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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Di 08.01.2008 | | Autor: | fkerber |
| Aufgabe | Sei n>0 und A [mm] \in \IR^{n\times(n+1)} [/mm] mit Rang(A) =n. Sei [mm] B=((-1)^j detA_j) \in \IR^{(n+1)\times1}, [/mm] wobei [mm] A_j [/mm] aus A durch Streichen der j-ten Spalte entsteht. Zeigen Sie, dass
Ker(A) = Bild(B) |
Hi!
Mal kurz zu dem, was ich glaube zu wissen. Also der Kern von A sind alle die Vektoren x, wobei Ax = 0. Das Bild von B ist ja auch ein (Unter-)Vektorraum) und wird von den Spalten von B (je als einzelne Vektoren betrachtet) aufgespannt. Um eine Basis von B zu bekommen, muss man dann noch die linear abhängigen eliminieren.
Ist das soweit richtig?
Jetzt zu meinen div. Problemen:
Also die [mm] det(A_j) [/mm] ist doch eine einfache Zahl, oder? [mm] (-1)^j [/mm] kann auch nur -1 oder 1 sein? Wenn B nun [mm] \in \IR^{(n+1)\times 1} [/mm] ist, dann heißt doch, dass die Matrix n+1 Zeilen und nur eine Spalte hat, oder?
Bedeutet das dann, dass ich da eine Matrix habe, die lauter gleiche Einträge hat? Also mal gesetzt den Fall [mm] (-1)^j [/mm] det [mm] A_j [/mm] wäre 2, und n=3, sähe B dann so aus:
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] ?
Jetzt mal gesetzt den Fall, dem wäre so, dann wäre doch das Bild von B ein Vektorraum, der aufgespannt wird durch die Basis, die diesen einen Vektor enthält (im Bsp. von oben [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}) [/mm] ?
Für alles Weitere fehlen mir gänzlich die Ideen. Da ich ja A nicht wirklich kenne, kann ich ja auch keine Vektoren finden, die bei Multiplikation den Nullvektor ergeben...
Irgendwie mangelt es mir an Grundverständnis, glaube ich...
Ciao, fkerber
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei n>0 und A [mm]\in \IR^{n\times(n+1)}[/mm] mit Rang(A) =n. Sei
> [mm]B=((-1)^j detA_j) \in \IR^{(n+1)\times1},[/mm] wobei [mm]A_j[/mm] aus A
> durch Streichen der j-ten Spalte entsteht. Zeigen Sie, dass
> Ker(A) = Bild(B)
Hallo,
> Also der Kern
> von A sind alle die Vektoren x, wobei Ax = 0.
Ja.
A ist eine nx(n+1)-Matrix.
Sie beschreibt also eine Abbildung aus dem [mm] \IR^{n+1} [/mm] in den [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Das bedeutet: Kern A ist eine Teilmenge des [mm] \IR^{n+1}.
[/mm]
> Das Bild von
> B ist ja auch ein (Unter-)Vektorraum)
Fragt sich: wovon?
Schauen wir mal nach und klären dabei gleich ein Mißverständnis:
B ist eine (n+1)x1 Matrix, also eine Spalte, und beschreibt eine Abbildung aus dem [mm] \IR [/mm] in den [mm] \IR^{n+1}, [/mm] d.h. BildB ist eine Teilmenge des [mm] \IR^{n+1}, [/mm]
> und wird von den
> Spalten von B (je als einzelne Vektoren betrachtet)
> aufgespannt. Um eine Basis von B zu bekommen, muss man dann
> noch die linear abhängigen eliminieren.
und da die Matrix nur eine Spalte hat, ist die Elimination der Abhängigen nicht sehr umfangreich ...
> Jetzt zu meinen div. Problemen:
> Also die [mm]det(A_j)[/mm] ist doch eine einfache Zahl, oder?
Ja. Es ist die Determinante der Matrix, die aus A durch Streichen der j-ten Spalte entsteht.
> [mm](-1)^j[/mm] kann auch nur -1 oder 1 sein?
Ja.
> Wenn B nun [mm]\in \IR^{(n+1)\times 1}[/mm]
> ist, dann heißt doch, dass die Matrix n+1 Zeilen und nur
> eine Spalte hat, oder?
Genau.
> Bedeutet das dann, dass ich da eine Matrix habe, die lauter
> gleiche Einträge hat?
Nein, hier liegt das Mißverständnis.
Der Eintrag in der j-ten Zeile von B ist [mm] (-1)^jA_j.
[/mm]
Also ist B= [mm]\begin{pmatrix} -detA_1 \\ detA_2 \\ -detA_3 \\ ...\\ (-1)^{n+1}detA_{n+1} \end{pmatrix}[/mm] .
> Ideen
Das Bild von B ist ja nun bereits bekannt.
Fehlt noch der Kern v. A, also die Lösungsraum v. Ax=0
Tip: schau Dich mal bei der Cramerschen Regel um...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:53 Mi 09.01.2008 | | Autor: | fkerber |
Hi!
Danke schonmal: du schreibst:
>> Also ist B= [mm]\begin{pmatrix} -A_1 \\ A_2 \\ -A_3 \\ ...\\ (-1)^{n+1}A_{n+1} \end{pmatrix}[/mm] .
Müsste es dort nicht
Also ist B= [mm]\begin{pmatrix} -det(A_1) \\ det(A_2) \\ -det(A_3) \\ ...\\ (-1)^{n+1}det(A_{n+1}) \end{pmatrix}[/mm] .
heißen?
Über die Cramersche Regel werde ich mich schlau machen!
Vielen Dank!
Ciao, fkerber
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Natürlich!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Mi 09.01.2008 | | Autor: | fkerber |
Hallo!
Ich habe in meinen Büchern und bei Wiki u.a. mal versucht die Cramersche Regel zu verstehen.
Ich denke, es ist mir auch soweit klar, was ich bei einer konkreten Aufgabe zu tun hätte (Also wenn ich die Matrix kenne und halt die Lösung für Ax = b) suchen soll.
Allerdings hab ich keine Idee, wie mir das hier weiterhilft. In den Büchern steht auch meist nur dabei "für große Matrizen schlecht, da man viele Det. berechnen muss, aber für theoretische Überlegungen sehr gut geeignet".
Allerdings wird nirgendwo darauf eingegangen, wie.
Ich habe also leider nicht die geringste Ahnung, wie ich zeigen kann, dass dieser eine Vektor, den ich habe, gleichzeit auch der einzige ist, der im Kern von A enthalten ist...
Wäre toll, wenn ihr mir noch ein wenig auf die Sprünge helfen könntet!
Ciao, fkerber
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Hallo,
bei der Cramersache habe ich etwas schnell gedacht, also eine Sache nicht bedacht.
Es geht doch nicht so, wie ich zunächst meinte - allerdings glaube ich nicht, daß man Cramer schon ganz vergessen sollte.
Ich habe im Moment leider nicht so viel Zeit, weil ich mich in Kürze v. meine Schreibtisch trennen werde.
Ich selbst würde jetzt so weiterüberlegen - ohne Erfolgsgarantie:
1. Der Kern von A hat mindestens die Dimension 1, und man könnte versuchen, die Annahme, daß es einen weiteren, von dem "Determinantenvektor" linear unabhängigen Vektor gibt, der das System löst, zum Widerspruch zu führen.
2. Die Spalten v. A sind linear abhängig.
Gruß v. Angela
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Hallo,
manchmal lohnt es sich, die Aufgaben genau zu lesen...
In der Aufgabe steht: Rang A=n.
Damit weiß man ja schon, daß der Kern die Dimension 1 hat.
Wenn Du nun irgendwelche Gründe findest, aus denen Du glaubhaft versichern kannst, daß
i) [mm] B:=\begin{pmatrix} -det(A_1) \\ det(A_2) \\ -det(A_3) \\ ...\\ (-1)^{n+1}det(A_{n+1}) \end{pmatrix} [/mm] nicht der Nullvektor ist, und daß
ii) B die Gleichung löst,
bist Du also fertig.
Gruß v. Angela
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