Matrix als Summe < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
jaa wie der name des themas schon sagt^^
wie stell ich eine (nxn) matrix als Summe dar?
|
|
| |
|
Auch dir ein nettes Hallo!
Klemmt deine Shifttaste?
> jaa wie der name des themas schon sagt^^
>
> wie stell ich eine (nxn) matrix als Summe dar?
Eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix ist ein quadratisches Schema, wie willst du das als Summe darstellen?!
Sag' mal, worum es geht, im Idealfall poste eine Aufgabenstellung dazu im Originalwortlaut.
Deine Frage ist so, wie sie gestellt ist, mit "nein" zu beantworten.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Sei F ein Körper, n [mm] \in \IN, [/mm] V: [mm] F^{nxn} [/mm] und B [mm] \in [/mm] V. und es gibt eine Abbildung
[mm] f_{B} [/mm] : V (umgedrehtest [mm] \in) [/mm] A [mm] \mapsto spur(B^{t}\*A) \in [/mm] F
wobei spur die Summe der diagonalen Einträge [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{ii} [/mm] bezeichnet.
Zeigen sie:
A) [mm] f_{B} \in [/mm] V *
B) [mm] (\forall [/mm] f [mm] \in [/mm] V *) [mm] (\exists [/mm] B [mm] \in [/mm] V) f = [mm] f_{B}
[/mm]
C) H : V(umgedrehtes [mm] \in) [/mm] B [mm] \mapsto f_{B} \in [/mm] V * ist ein Isomorphismus. |
Ich wollte da so rangehen dass ich die Matrizen irgendwie mit ner Summe darstelle. sodass ich die transponierte B und A besser darstellen kann auf meinem Blatt.
|
|
|
| |
|
> Sei F ein Körper, n [mm]\in \IN,[/mm] V: [mm]F^{nxn}[/mm] und B [mm]\in[/mm] V. und
> es gibt eine Abbildung
>
> [mm]f_{B}[/mm] : V (umgedrehtest [mm]\in)[/mm] A [mm]\mapsto spur(B^{t}\*A) \in[/mm]
> F
>
> wobei spur die Summe der diagonalen Einträge
> [mm]\summe_{i=1}^{n} a_{ii}[/mm] bezeichnet.
>
> Zeigen sie:
>
> A) [mm]f_{B} \in[/mm] V *
>
> B) [mm](\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] V *) [mm](\exists[/mm] B [mm]\in[/mm] V) f = [mm]f_{B}[/mm]
>
> C) H : V(umgedrehtes [mm]\in)[/mm] B [mm]\mapsto f_{B} \in[/mm] V * ist ein
> Isomorphismus.
> Ich wollte da so rangehen dass ich die Matrizen irgendwie
> mit ner Summe darstelle. sodass ich die transponierte B und
> A besser darstellen kann auf meinem Blatt.
Hallo,
mir ist nicht ganz klar, was Dir vorschwebt, insbesondere nicht, wie weit Deine Überlegungen gediehen sind und welcher Problematik der Wunsch nach solch einer Summenschreibweise entstammt.
Klar kannst Du sagen [mm] B:=(B_i_k| i,k\in [/mm] {1,2,...,n}), wobei [mm] B_i_k [/mm] die Matrix ist, die an der Position i-te Zeile/k-te Spalte eine 1 hat und sonst nur Nullen, eine Basis des V ist, und daher kann man jede Matrix [mm] C:=(c_i_k) [/mm] schreiben als [mm] C=\summe_{i=1}^n\summe_{k=1}^n c_i_kB_i_k.
[/mm]
Schwebte Dir sowas vor?
Ansonsten würde ich mir erstmal überlegen, was für A) alles zu zeigen ist und dies genau auflisten.
Allgemeines:
dies ist ja eine der Aufgaben, die einem beim Lesen "irgendwie" komplziert vorkommen - jedenfalls geht mir das so.
Mir, die ich keinesfalls eine Überfliegerin bin,
hilft es immer sehr, mir die Aufgabe mal an einem konkreten Beispiel zu vergegenwärtigen, etwa, indem man [mm] F=\IR [/mm] wählt, für n eine übersichtliche 2, irgendeine Matrix B ohne allzu spezielle Eigenschaften.
Dann würde ich mir erstmal in Ruhe die Abbildung anschauen, ein paar Funktionswerte ausrechnen.
Danach die Aufgabenstellung für mein konkretes Beispiel formulieren und einen Beweis versuchen.
Wenn man das hat, flutscht der allgemeine Beweis oft viel besser, weil man die Sache "begriffen" hat, gedreht, gewendet, betastet, abgelutscht, wie ein Baby, und nun besser weiß, worum es geht.
Dies nur so als Tip für Dein Tun - Du mußt das nicht machen, und posten mußt Du es schon gar nicht nicht, jedenfalls nicht, wenn es glatt durchläuft und funktioniert.
LG Angela
|
|
|
| |
|
huhu,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Schön dass selbst dir diese Aufgabe auf den ersten Blick schwierig vorkommt^^
Ich hab deinen Rat beherzigt und mir mal n beispiel gemacht, in etwa so:
B = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] dann [mm] B^{t} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }
[/mm]
Nehmen wir A = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] dann kriegt man [mm] spur\pmat{ 7 & 22 \\ 14 & 20 } [/mm] = 27
Nehmen wir A = [mm] \pmat{ 5 & 6 \\ 1 & 2 } [/mm] dann spur [mm] \pmat{ 9 & 26 \\ 14 & 20 } [/mm] = 29
Nehmen wir A = [mm] \pmat{ 0.5 & 1 \\ 2 & 1 } [/mm] dann spur [mm] \pmat{ 6.5 & 4 \\ 9 & 6 } [/mm] = 12.5
um ehrlich zu sein fällt mir nichts Besonderes beim durchgehen auf ;/ Mir ist klar (irgendwie) warum z.b. bei a) [mm] f_{b} [/mm] im Dualraum ist, da die abbildung auf einen Körper abbildet (dazu würde die spurfunktion alleine eig schon ausreichen), hinzukommt das Verwirrende,dass B transponiert ist. Ist doch eig wurscht, wenn man kein B vorgegeben hat und selbst tüftel. Warum die abbildung den namen [mm] f_{b} [/mm] trägt ist mir auch ein Rätsel, da muss doch was hinterstecken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] B^T [/mm] nimmt man, damit das ein Skalarprodukt ist, denn nur dann ist [mm] B^T*B>0
[/mm]
2. die Abbildung ist doch von der wahl von B abhängig, deshalb [mm] f_B
[/mm]
3. das das ne lineare Abb ist kannst du aus allgemeinen Regeln der Matrixmult. herleiten, dazu brauchst du keine Art der Darstellung!
also nur zu zeigen dass [mm] f_B(\alpha*A_1+\beta*A_2)=...
[/mm]
die Abbildung ist ganz analog zur Abb. von Vektoren durch das Skalarprodukt mit einem festem Vektor [mm] v^T
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
die Abbildung ist doch auch von A abhängig oder? also muss ich bei A nur beweisen dass es linear ist?
zu B) ist das nicht A) nur dann gezeigt vom andren Weg also umgekehrt <= ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> die Abbildung ist doch auch von A abhängig oder? also muss
> ich bei A nur beweisen dass es linear ist?
versteh ich nicht. du musst zeigen, dass [mm] f_B [/mm] für festes B eine lineare Abbildung ist.
Hallo, das versteh ich nicht: die Abbildung [mm] f_B=Skalarprodukt [/mm] mit B wird auf alle [mm] A\in [/mm] V angewandt. Der Wert an der "Stelle" A ist natürlich von A abhängig.
wenn du die Abbildung [mm] \IR=>\IR f_b: [/mm] x abgeb auf b*x hast und nachweisen willst, dass sie linear ist ist [mm] f_b [/mm] abhängig von b und natürlich wird jedes x auf ein anderes [mm] f_b(x) [/mm] abgebildet. also die Funktion wird durch b bestimmt, die Funktionswerte bei festem B von x.
> zu B) ist das nicht A) nur dann gezeigt vom andren Weg also
> umgekehrt <= ?
wär schön wenn du a und A unterscheiden würdest.
in B sollst du zeigen dass es zu jeder lin Abb aus V* eun B gibt, sodass man die Abb als [mm] f_B [/mm] schreiben kann. irgendwie ist das umgekehrt, aber genau versteh ich nicht was du meinst. du hast eine bel. lineare Abb, L von V
und willst ein B angeben so dass [mm] L=f_b [/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
k a) und b) sind komplett
Hast du vlt noch tipp zur c) also zum nachweis von bijektivität. ich weiss injektivität liegt vor, wenn die darstellende Matrix nur kern(f) = 0 ist oder die Spaltenvektoren des Bildes lin. unabhängig sind. Für Surjektivität weiß ich, dass die darstellende Matrix invertierbar sein muss. Nur weiß ich nicht wie ich hier was invertieren könnte wegen der Spurfunktionale
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Sa 14.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
aus a) und b) hast du die wohldefiniertheit und surjektivitäat. du brauchst noch injektiv.
z.B indem du zeigst, dass B nach [mm] f_B [/mm] auch linear, bzw zwei verschiedene B auch zu verschiedenen [mm] F_B [/mm] führen.
da du nichts mit darstellenden matrizen hast sind deine dazu zitierten sätze nicht sinnvoll, schreib statt dessen lin. abbildung, was ja ne darst, Matrix tut.
Gruss leduart
|
|
|
|
