T}Mu=...
[/mm]
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $ML=(\lambda_1u, \lambda_2 [/mm] v, [mm] \lambda_3 [/mm] w)$
FRED
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