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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Mo 08.08.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Prüfen sie ob die folgende Matrix orthogonal ist:
$ [mm] A=\pmat{ \bruch{1}{2} & -\wurzel{\bruch{3}{2}} \\ \wurzel{\bruch{3}{2}} & \bruch{1}{2} } [/mm] $ |
Hallo,
so wie ich rausgefunden habe folgt die überprüfung so:
[mm] $A^t*A=1$ [/mm] Die 1 bedeutet Einheitsmatrix. Dies würde bei meiner Matrix folgendes Ergebnis liefern:
$ [mm] A=\pmat{ 1,75 & 0 \\ 0 & 1,75} [/mm] $
Aber das ist doch keine Einheitsmatrix oder? Eine Einheitsmatrix ist doch [mm] $A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Im Lösungsbuch steht ebenfalls als Lösung:
[mm] $A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
Jedoch habe ich alles mit Matlab überprüft welches mein Ergebnis liefert:
$ [mm] A=\pmat{ 1,75 & 0 \\ 0 & 1,75} [/mm] $
Finde meinen Fehler nicht.
Nach meinen Berechnungen und denen von Matlab ist die Determinante 1,75. Laut Lösungsbuch ist sie 1. Wieso?
Ebenfalls habe ich mir jetzt etliche Definitionen zu orthogonal und orthonormal durchgelesen aber noch nicht richtig verstanden. Kann mir das jemand ganz simpel mit so wenigen Fachwörtern sagen wo der Unterschied ist?  Wäre sehr nett.
Gruß und Danke im Voraus!
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Hallo Haiza,
> Prüfen sie ob die folgende Matrix orthogonal ist:
> [mm]A=\pmat{ \bruch{1}{2} & -\wurzel{\bruch{3}{2}} \\
\wurzel{\bruch{3}{2}} & \bruch{1}{2} }[/mm]
>
> Hallo,
> so wie ich rausgefunden habe folgt die überprüfung so:
> [mm]A^t*A=1[/mm] Die 1 bedeutet Einheitsmatrix. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Dies würde bei
> meiner Matrix folgendes Ergebnis liefern:
> [mm]A=\pmat{ 1,75 & 0 \\
0 & 1,75}[/mm]
> Aber das ist doch keine
> Einheitsmatrix oder?
Nein, ist es nicht!
> Eine Einheitsmatrix ist doch [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
Besser [mm]\red{E}=\pmat{1&0\\
0&1}[/mm], [mm]A[/mm] ist schon vergeben
>
> Im Lösungsbuch steht ebenfalls als Lösung:
> [mm]A=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 }[/mm]
Bestimmt nicht [mm]A[/mm]!
Wie dem auch sei, du hast richtig gerechnet, die Matrix [mm]A[/mm] in der Aufgabenstellung ist nicht orthogonal!
> Jedoch habe ich alles mit
> Matlab überprüft welches mein Ergebnis liefert:
> [mm]A=\pmat{ 1,75 & 0 \\
0 & 1,75}[/mm]
> Finde meinen Fehler
> nicht.
Du hast auch keinen gemacht!
>
> Nach meinen Berechnungen und denen von Matlab ist die
> Determinante 1,75. Laut Lösungsbuch ist sie 1. Wieso?
Der Autor hat eine Rechenschwäche: [mm]\operatorname{det}(A)=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot{}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{3}{2}=1,75[/mm]
>
> Ebenfalls habe ich mir jetzt etliche Definitionen zu
> orthogonal und orthonormal durchgelesen aber noch nicht
> richtig verstanden. Kann mir das jemand ganz simpel mit so
> wenigen Fachwörtern sagen wo der Unterschied ist?
Zwischen orthogonal und orthonormal?
orthonormal = orthogonal + normiert
Laut Wiki: "Eine quadrat. reelle Matrix [mm]Q[/mm] heißt orthogonal, wenn ihre Zeilen- und Spaltenvektoren paarweise orthonormal sind, dh orthogonal mit Länge 1.
Das sind sie hier nicht.
Ich bin mir fast sicher, es ist ein Fehlerchen in der Aufgabenstellung oder beim Abschreiben passiert:
Lauten diese Wurzeleinträge wirklich [mm]\sqrt{\frac{3}{2}}[/mm] und nicht vllt. eher [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] ??
Dann würde es nämlich passen mit der Orthogonalität der Martix ...
> Wäre sehr nett.
>
> Gruß und Danke im Voraus!
Gruß zurück
schachuzipus
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