Matrix der Normalengleichung < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe:
Gegeben seien fünf Paare [mm] (x_i,f_i) [/mm] von Messwerten:
i = 1;2;3;4;5
[mm] x_i [/mm] = -2;-1;0;1;2
[mm] f_i [/mm] = 0;2;2;3;1
a) Zeigen Sie, dass es kein Polynom vom Grad 2 gibt, so dass [mm] p(x_i) [/mm] = [mm] f_i; [/mm] i=1,2,3,4,5 (diese Aufgabe ist soweit klar)
b) Bestimmen Sie mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Gauß-Ausgleich) ein quadratisches Polynom p, so dass [mm] \summe_{i=1}^{5} |f_i [/mm] - [mm] p(x_i)|^{2} [/mm] minimal wird |
Hallo,
seit heute Nachmittag sitze ich vor einer alten Klausur-Aufgabe zur Vorbereitung.
Allerdings habe ich mit dem Gauß-Ausgleich (Methode der kleinsten Quadrate) noch so meine Probleme.
Die Teilaufgabe a) ist klar. Lediglich bei der b) habe ich mit total verstrickt.
In der Musterlösung ist die Normalengleichung als [mm] A^{T}A [/mm] = [mm] \pmat{ 34 & 0 & 10 \\ 0 & 10 & 0 \\ 10 & 0 & 5 } [/mm] angegeben.
Leider komme ich in keinster Weise auf diese Lösung bzw. kann diese nachvollziehen.
Könnt Ihr mir hierbei vielleicht weiterhelfen?
Vielen Dank und viele Grüße,
LeereDose
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Gauss-Ausgleich-Wie-auf-Matrix-der-Normalenglkomme-Numerik
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Guten Morgen
also du sollst ein Polynom 2 Grades suchen was die Fehlerquadrate minimiert.
So nehme jetzt [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$. [/mm] Dann kann ich mit den Messdaten eine Matrix Aufmachen und zwar bezüglich der Freiheitsgrade a,b und c. Das wird dann ein $3x5$ Matrix. So zum beispiel für$ i=1$ ist ja $f(-2)=0$ also $4*a-2*b+c=0$. Du bekommst dann ein Gleichungssystem $Ax=b$, welches nicht lösbar [mm] istx=\vektor{a\\b\\c}. [/mm] Dann das Normalengleichungssystem [mm] $A^{T}Ax=A^{T}b$ [/mm] lösen. So bekommst du die drei Freiheitsgrade raus und hast dann dein Polynom der kleinsten Fehlerquadrate
Einen schönen Tach
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:00 Mo 18.02.2008 | | Autor: | LeereDose |
Hallo blascowitz,
vielen Dank. - Irgendwie hatte ich jedes Mal das "c" übersehen und bin somit ins Strudeln geraten. - Nun klappt's!
Vielen Dank!
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