Matrix, Surjektiv <-> Injektiv < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Fr 13.01.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | a) Sei V ein eindlich-dimensionaler Vektorraum über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] . Zeigen sie, dass für jede lineare Abbildung T : V [mm] \to [/mm] V gilt:
T ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] T ist injektiv
b) Wir wollen uns nun überlegen, dass obige Äquivalenz nicht in unendlich dimensionalen Vektorräumen gilt. Wir betrachten dazu den [mm] \IC [/mm] - Vektorraum der komplexen Filgen [mm] (a_n)_(n \in \IN [/mm] ) .
Betrachte die Abbildung:
T : [mm] \begin{cases} V \to V \\ (a_1,1_2,a_3,a_4,a_5,...) \mapsto (a_4,a_5,...) \end{cases}
[/mm]
Zeigen sie, dass T linear ist und bestimmen Sie den Kern von T. Ist T injektiv? Ist T surjektiv? |
Hallöchen,
ich bins mal wieder. Diese Woche kam ich gut zurecht mit der linearen Algebra, jedoch hing ich an dieser Aufgabe heute etwas länger. Das durchsuchen meines Skripts und Mathebuchs hat mir leider nicht geholfen, da mir gänzlich der Ansatz fehlt.
Induktion im Allgemeinen versteh ich ja, aber wie man hier an sowas geht, weiß ich leider gar nicht.
Meine Überlegungen:
V [mm] \to [/mm] V heißt, dass jeder Vektor aus V auf sich selber abgebilden wird?! (Reflexivität ?!)
Das heißt, ich müsste für allgemeine [mm] a_1,...,a_n \in \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] beweisen, dass aus surjektivität injektivität folgt und die gegenrichtung...?!
Ich wäre sehr dankbar über einen Hinweis wie man an so eine Aufgabe herangeht...
Danke im Vorraus.
Gruß Phil
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> a) Sei V ein eindlich-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IR[/mm]
> oder [mm]\IC[/mm] . Zeigen sie, dass für jede lineare Abbildung T :
> V [mm]\to[/mm] V gilt:
> T ist surjektiv [mm]\gdw[/mm] T ist injektiv
>
> b) Wir wollen uns nun überlegen, dass obige Äquivalenz
> nicht in unendlich dimensionalen Vektorräumen gilt. Wir
> betrachten dazu den [mm]\IC[/mm] - Vektorraum der komplexen Filgen
> [mm](a_n)_(n \in \IN[/mm] ) .
> Betrachte die Abbildung:
>
> T : [mm]\begin{cases} V \to V \\
(a_1,1_2,a_3,a_4,a_5,...) \mapsto (a_4,a_5,...) \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen sie, dass T linear ist und bestimmen Sie den Kern
> von T. Ist T injektiv? Ist T surjektiv?
>
>
> Meine Überlegungen:
>
> V [mm]\to[/mm] V heißt, dass jeder Vektor aus V auf sich selber
> abgebilden wird?! (Reflexivität ?!)
Hallo,
nein.
[mm] T:V\to [/mm] V bedeutet, daß T aus dem VR in den VR V abbildet.
Jeder Vektor aus V wird also auf irgendeinen Vektor aus V abgebildet.
> Das heißt, ich müsste für allgemeine [mm]a_1,...,a_n \in \IR[/mm]
> und [mm]\IC[/mm] beweisen, dass aus surjektivität injektivität
> folgt und die gegenrichtung...?!
Ziemlich kraus, was Du schreibst...
Es geht hier nicht um den Vektorraum [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC, [/mm] sondern daraum, daß V (irgendein) endlichdimensionaler VR über dem Körper [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC [/mm] sein soll. Aus [mm] \IR [/mm] bzw. [mm] \IC [/mm] sind hierbei dann die Koeffizienten der Linearkombinationen.
Zu zeigen ist nun, daß für endlichdimensionale Vektorräume die Injektivität linearer Abbildungen äquivalent zu ihrer Surjektivität ist.
Erinnere Dich, falls esbereits dran war, daran, daß gilt f injektiv <==> Kern [mm] f=\{0\}.
[/mm]
Zeige beide Beweisrichtungen getrennt.
A.
Beh.: "T surjektiv ==> T injektiv"
Voraussetzung: T surjektiv
zu zeigen: T injektiv, dh. T(v)=T(w) ==> v=w,
oder zu zeigen: T(v)=0 ==> v=0
Bew.: Sei [mm] B=(b_1, ...,b_n) [/mm] eine Basis von V.
Jedes Element dieser Basis hat ein Urbild, dh es gibt [mm] c_i [/mm] mit [mm] T(c_i)=b_i.
[/mm]
Die [mm] c_i [/mm] sind eine Basis.
Man kann v schreiben als v=...
(ggf. auch w=...)
Funktionswerte berechnen, Schlüsse ziehen.
A.
Beh.: "T injektiv ==> T surjektiv"
Voraussetzung: T injektiv
zu zeigen: T surjektiv, dh. Bild T=V.
Bew.: zeige, daß für Basis B die Menge [mm] (f(b_1),..., f(b_n)) [/mm] linear unabhängig ist.
Überlege Dir - und zeige "ihnen", warum damit die Surjektivität der Abbildung gezeigt ist.
LG Angela
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> Ich wäre sehr dankbar über einen Hinweis wie man an so
> eine Aufgabe herangeht...
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> Danke im Vorraus.
>
> Gruß Phil
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 15.01.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
ich versteh das leider nicht und komme weder durch mein skript noch durch meine Bücher weiter.
Ich werden mir morgen bei der Besprechung einfach mal den Lösungsweg anschaun und mitschreiben und den dann nochmal langsam für mich durchgehen.
Trotzdem vielen Dank für deine Mühe, mir bei nahezu jeder Frage weiter zuhelfen.
Gruß Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 Sa 14.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu a):
dimV =dim Kern(T)+dim Bild(T)
FRED
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