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| Aufgabe | [mm] \IR^{2} [/mm] sei mit der Standardbasis [mm] \{\vektor{1 \\ 0} \vektor{0 \\ 1} \} [/mm] versehen. Man gebe die Matrizen der folgenden linearen Abbildungen an.
a) Drehung um den Winkel 90 Grad im Gegenuhrzeigersinn um [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
b) Eine entsprechende Drehung um 45 Grad.
c) Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten (also span [mm] \{\vektor{1 \\ 1} \} [/mm]
d) Spiegelung an der [mm] x_{2}-Achse [/mm] |
Ich weiß leider gar nicht wie ich damit beginnen soll , kann mir jemand vielleicht den ein oder anderen Zugang ermöglichen?
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Wenn du garnichts über die Abbildungen weißt, kannst du mit dem allgemeinen Ansatz starten, der da heißt:
[mm]\vec{x}' = A*\vec{x}+\vec{v}[/mm]
Dabei ist A die Abbildungsmatrix und [mm] \vec{v} [/mm] ein Verschiebungsvektor.
Wenn du schon weißt, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt, kannst du den Verschiebungsvektor weglassen (das ist dann der Nullvektor).
Ob du den brauchst, kannst du einfach testen, indem du den Nullvektor abbildest. Wenn der bei der Abbildung auf sich selbst abgebildet wird, brauchst du die Verschiebung nicht (bei dir also garnicht).
Du brauchst also nur noch: [mm]\vec{x}' = \pmat{ a & b \\ c & d }*\vec{x}[/mm]
Offenbar hast du 4 Unbekannte - um die zu berechnen, brauchst du 4 "Informationen" (Gleichungen). Du kannst dir also jetzt einfach Punkte nehmen, deren Bildpunkte ermitteln (ohne die Abbildungsmatrix) und in diese Gleichung einsetzen, und zwar so viele, wie du brauchst, um genügend viele Gleichungen zu bekommen.
Für die a) und b) würde ich aber fast schon empfehlen, dass du das einmal rechnest für eine Drehung um einen beliebigen Winkel. Die Bildpunkte bekommst du dann über einfache geometrische Beziehungen, wenn du dir mal ein Bildchen gemalt hast.
Was da herauskommen soll, findest du übrigens in vielen Büchern und natürlich auch im Internet - dann hast du eine Kontrollmöglichkeit für deine Ergebnisse/Ideen.
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